Hauptträgheitsmomente < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Di 12.12.2006 | | Autor: | puehlong |
| Aufgabe | | Ein Würfel konstanter Massendichte mit der Kantenlänge a liege im positiven Quardanten eines kartesischen Koordinatensystems mit einer Würfelecke im Ursprung. Berechnen Sie die Huaptträgheitsmomente bezüglich des Ursprungs. Bestimmen udn skizzieren Sie ein Hauptachsensystem (Hinweis: ein Eigenwert ist zweifach entartet). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Hauptträgheitsmomente habe ich berechnet, in dem ich die Eigenwerte des Trägheitstensors berechnet habe, diese sind [mm] 1/6*M*a^2 [/mm] und [mm] 11/12*M*a^2. [/mm] Bei dem Hauptachsensystem bin ich mir nicht sicher, wiem an es berechnet. Irgendwo habe ich den Hinweis gefunden, dass die Hauptachsen den Eigenvektoren des Trägheitstensors entsrpechen, diese wären (1,1,1), (-1,0,1) und (-1,1,0). Nur leider bin ich mir nciht sicher, was ich damit anfangen kann / soll udn ob sie überhaupt richtig sind. Kann mir jemand dazu was sagen?
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Hallo Hape,
deine Vorgehensweise ist richtig. Anschaulich bedeutet dein Resultat, dass eine Haupttraegheitsachse die Raumdiagonale des Wuerfels ist. Dazu gehoert der einfache Eigenwert. Der entartete (zweifache) Eigenwert gehoert zur (zweidimensionalen) Ebene, die auf der Richtung (1,1,1) senkrecht steht. Diese Ebene wird von den Vektoren (-1,0,1) und (-1,1,0) erzeugt.
Die letztgenannten Vektoren stehen aber leider noch nicht aufeinander senkrecht, hier musst du noch nacharbeiten, denn die Haupttraegheitsachsen stehen jeweils paarweise aufeinander senkrecht.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Do 14.12.2006 | | Autor: | puehlong |
Ok, ich hab noch mal von Hand nachgerechnet, die Lösungen für die Eigenvektoren wären z.B. (1,1,1), (-2,1,1) und (0,-3,3). Sind diese drei Vektoren einfach die Drehachsen der drei Hauptträgheitsmomente? Und zwar vom Urpsrung aus gesehen?
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Hallo Hape,
diese Lösung ist richtig, denn jetzt stehen auch alle Vektoren aufeinander senkrecht. (1,1,1) ist wichtig, die anderen beiden kannst du in einem gewissen Rahmen frei wählen, weil sie zum selben Eigenwert gehören.
Hugo
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