Hausi bzgl. Folgen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Nadesau |
Hallo, ich brauche dringend Hilfe mit meinen Hausaufgaben. Bin grade in die 12. Klasse gekommen und verstehe Mathe schon wieder nicht, was sehr deprimierend ist.
Es handelt sich um Aufgaben bezüglich Folgen und Grenzwerten.
Was mir vor allem fehlt ist eine ausführliche Erklärung wie ich was zu rechnen habe...
Aufgabe 1:
Im Folgenden sind die ersten Glieder verschiedener Folgen gegeben. Gib eine explizite (an=...) und rekursive (an+1=...) Darsteluung der jeweiligen Folge an (Es fängt schon mal damit an, dass ich den unterschied nicht ganz verstehe)
1) a1=1; a2=3; a4=15; a5=31; a6=63;.... d.h. an= [mm] 2^n-1 [/mm] bzw. an+1=2an+1 ????
2) a1= 1; a2=2; a3=3; a4=4; a5=5... d.h. an=n+1 bzw. an+1=an + 1 ???
3)a1=3; a2=6; a3=9; a4=12; a5=15;... so und damit geht es los... ich weiß wie das Ergebnis aussehen muss aber weiß nicht, wie es aufzuschreiben ist. an=n+3 bzw. an+1=an+3 ?
4) a1=14; a2=17; a3=20; a4=23;.... d.h. an=..... bzw. an+1=....
5) a1= -3; a2=9; a3= -27; a4=81;...
6)a1=27; a2=22; a3=17; a4=12; a5=7;...
7) a1=2; a2=1; a3= [mm] { \bruch{ 2 }{ 3 } } [/mm] ; a4= [mm] { \bruch{ 1 }{ 2 } } [/mm] ; a5= [mm] { \bruch{ 2 }{ 5 } } [/mm]
Aufgabe 2
Die Entwicklung eines Film kostet 1,60 und zusätzlich jedes Papierbild 0,23 . Es sei Pn der Preis dür die Bearbeitung eines Films mit n Aufnahmen. Gib eine explizite Beschreibung der Folge (Pn) an und berechne damit die Folgenglieder [mm] { P_20 } [/mm], [mm] { P_36 }[/mm], und [mm] { P_72 } [/mm].
Aufgabe 3
Durch radioaktiven Zerfall verliert das Isotop 137 Cs jährlich 2,3% seiner Masse.
a) Wie viel Prozent seiner ursprünglichen Masse [mm] { m_0 } [/mm] sind nach 7 Jahren noch vorhanden ?
b) Nach wie vielen Jahren ist noch ein Prozent der ursprünglichen Masse m0 vorhanden ?
Aufgabe 4 (Beschreibung einer Folge nicht immer explizit möglich)
Der zehnjährige Willi ist aprsam. Von seinem Opa erhält er ein Sparbuch mit 2000 Startkapital. Er will pro Jahr 30% seines bisher Ersparten zusätzlich einzahlen ( d.h. im ersten Jahr 30% von 2000). Jeden Dezember hebt er für Weihnachtsgeschenke 200 von seinem Sparbuch ab.
Wie viel Geld hat Willi als Elfjähriger? [mm] { g_11 } [/mm]=
Wie viel Geld hat Willi als Zwölfjähriger? [mm] { g_12 } [/mm]=
Wie kann man die Folge [mm] { (g_n)\in\ {10,11,12;...} } [/mm]
A.1.1 Folgen und Grenzwerte, vollständige Induktion (was ist das ?)
1. Setze die Folgen um jeweils drei Glieder fort! Gib eine Bildungsvorschrift an ! (was ist eine Bildungsvorschrift?)
( [mm] { a_n } [/mm] ) = 0; 4; 18; 48; 100;....
( [mm] { b_n } [/mm] ] = 0; 2; 6; 12; 20;....
2. Gegeben ist die Folge ( [mm] { a_n } [/mm] ) mit ( [mm] { a_n } [/mm] ) = ( [mm] { 2^n-1 + 3 } [/mm] ) Für welches k ist ( [mm] { a_k }[/mm] ) = 16387 ?
3. Gegeben ist die Folge ( [mm] { a_n } [/mm] ) mit ( [mm] { a_n } [/mm] ) = ( [mm] { 6n^2 - 5n +1 } [/mm]) Für welches k ist ( [mm] { a_k }[/mm] ) = 805 ?
Soo, das war's erstmal, wäre toll wenn mir einer Helfen könnte...
Liebe Grüße
Nadesau
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Nadesau
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich denke, die Aufgaben sollten jeweils in separate Stränge geschrieben werden, da es ja unterschiedliche Aufgabe sind!
Und es ist ja auch so, dass wir nicht deine Hausaufgaben lösen wollen, sondern eher erklären, wie es geht! Dann begreifst du das ja und kannst die übrigen Aufgaben selbständig lösen! Dann ist es ja schade um die Zeit, gleich alle 10 Aufgaben abzutippen, wenn du die Grundlagen nach zwei Aufgaben begriffen hast und dann den Rest selber erledigen kannst! 
Deshalb, und auch wegen der vorgerückten Stunde, befasse ich mich nur mal mit der 1. Aufgabe!
> Hallo, ich brauche dringend Hilfe mit meinen Hausaufgaben.
> Bin grade in die 12. Klasse gekommen und verstehe Mathe
> schon wieder nicht, was sehr deprimierend ist.
Na ja, das wird sich ändern. Du bist ja jetzt im Matheraum!
> Es handelt sich um Aufgaben bezüglich Folgen und
> Grenzwerten.
>
> Was mir vor allem fehlt ist eine ausführliche Erklärung wie
> ich was zu rechnen habe...
>
> Aufgabe 1:
>
> Im Folgenden sind die ersten Glieder verschiedener Folgen
> gegeben. Gib eine explizite (an=...) und rekursive
> (an+1=...) Darsteluung der jeweiligen Folge an (Es fängt
> schon mal damit an, dass ich den unterschied nicht ganz
> verstehe)
>
Nun, der Unterschied ist ganz einfach.
Die explizite Darstellung gibt immer eine Formel an, um das n-te Glied zu berechnen, und zwar direkt mit Hilfe der Zahl $n$ und sonst mit gar nichts!
Zum Beispiel: [mm] $a_{n}=2^{n}+5$
[/mm]
Damit lässt sich direkt ein ganz bestimmtes Folgenglied berechnen!
Das Glied [mm] $a_{7}$ [/mm] hat zum Beispiel den Wert $133$.
Beachte hier auch gerade noch, dass der Index $n$ einmal als tiefgestellte Zahl zur Bezeichnung des Folgengliedes, dann aber auch als Variable in der Formel, vorkommen kann.
Im Unterschied dazu werden bei der rekursiven Darstellung zur Berechnung eines Gliedes die bereits bekannten Glieder mit einbezogen. In der Regel nur eines, manchmal auch mehr als eines. Dazu gehört dann aber auch immer, dass man den Anfang der Folge explizit angeben muss, weil ja zum Beispiel für die Berechnung von [mm] $a_1$ [/mm] noch gar kein vorangehendes Glied zur Verfügung steht.
Zum Beispiel eine Fibonacci-Folge. Sie ist rekursiv definiert als:
[mm] $a_{1}=0;\, a_{2}=1;\, a_{n+1}=a_{n-1}+a_{n}$
[/mm]
Hier muss man also die Glieder eins nach dem anderen berechnen, um ein ganz bestimmtes Glied zu erhalten. Was wäre dann zum Beispiel das Glied [mm] $a_{10}$? [/mm] Um das zu bestimmen, kommst du kaum darum herum, zuerst [mm] $a_{1}$ [/mm] zu berechnen, dann [mm] $a_{2}$, [/mm] dann [mm] $a_{3}$, [/mm] gefolgt von [mm] $a_{4}$ [/mm] und so weiter, bis du bei [mm] $a_{10}$ [/mm] angelangt bist!
$(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...)$
> 1) a1=1; a2=3; a4=15; a5=31; a6=63;.... d.h. an= [mm]2^n-1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bzw.
> an+1=2an+1 ????
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Gut, das stimmt. Vielleicht müsste es noch etwas eindeutiger dargestellt werden, etwa so:
Explizit: $a_{n}=2^{n}-1$
Rekursiv ist aber auch noch meine Anmerkung von oben zu beachten:
$a_{n+1}=2a_{n}+1$ genügt noch nicht ganz, weil du den Anfang nicht finden kannst. Was wäre denn $a_{1}$ ?? Das könntest du nicht berechnen, weil es ja kein $a_{0$ gibt!
Also so:
Rekursiv: $a_{1}=1;\, a_{n+1}=2a_{n}+1$
Du siehst auch, dass in der Aufgabenstellung das Glied $a_3$ fehlt. Nimm das doch gleich zur Kontrolle! Berechne $a_{3}$ einerseits mit der rekursiven Methode, und anderseits mit der expliziten Methode. Du solltest das gleiche Ergebnis herausbekommen!
Vielleicht wagst du dich jetzt auch selber mal an die übrigen Aufgaben und schreibst uns dein Ergebnis.
Wenn dir das nicht gelingt, dann frage bitte einfach wieder nach!
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Nadesau |
Hallo Paul, erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich wollte erstmal sagen, dass ich nicht wollte, dass ihr mir meine Hausaufgaben macht, da ich selbst weiß, dass mir das nichts bringt.
Was ich brauche sind Erklärungen, da ich diese "Mathelehrer-Erklärungen" nie verstehe muss man es mir wie einem Trottel erklären...
Ich habe mich gestern Nacht nochmal intensiv mit den Hausaufgaben beschäftigt, und bin auch auf ein paar Ergebnisse gekommen, die ich jetzt hier gerne vorstellen würde.
Also Aufgabe 1
1) a1=1; a2=3; a4=15; a5=31; a6=63;.... d.h. [mm] a_{ n } [/mm] = [mm] { 2^n - 1 } [/mm] bzw. [mm] { a_n+1 = 2a_n + 1 } [/mm] oder [mm] { a_n + 2^n } [/mm]
2) a1= 1; a2=2; a3=3; a4=4; a5=5... d.h. [mm] { a_ n } [/mm] = ? bzw. [mm] { a_n+1 = a_n + 1 } [/mm]
3) a1=3; a2=6; a3=9; a4=12; a5=15;... d.h. [mm] { a_ n } [/mm] = ? bzw. [mm] { a_n+1 = a_n + 3 } [/mm]
4) a1=14; a2=17; a3=20; a4=23;.... d.h. [mm] { a_n } [/mm] = ? bzw. [mm] { a_n+1 = } [/mm] ?
5) a1= -3; a2=9; a3= -27; a4=81;... d.h. [mm] { a_n } [/mm] = [mm] { (-3)^n } [/mm] bzw. [mm] { a_n+1 = } [/mm] ?
6) a1=2; a2=1; a3=2/3 ; a4=1/2 ; a5=2/5 .... d.h. [mm] { a_n } [/mm] = [mm] { 2n^-1 } [/mm] bzw. [mm] { a_n+1 = } [/mm] ?
Aufgabe 2
Die Entwicklung eines Film kostet 1,60 und zusätzlich jedes Papierbild 0,23 . Es sei Pn der Preis dür die Bearbeitung eines Films mit n Aufnahmen. Gib eine explizite Beschreibung der Folge (Pn) an und berechne damit die Folgenglieder [mm] { P_2_0 } [/mm] [mm] { P_3_6 } [/mm] [mm] { P_7_0 } [/mm]
--->
[mm] { P_2_0 } [/mm] = 6,20
[mm] { P_3_6 } [/mm] = 9,88
[mm] { P_7_0 } [/mm] = 17,70
Aufgabe 3
Durch radioaktiven Zerfall verliert das Isotop 137 Cs jährlich 2,3% seiner Masse.
a) Wie viel Prozent seiner ursprünglichen Masse m0 sind nach 7 Jahren noch vorhanden ?
b) Nach wie vielen Jahren ist noch ein Prozent der ursprünglichen Masse m0 vorhanden ?
----> Verstehe ich nicht wie das zu rechnen ist, unser Leherer gab uns folgenden Ansatz :
[mm] {m_n } = { m_0 * 0,977^n } [/mm] = Masse nach n Jahren
m1 = [mm] { m_0 * 0,977 = m_0 * 0,977 * 0,977 } [/mm]
m2 = [mm] { m_1 * 0,977 } [/mm] [mm] { m_0 = 0,977^2 } [/mm]
Der zehnjährige Willi ist aprsam. Von seinem Opa erhält er ein Sparbuch mit 2000 Startkapital. Er will pro Jahr 30% seines bisher Ersparten zusätzlich einzahlen ( d.h. im ersten Jahr 30% von 2000). Jeden Dezember hebt er für Weihnachtsgeschenke 200 von seinem Sparbuch ab.
Wie viel Geld hat Willi als Elfjähriger? =
Wie viel Geld hat Willi als Zwölfjähriger? =
Wie kann man die Folge $ { [mm] (g_n)\in\ [/mm] {10,11,12;...} } $ allgemein beschreiben ?
--->
1. Jahr 2600 - 200 = 2400
2. Jahr 3120 - 200 = 2920
3. Jahr 3796 - 200 = 3596
die allgemeine Beschreibung weiß ich nicht.
So weiter bin ich leider nicht gekommen.
Die Sachen, die nicht ausgefüllt sind, weiß ich nicht zu rechnen.
Hoffe da sind ein zwei richtige Ergebnisse dabei.
Liebe Grüße Nadine
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Sa 25.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Nadine!
Also mal zu Aufgabe 1.
Gehen wir die mal einzeln durch:
> 1) a1=1; a2=3; a4=15; a5=31; a6=63;.... d.h. $ [mm] a_{ n } [/mm] $ = $ { [mm] 2^n [/mm] - 1 } $ bzw. $ { [mm] a_n+1 [/mm] = [mm] 2a_n [/mm] + 1 } $ oder $ { [mm] a_n [/mm] + [mm] 2^n [/mm] } $
> 2) a1= 1; a2=2; a3=3; a4=4; a5=5... d.h. $ { a_ n } $ = ? bzw. $ { [mm] a_n+1 [/mm] = [mm] a_n [/mm] + 1 } $
> 3) a1=3; a2=6; a3=9; a4=12; a5=15;... d.h. $ { a_ n } $ = ? bzw. $ { [mm] a_n+1 [/mm] = [mm] a_n [/mm] + 3 } $
> 4) a1=14; a2=17; a3=20; a4=23;.... d.h. $ { [mm] a_n [/mm] } $ = ? bzw. $ { [mm] a_n+1 [/mm] = } $ ?
Die Glieder [mm] $a_i$ [/mm] bilden eine arithmetische Folge, deren Glieder sich immer um 3 Unterscheiden. Daher lautet die Definition:
[mm] $a_n=11+3\cdot [/mm] n$
oder
[mm] $a_{n+1}=a_{n}+3$ [/mm] mit [mm] $a_1=14$ [/mm] (das ist wichtig!)
> 5) a1= -3; a2=9; a3= -27; a4=81;... d.h. $ { [mm] a_n [/mm] } $ = $ { [mm] (-3)^n [/mm] } $ bzw. $ { [mm] a_n+1 [/mm] = } $ ?
Deine erste Definition stimmt. Die rekursive lautet [mm] $a_{n+1}=-3\cdot a_n$ [/mm] - klar? Durch das Minus änderst du das Vorzeichen.
> 6) a1=2; a2=1; a3=2/3 ; a4=1/2 ; a5=2/5 .... d.h. $ { [mm] a_n [/mm] } $ = $ { 2n^-1 } $ bzw. $ { [mm] a_n+1 [/mm] = } $ ?
Diese Folge ist nicht ganz leicht, aber du kannst es dir so herleiten:
Du beginnst bei 2. Dies multiplizierst du mit [mm]1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}[/mm]. Dies wiederum mit [mm] $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ [/mm] usw.
Daraus ergibt sich die absolute, nicht-rekursive Definition:
[mm] $a_n=2\cdot\frac{(n-1)!}{n!}$, [/mm] wobei $n!$ die Fakultät [mm] ($1\cdot2\cdot ...\cdot [/mm] $, wobei $0!=1$ gilt) ist. Ich erläutere das jetzt nicht wieter, ich denke nämlich, dass du dir das mit meinen bisheirgen Angaben selbst überlegen kannst, falls es unklar ist.
Die rekursive Definition lautet dann:
[mm] $a_{n+1}=a_n\cdot\frac{n-1}{n}$ [/mm] mit [mm] $a_1=2$
[/mm]
So, das wär's erstmal zu den Folgen.
Gruß,
Hanno
|
|
|
|
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
