Hausdorffmetrik < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | h sei eine beschränkte Metrik auf der Menge M. Es bezeichne F(M) die Menge alle abgeschlossenen Teilmengen von M.
Zeige
P(A,B):= [mm] max(sup_{a\in A} \{h(a,B)\},sup_{b\in B} \{h(b,A)\})
[/mm]
defeniert eine metrik P auf F(M) |
Ich bekomme die dreieckungleichung nicht hin!!
[mm] \forall [/mm] A,B,C [mm] \in [/mm] F(M) soll gelten:
P(A,B) [mm] \le [/mm] P(A,C) + P(B,C)
Ich weiß es gilt:
h(a,b) [mm] \le [/mm] h(a,c) + h(c,b) [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] M
Aber so richtig gebacken bekomme ich das nicht!
|
|
| |
|
Hiho,
was bekommst du denn nicht hin?
Bedenke: [mm] $\max\{a+b\} \le \max\{a\} [/mm] + [mm] \max\{b\}$ [/mm] und eine analoge Gleichung für das Sup.
Dann fang mal rechts an und los gehts:
$P(A,C) + P(B,C) = [mm] \ldots$
[/mm]
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Do 11.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
die Aufgabe finde ich wirklich nicht leicht...
> Bedenke: [mm]\max\{a+b\} \le \max\{a\} + \max\{b\}[/mm] und eine
> analoge Gleichung für das Sup.
Das meinst du sicherlich nicht wörtlich: Da stehen nämlich Maxima einelementiger Mengen. Was für eine Aussage meinst du genau?
Übrigens bezeichnet F(M) sicherlich die Menge aller NICHTLEEREN Teilmengen von M, oder?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Do 11.04.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> die Aufgabe finde ich wirklich nicht leicht...
hat ja auch niemand behauptet.
> > Bedenke: [mm]\max\{a+b\} \le \max\{a\} + \max\{b\}[/mm] und eine
> > analoge Gleichung für das Sup.
> Das meinst du sicherlich nicht wörtlich: Da stehen nämlich Maxima einelementiger Mengen. Was für eine Aussage meinst du genau?
Ohne genaue Angabe was a und b ist, kann da alles stehen. Und da steht eben das einzige, was Sinn macht 
Sicher nicht formal mathematisch korrekt, aber ich denke, es ist klar, was gemeint ist.
Wenn nicht, dann nochmal deutlich (und formal richtig):
[mm] $\max\{a+b,c\} \le \max\{a,c\} [/mm] + [mm] \max\{b,c\}$
[/mm]
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Do 11.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Gono,
danke für deine Mühe!
> > > Bedenke: [mm]\max\{a+b\} \le \max\{a\} + \max\{b\}[/mm] und eine
> > > analoge Gleichung für das Sup.
> > Das meinst du sicherlich nicht wörtlich: Da stehen
> nämlich Maxima einelementiger Mengen. Was für eine
> Aussage meinst du genau?
>
> Ohne genaue Angabe was a und b ist, kann da alles stehen.
> Und da steht eben das einzige, was Sinn macht
Ich war stillschweigend von [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] ausgegangen.
> Sicher nicht formal mathematisch korrekt, aber ich denke,
> es ist klar, was gemeint ist.
Mir leider nicht.
> Wenn nicht, dann nochmal deutlich (und formal richtig):
>
> [mm]\max\{a+b,c\} \le \max\{a,c\} + \max\{b,c\}[/mm]
Für alle [mm] $a,b,c\in\IR$? [/mm] Zweifellos eine korrekte Ungleichung, aber ich sehe nicht, wie sie bei der Aufgabe hilft, da auf der rechten Seite zweimal die gleiche Zahl c auftaucht, bei
[mm] $P(A,C)+P(B,C)=\max\{\sup_{a\in A}h(a,C),\sup_{c\in C}h(c,A)\}+\max\{\sup_{b\in B}h(b,C),\sup_{c\in C}h(c,B)\}$
[/mm]
dagegen nicht.
Meinst du vielleicht
[mm] $\max\{a+b,c+d\}\le\max\{a,c\}+\max\{b,d\}$ [/mm] für alle [mm] $a,b,c,d\in\IR$?
[/mm]
Das könnte tatsächlich hier weiterhelfen (wenn man a,b,c,d auf die "richtige" Weise wählt...)
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Hallo, eine idee von mir und meiner kollegin war
A [mm] \subset U_r [/mm] (B) und B [mm] \subset U_s [/mm] (c)
=> A [mm] \subset U_r (U_s [/mm] (c))
[mm] x\in U_r (U_s [/mm] (c)), y [mm] \in U_s [/mm] (c) :
|x-y| < r , z [mm] \in [/mm] C |y-z|<s
=> |x-y| + |y-z| < r + s => |x-z| < r+s
Sind aber nicht weitergekommen.
Mit euren Vorschlängen kann ich leider bis jetzt nicht so viel anfangen. Trotzdem danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Do 11.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> A [mm]\subset U_r[/mm] (B) und B [mm]\subset U_s[/mm] (c)
Mit [mm] $U_r(B)$ [/mm] meinst du [mm] $\{x\in M\;|\;h(x,B)
> => A [mm]\subset U_r (U_s[/mm] (c))
Die Folgerung stimmt.
> [mm]x\in U_r (U_s[/mm] (c)), y [mm]\in U_s[/mm] (c) :
Wieder große C's?
> |x-y| < r , z [mm]\in[/mm] C |y-z|<s
|x-y| macht keinen Sinn, denn in M gibt es weder eine Subtraktion noch einen Betrag. Aber mit h(x,y) stattdessen stimmt die Folgerung.
> => |x-y| + |y-z| < r + s => |x-z| < r+s
Mit analogen Korrekturen stimmt es.
> Sind aber nicht weitergekommen.
Ich kann bisher auch keinen Zusammenhang zur Aufgabenstellung erkennen... 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Do 11.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo theresetom,
hier ein für diese nicht leichte Aufgabe vermutlich vergleichsweise kurzer Weg, die Dreiecksungleichung zu zeigen (unter der Voraussetzung, dass tatsächlich F(M) die Menge der NICHTLEEREN abgeschlossenen Teilmengen von M ist). Er ist allerdings nicht so naheliegend wie eine direkte Rechnung wie von Gono vorgeschlagen.
Zu zeigen ist [mm] $P(A,B)\le [/mm] P(A,C)+P(B,C)$, d.h.
[mm] $\max(\sup_{a\in A}h(a,B),\sup_{b\in B} h(b,A))\le [/mm] P(A,C)+P(B,C)$,
d.h.
(*) [mm] $\sup_{a\in A}h(a,B)\le [/mm] P(A,C)+P(B,C)$
und
(**) [mm] $\sup_{b\in B}h(b,A)\le [/mm] P(A,C)+P(B,C)$.
Zeigen wir nun etwa (*); (**) zeigt man analog.
Für (*) genügt es zu zeigen, dass die rechte Seite $P(A,C)+P(B,C)$ eine obere Schranke von [mm] $\{h(a,B)\;|\;a\in A\}$ [/mm] ist.
Sei also [mm] $a\in [/mm] A$. Zu zeigen ist [mm] $h(a,B)\le [/mm] P(A,C)+P(B,C)$.
Dafür wiederum genügt es zu zeigen, dass [mm] $h(a,B)0$ [/mm] gilt.
Sei also [mm] $\varepsilon>0$.
[/mm]
Da [mm] $h(a,C)=\inf_{c\in C}h(a,c)$ [/mm] existiert ein [mm] $c\in [/mm] C$ mit
[mm] $h(a,c)
(sonst wäre [mm] $h(a,C)+\frac\varepsilon2$ [/mm] eine größere untere Schranke von [mm] $\{h(a,c)\;|\;c\in C\}$ [/mm] als deren größte untere Schranke $h(a,C)$).
Genauso existiert ein [mm] $b\in [/mm] B$ mit
[mm] $h(c,b)
Es folgt
[mm] $h(a,B)\le h(a,b)\le h(a,c)+h(c,b)<(h(a,C)+\frac\varepsilon2)+(h(c,B)+\frac\varepsilon2)\le P(A,C)+P(B,C)+\varepsilon$
[/mm]
wie gewünscht.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Danke für deinen beitrag.
Wieso gilt: [mm] (h(a,C)+\frac\varepsilon2)+(h(c,B)+\frac\varepsilon2)\le P(A,C)+P(B,C)+\varepsilon [/mm]
was verwendest du da?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Do 11.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Wieso gilt:
> [mm](h(a,C)+\frac\varepsilon2)+(h(c,B)+\frac\varepsilon2)\le P(A,C)+P(B,C)+\varepsilon[/mm]
> was verwendest du da?
Im Wesentlichen die Definition von $P(A,C)$ und $P(B,C)$:
Es gilt
[mm] $P(A,C)=\max(\sup_{a'\in A}h(a',C),\sup_{c'\in C}h(c',A))\ge\sup_{a'\in A}h(a',C)\ge [/mm] h(a,C)$
und ganz ähnlich überlegt man
[mm] $P(B,C)\ge [/mm] h(c,B)$.
Also
[mm] $(h(a,C)+\frac\varepsilon2)+(h(c,B)+\frac\varepsilon2)=h(a,C)+h(c,B)+\varepsilon\le P(A,C)+P(B,C)+\varepsilon$.
[/mm]
|
|
|
|
