Hausdorff, Topologie, R < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Sa 14.03.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Auf der Menge [mm] \overline{R}:=\R \cup \{\pm \infty\} [/mm] werde wie folgt eine Topologie definiert:
Eine Teilmenge U [mm] \subset \overline{R} [/mm] heiße offen, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
i) U [mm] \cap \IR [/mm] ist offen in [mm] \IR [/mm] im üblichen Sinn.
ii) Falls [mm] \infty \in [/mm] U, existiert ein r>0 mit [mm] ]r,\infty[ \subset [/mm] U.
iii) Falls [mm] -\infty \in [/mm] U, existiert ein r>0 mit [mm] ]-\infty,-r[ \subset [/mm] U.
Man zeige, dass dadurch eine Topologie auf [mm] \overline{R} [/mm] definiert wird, mit der [mm] \overline{R} [/mm] ein Hausdorff-Raum wird. |
Hallo,
M1) [mm] \emptyset \in \tau [/mm] da [mm] \emptyset \cap \IR [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] offen in [mm] \IR
[/mm]
[mm] \overline{\IR} \in \tau [/mm] da [mm] \overline{R} \cap \IR=\IR [/mm] offen in [mm] \IR [/mm] und [mm] ]1,\infty[\subset \overline{\IR} [/mm] sowie [mm] ]-\infty, -1[\subset \overline{\IR}
[/mm]
M3) [mm] U_i \in \tau \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I (Indexmenge)
Bedingung [mm] 1:(\bigcup_{i\inI} U_i )\cap \IR [/mm] = [mm] \bigcup_{i\in I} (U_1 \cap \IR) [/mm] offen in [mm] \IR [/mm] als vereinigung offener Mengen in [mm] \IR
[/mm]
Angenommen [mm] \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I sodass [mm] \infty \in U_i \Rightarrow \exists [/mm] r>0 : [mm] ]r,\infty[\subset U_i \Rightarrow ]r,\infty[ \subset \bigcup_{i\in I} U_i
[/mm]
Analog wenn [mm] \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] I sodass - [mm] \infty \in U_i [/mm] folgt [mm] ]-\infty,-r[ \subset \bigcup_{i\in I} U_i
[/mm]
Wenn [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I gilt [mm] \pm \infty \not\in U_i [/mm] dann folgt auch [mm] \pm \infty \not\in \bigcup_{i\in I} U_i
[/mm]
M2 ) [mm] U_1, U_2 \in \tau
[/mm]
Bedingung 1) [mm] U_1\cap \IR, U_2 \cap \IR [/mm] offen in [mm] \IR [/mm] nach Voraussetzung
[mm] (U_1 \cap U_2) \cap \IR= (U_1 \cap \IR) \cap (U_2 \cap \IR) [/mm] offen in [mm] \IR [/mm] als endlicher Durchschnitt zweier offener Mengen in [mm] \IR
[/mm]
Angenommen + [mm] \infty \in U_1, U_2
[/mm]
d.h. [mm] \exists r_1, r_2 [/mm] >0 : [mm] ]r_1, \infty[ \subset U_1, ]r_2, \infty[ \subset U_2
[/mm]
+ [mm] \infty \in U_1 \cap U_2 [/mm]
Wähle [mm] r:=max\{r_1,r_2\} \Rightarrow ]r,\infty[ \in U_1 \cap U_2
[/mm]
Angenommen - [mm] \infty \in U_1, U_2
[/mm]
d.h. [mm] \exists r_1, r_2 [/mm] >0 : [mm] ]-\infty,-r_1[ \subset U_1, ]-\infty,-r_2[ \subset U_2
[/mm]
- [mm] \infty \in U_1 \cap U_2 [/mm]
Wähle [mm] r:=max\{r_1,r_2\} \Rightarrow ]-\infty, [/mm] -r[ [mm] \in U_1 \cap U_2
[/mm]
In anderen Fällen ist [mm] \pm \infty \not\in U_1 \cap U_2
[/mm]
Hausdorff
Ist x,y [mm] \in \IR [/mm] führe ich das auf den metrischen Raum [mm] \IR [/mm] zurück.
Ist [mm] x=\infty, y\in \IR: [/mm] V ist eine Umgebung um x genau dann wenn [mm] \exists [/mm] O [mm] \in \tau: [/mm] x [mm] \in [/mm] O [mm] \subset [/mm] V
D.h. [mm] O\cap \IR [/mm] offen in [mm] \IR \wedge \exists [/mm] r>0: ]r, [mm] \infty[ \subset [/mm] O
Aber wenn ich nun für y eine reelle Zahl größer als r habe hat die Umgebung von y immer gleiche Punkte mit der Umgebung von x die [mm] ]r,\infty[ [/mm] enthält.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Sa 14.03.2015 | | Autor: | hippias |
Ich habe bei Deiner Ueberpruefung der Axiome keinen Fehler gesehen. Zur Trennungseigenschaft:
Mache Dir klar, dass [mm] $]r,\infty[\cup\{\infty\}$ [/mm] fuer beliebiges $r>0$ eine offene Umgebung von [mm] $\infty$ [/mm] ist (aehnlich fuer [mm] $-\infty$). [/mm] Damit kannst Du eine Umgebung von [mm] $\infty$ [/mm] so waehlen, dass $y$ nicht mehr darin enthalten ist.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:21 So 15.03.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort.
-) Ist [mm] x=\infty, y\in \IR:
[/mm]
[mm] B_{\epsilon} [/mm] Umgebung von y mit [mm] \{a \in \IR: |y-a|<\epsilon\}=(y-\epsilon, y+\epsilon) =B_{\epsilon}(y)
[/mm]
V eine Umgebung um x [mm] \gdw \exists [/mm] O [mm] \in \tau: [/mm] x [mm] \in [/mm] O [mm] \subset [/mm] V
D.h. für O: [mm] O\cap \IR [/mm] in [mm] \IR [/mm] offen und [mm] \exists [/mm] r>0 : [mm] ]r,\infty[ \subset [/mm] O
[mm] \Rightarrow ]r,\infty[ \cup \{\infty\} [/mm] eine offene Umgebung von x.(Da (]r, [mm] \infty[ \cup \{\infty\}) \cap \IR= [/mm] ]r, [mm] \infty[ [/mm] offen in [mm] \IR)
[/mm]
Falls y>r ist ebenfalls ]y+1, [mm] \infty[ \cup \{\infty\} [/mm] eine offene Umgebung um [mm] \infty. [/mm]
Außerdem wähle ich [mm] \epsilon:= [/mm] 1/2.
]y+1, [mm] \infty[ \cup \{\infty\} [/mm] und (y-1/2, y+1/2) haben offensichtlich keinen Punkt gemeinsam.
Falls y<r wähle ich [mm] \epsilon:=\frac{|r-y|}{2}
[/mm]
]r, [mm] \infty[ \cup \{\infty\}ist [/mm] eine Umgebung um y.
[mm] (y-\frac{|r-y|}{2}, y+\frac{|r-y|}{2}) [/mm] ist eine Umgebung um x.
-) ist [mm] x=\infty, y=-\infty
[/mm]
V eine Umgebung um y [mm] \gdw \exists [/mm] O [mm] \in \tau: [/mm] y [mm] \in [/mm] O [mm] \subset [/mm] V
D.h. für O: [mm] O\cap \IR [/mm] in [mm] \IR [/mm] offen und [mm] \exists r_1>0 [/mm] : [mm] ]-\infty,-r_1[ \subset [/mm] O
[mm] \Rightarrow ]-\infty, -r_1[ \cup \{-\infty\} [/mm] eine offene Umgebung von y.
Analog ist [mm] ]r_2,\infty[ \cup \{\infty\} [/mm] eine offene Umgebung von x.
Ebenfalls ist mit [mm] r:=max\{r_1, r_2\}:
[/mm]
[mm] ]-\infty, [/mm] -r[ [mm] \cup \{-\infty\} [/mm] eine offene Umgebung von y
und [mm] ]r,\infty[ \cup \{\infty\} [/mm] eine offene Umgebung von x. Die offensichtlich keinen Punkt gemeinsam haben.
Analog für [mm] x=-\infty, y\in \IR [/mm] und x und y in vertauschten Rollen.
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 17.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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