Hausdorffintegral/ Gauß - Satz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne
[mm] \integral_{S^2}{x_1^6 d \mathcal{H}^2(x)}
[/mm]
mithilfe des Satzes:
Sei A [mm] \subset \IR^n [/mm] kompakt mit glattem Rand, v : [mm] \partial [/mm] A [mm] \to \IR^n [/mm] das äußere Einheitsnormalenfeld und U [mm] \supset [/mm] A eine offene Obermenge von A. Dann gilt für jedes stetig differenzierbare Vektorfeld F : U [mm] \to \IR^n
[/mm]
[mm] \integral_{A} [/mm] { div F(x) dx } = [mm] \integral_{\partial A}{ d \mathcal{H}^{n-1} x} [/mm] |
Huhu zusammen,
Furchtbare Aufgabe, ich weiß :/
Also dass der Rand von A die Sphäre [mm] S^2 [/mm] ist, impliziert wohl dass A [mm] B^3 [/mm] ist, also die EInheitskugel im [mm] \IR^3.
[/mm]
Für die DIvergenz gilt im meinem Fall wohl das für n =3 mit
[mm] (F_1,F_2,F_3) \mapsto \summe_{i=1}^{3} \bruch{\partial}{\partial x_i} F_i
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht, wie ich an das F(x) kommte, sowie das v(x)
Es gilt ja wohl
[mm] x_1^6 [/mm] = <F(x),v(x)>
ich geh davon aus, dass das EInheitsnormalenvektorfeld von so einer Sphäre eindeutig ist und vlt sogar bekannt und ich so mein F(x) bestimmen könnte, allerdings kenne ich es nicht :(
Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen!
Lg,
Evelyn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Sa 28.12.2013 | | Autor: | hippias |
Alles, was Du sagst, scheinst Du Dir gut ueberlegt zu haben. Fuer das Normalenvektorfeld nimm einen beliebigen [mm] $x\in \partial [/mm] A$ und konstruiere Dir dazu einen Normalenvektor der Laenge $1$, d.h. einen Normalenvektor des Tangentialraumes durch den Punkt $x$. Das geht so, wie Du es vermutlich schon in der Schule gelernt hast. Die Loesung ist ganz einfach.
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> Alles, was Du sagst, scheinst Du Dir gut ueberlegt zu
> haben. Fuer das Normalenvektorfeld nimm einen beliebigen
> [mm]x\in \partial A[/mm] und konstruiere Dir dazu einen
> Normalenvektor der Laenge [mm]1[/mm], d.h. einen Normalenvektor des
> Tangentialraumes durch den Punkt [mm]x[/mm]. Das geht so, wie Du es
> vermutlich schon in der Schule gelernt hast. Die Loesung
> ist ganz einfach.
Huhu^^
Also die Kugel [mm] B^3 [/mm] mit Radius 1 um x' [mm] \in \IR^3, [/mm]
Den Rand der 3-dimensionalen Kugel kann man beschreiben durch:
g := [mm] x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 +x_3^2 [/mm] -1 = 0
Dann ist der Gradient:
[mm] \vektor{2x_1 \\ 2x_2 \\ 2x_3}
[/mm]
und v(x') = [mm] \vektor{2x_1 \\ 2x_2 \\ 2x_3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{4x_1^2+4x_2^2 +4x_3^2}}
[/mm]
und wenn ich richtig gekürzt habe:
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{x_1^2+x_2^2 +x_3^2}}
[/mm]
Wenn ich nun wieder
[mm] x_1^6 [/mm] = <F(x),v(x)> betrachte, wäre dies doch
[mm] x_1^6 [/mm] = [mm] F_1(x) [/mm] * [mm] \bruch{x_1}{\wurzel{x_1^2+x_2^2 +x_3^2}} [/mm] + [mm] F_2(x) [/mm] * [mm] \bruch{x_2}{\wurzel{x_1^2+x_2^2 +x_3^2}} [/mm] + [mm] F_3(x) [/mm] * [mm] \bruch{x_3}{\wurzel{x_1^2+x_2^2 +x_3^2}}
[/mm]
und dann frage ich mich: Ist die Lösung eindeutig?
Ich könnte nun:
[mm] F_1(x) [/mm] = [mm] x_1^5 [/mm] * [mm] \wurzel{x_1^2+x_2^2 +x_3^2}
[/mm]
[mm] F_2(x) [/mm] = [mm] -x_3 [/mm]
[mm] F_3(x) [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
setzen und die Gleichung wäre erfüllt (denk ich)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 So 29.12.2013 | | Autor: | hippias |
> > Alles, was Du sagst, scheinst Du Dir gut ueberlegt zu
> > haben. Fuer das Normalenvektorfeld nimm einen beliebigen
> > [mm]x\in \partial A[/mm] und konstruiere Dir dazu einen
> > Normalenvektor der Laenge [mm]1[/mm], d.h. einen Normalenvektor des
> > Tangentialraumes durch den Punkt [mm]x[/mm]. Das geht so, wie Du es
> > vermutlich schon in der Schule gelernt hast. Die Loesung
> > ist ganz einfach.
>
> Huhu^^
>
> Also die Kugel [mm]B^3[/mm] mit Radius 1 um x' [mm]\in \IR^3,[/mm]
>
> Den Rand der 3-dimensionalen Kugel kann man beschreiben
> durch:
>
> g := [mm]x_1^2[/mm] + [mm]x_2^2 +x_3^2[/mm] -1 = 0
>
> Dann ist der Gradient:
> [mm]\vektor{2x_1 \\ 2x_2 \\ 2x_3}[/mm]
>
> und v(x') = [mm]\vektor{2x_1 \\ 2x_2 \\ 2x_3}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{4x_1^2+4x_2^2 +4x_3^2}}[/mm]
>
> und wenn ich richtig gekürzt habe:
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] * [mm]\bruch{1}{\wurzel{x_1^2+x_2^2 +x_3^2}}[/mm]
>
Mach es doch nicht so kompliziert: Du weisst doch, dass [mm] $x_1^2 [/mm] + [mm] x_2^2 +x_3^2 [/mm] -1 = 0$ ist.
>
> Wenn ich nun wieder
>
> [mm]x_1^6[/mm] = <F(x),v(x)> betrachte, wäre dies doch
>
>
> [mm]x_1^6[/mm] = [mm]F_1(x)[/mm] * [mm]\bruch{x_1}{\wurzel{x_1^2+x_2^2 +x_3^2}}[/mm] +
> [mm]F_2(x)[/mm] * [mm]\bruch{x_2}{\wurzel{x_1^2+x_2^2 +x_3^2}}[/mm] + [mm]F_3(x)[/mm]
> * [mm]\bruch{x_3}{\wurzel{x_1^2+x_2^2 +x_3^2}}[/mm]
>
>
> und dann frage ich mich: Ist die Lösung eindeutig?
Nein, es gibt mehrere Moeglichkeiten fuer $F$, um [mm] $x_{1}^{6}$ [/mm] zu erhalten (falls Du das meinst).
>
> Ich könnte nun:
>
> [mm]F_1(x)[/mm] = [mm]x_1^5[/mm] * [mm]\wurzel{x_1^2+x_2^2 +x_3^2}[/mm]
> [mm]F_2(x)[/mm] = [mm]-x_3[/mm]
> [mm]F_3(x)[/mm] = [mm]x_2[/mm]
>
> setzen und die Gleichung wäre erfüllt (denk ich)
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Na dann bin ich froh, dass ich das soweit hingekriegt habe :) Ab jetzt nur noch rechnen.
Danke dir hippas :)
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