Hausdorff Raum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:39 Do 17.05.2007 | | Autor: | grashalm |
| Aufgabe | | Sei X ein Hausdorff-Raum A,B [mm] \subset [/mm] X kompakt und disjunkt. Zeigen Sie, dass sich diese Teilmengen durch offene Mengen U,V [mm] \subset [/mm] X mit A [mm] \subseteq [/mm] U und B [mm] \subseteq [/mm] V trennen lassen, d.h. U [mm] \cap [/mm] V [mm] =\emptyset [/mm] |
Hallo. Also die Hausdorff Definition versteh ich schon. Hat man also 2 verschiedene Punkte aus X, existieren jeweils 2 Umgebungen, die sich nicht schneiden.
Aber wie ich Beweise das U [mm] \cap [/mm] V [mm] =\emptyset [/mm] ist weiß ich nicht kann mir da wer helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Do 17.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Schau Dir unter Wikipedia folgendes an:
Kompakter Raum
Und lies den Abschnitt:
Beweggrund für die Kompaktheit
Vielleicht hilft das schon weiter ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Di 22.05.2007 | | Autor: | grashalm |
Hm das beschreibt ja ein Vorgehen aber so ganz bekomm ich den Beweis nicht hin.
X ist Hausorff Raum [mm] x\in [/mm] X
x ist nicht in A und B.
So und nun wählt man da 2 Umgebungen die jeweils x und einen Punkt aus A und B erhalten.
So ganz komm ich hier mit der Umgebungswahl nicht klar kann mir jemand das verdeutlichen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Mi 23.05.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
Den Link habe ich nicht gelesen.
Du nimmst einen festen Punkt a aus A und suchst für jeden Punkt b aus B offene Umgebungen von a und b, die disjunkt sind. Das geht wg. hausdorffsch. Dann hast du eine Überdeckung von B, aus der du eine endliche auswählen kannst wg. Kompaktheit. Durch Vereinigung findest du eine offene Menge, die B enthält. Der Durchschnitt der zugehörigen offenen Umgebungen von a ist offen, da es ein endlicher Durchschnitt ist. (Jetzt wäre eine Zeichnung hilfreich.) Dieses Verfahren kannst du für jeden Punkt aus A durchexerzieren. Das gibt eine offene Überdeckung von A, aus der du ebenfalls wieder eine endliche auswählen kannst, der endlich viele offene Mengen entsprechen, die B umfassen. Jetzt noch einmal Vereinigung und Durchschnitt (aber andersrum), und du bist durch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 23.05.2007 | | Autor: | ttgirltt |
Hallo, sitz an der selben Aufgabe.
Ja das scheint mir genauso wie im Link, ich hab das Prinzip auch verstanden glaub ich. aber beim Beweis die Umgebungen richtig anzugeben mit den Vereinigungen Durchschnitt genau auf die Aussage zu kommen.
Kann jemand mal nen Anfang machen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Mi 23.05.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Kann jemand mal nen Anfang machen.
Na gut! Sei a [mm] \in [/mm] A zunächst fest. Für jedes b [mm] \in [/mm] B gibt es offene Umgebungen [mm] U_{b}(a) [/mm] und [mm] U_{a}(b) [/mm] mit [mm]U_{a}(b) \cap U_{b}(a)[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]. Es ist B [mm] \subseteq \bigcup_{b}^{} U_{a}(b). [/mm] Wegen der Kompaktheit gibt es [mm] b_{1}, [/mm] ... , [mm] b_{r} \in [/mm] B mit B [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{r} U_{a}(b_{i}). [/mm] Dann ist a [mm] \in \bigcap_{i=1}^{r} U_{b_{i}}(a) [/mm] und [mm] (\bigcap_{i=1}^{r} U_{b_{i}}(a)) \cap (\bigcup_{i=1}^{r} U_{a}(b_{i})) [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
Jetzt taufen wir um: [mm] \bigcap_{i=1}^{r} U_{b_{i}}(a) [/mm] =: U(a), [mm] \bigcup_{i=1}^{r} U_{a}(b_{i}) [/mm] =: [mm] U_{a}(B) [/mm] und machen das umgekehrte Spiel ....
(Zu dieser Tipperei hab' ich jetzt keine Lust mehr, sorry.)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:04 Fr 25.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Wenn man das gleiche Verfahren für A anwendet, hat man also
$A [mm] \subset U_A$ [/mm] und $B [mm] \subset U_B$ [/mm] mit [mm] $U_A \cap [/mm] B [mm] =\emptyset [/mm] = [mm] U_B \cap [/mm] A$
Aber was ich nicht sehe ist:
[mm] $U_A \cap U_B [/mm] = [mm] \emptyset$
[/mm]
[mm] $U_A \cap U_B [/mm] = [mm] U_C$ [/mm] ist eine offene Menge, wenn ich nun beispielsweise
[mm] $U'_A:=U_A \setminus U_C$ [/mm] setze, so ist doch $U'_A$ nicht mehr offen, oder?
[Weitere Frage am Rande:
$A$ kompakt bedeutet doch das die Menge $A$ mit der vom Ursprungsraum geerbten Topologie kompakt ist, oder? (Nennt man das nicht Quotientenraum ???)
In wieweit hat man da überhaupt eine Kontrolle über das Verhalten der in A offenen Mengen bezogen auf den Ursprungsraum (also insbesondere auf den Anteil der ausserhalb von A liegt? (Bei der Aufgabe hilft hier die Eigenschaft Hausdorff, aber wie sieht das im Allgemeinen aus?)]
P.S.: Wie man merkt ist Topologie für mich eher ein Fremdwort ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Di 29.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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