Hauptträgheitsmoment < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Paivren |
Hallo zusammen,
ich soll die Haupträgheitsmomente eines Ellipsoids bestimmen:
E={ [mm] \vec{r}\in R^{3} [/mm] | [mm] (\bruch{x}{a})^{2} [/mm] + [mm] (\bruch{y}{b})^{2} +(\bruch{z}{c})^{2} \le [/mm] 1 }
Nun habe ich den Trägheitstensor bestimmt, der an jeder Stelle einen Eintrag hat.
Da der Körper symmetrisch ist, jede Symmetrie-Achse auch eine Hauptträgheitsachse ist und der Körper mitten im Urpsrung sitzt, müssten die Hauptträgheitsachsen doch die x- y- und z-achsen sein.
Und deren Trägheitsmomente kann man doch direkt an der Diagonalen des Tensors ablesen.
Ich lese aber immer wieder, dass die Hauptträgheitsmomente nur im Tensor auftauchen, wenn er diagonalisiert ist, also wenn alle anderen Einträge =0 sind.
Das sind sie bei mir ja nicht.
Wo ist mein Denkfehler?
Auf klassischem Wege die Eigenwerte zu suchen, ist viel zu aufwendig, weil da ein riesen Polynom dritten Grades bei zu lösen wäre.
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Sa 15.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie hast du denn den TTensor gebildet?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Sa 15.06.2013 | | Autor: | Paivren |
Hi Leduart,
ich habe es so gemacht, wie auf der Seite geraten:
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=48966&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D1%26ved%3D0CC4QFjAA
Also substituiert und über das Volumen einer Einheitskugel integriert.
[mm] x'=(\bruch{x}{a}) [/mm] --> [mm] dx'=(\bruch{dx}{a}), [/mm] das selbe mit y und z.
So habe ich halt die 6 verschiedenen Komponenten berechnet.
|
|
|
| |
|
Hallo!
Da mußt du dich verrechnet haben. Für eine Vollkugel glt z.B. für [mm] J_{xy}:
[/mm]
[mm] $\int \rho*x*y dV=\int\int\int \rho r*(sin\theta\cos\phi)*r*(sin\theta\sin\phi)r^2\sin\theta\,dr\,d\phi\,d\theta$
[/mm]
Das [mm] \sin^3\theta [/mm] ist eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion, die Integration über [mm] [-\pi;\pi] [/mm] ist dann automatisch =0
Und [mm] \sin\phi\cos\phi [/mm] müßte, wenn ich nicht irre, [mm] =\sin(2\phi) [/mm] sein, auf jeden Fall ist das mindestens [mm] 2\pi [/mm] -periodisch. Das Integral über [mm] [0;2\pi] [/mm] ist also auch =0.
Das sind also sogar schon zwei Gründe, warum [mm] J_{xy}=0 [/mm] gelten muß.
Naja, und daß du eigentlich ne Ellipse berechnen willst, äußert sich in ein paar Vorfaktoren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 So 16.06.2013 | | Autor: | Paivren |
Danke Event_Horizon, ich suche gleich meine Rechenfehler!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 16.06.2013 | | Autor: | Paivren |
Ich stell die Frage hier, weil sie irgendwie zum Thema gehört:
Bezieht sich der Trägheitstensor auf den Koordinatenursprung oder auf den Schwerpunkt des Systems?
Nimmt man mal an, dass der Ursprung und der Schwerpunkt nicht zusammenfallen.
Wenn ersteres der Fall ist, sieht der Tensor doch für jedes Koordinaten-System anders aus, oder nicht?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo!
Es ist völlig korrekt, der Tensor bezieht sich immer auf den Ursprung, deshalb sollte man den in den Schwerpunkt legen. Man kann dann für jede Drehachsenausrichtung das T-Moment berechnen, und wenn die Achse nicht durch den Schwerpunkt geht, kommt zusätzlich der Satz von Steiner dazu.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Paivren |
Hallo,
nochmal danke für die fixe Antwort, der Trägheitstensor ist jetzt kein Buch mit sieben Siegeln mehr für mich :D
Gruß und gute Nacht!
|
|
|
|
