Helly's Theorem - Beweis < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Theorem (Helly):
Sei X ein (B)-Raum ueber [mm] \IK, {f_{1}, ... , f_{n}} \subset [/mm] X'
Seien [mm] a_{1} [/mm] ,..., [mm] a_{n} \in \IK [/mm] , sei [mm] \gamma [/mm] > 0
Folgendes Aussagen sind äquivalent:
(1) [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists x_{\epsilon} \in [/mm] X mit [mm] ||x_{\epsilon} [/mm] || [mm] \le \gamma [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] , sodass [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,..,n} gilt: [mm] f_{i} x_{\epsilon} [/mm] = [mm] a_{i} [/mm]
(2) [mm] \forall {b_{1} , ... , b_{n} } \subset \IK [/mm] gilt | [mm] \summe_{i=1}^{n} b_{i} a_{i} [/mm] | [mm] \le [/mm] || [mm] \summe_{i=1}^{n} b_{i} f_{i} [/mm] || * [mm] \gamma
[/mm]
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Hallo,
Das Theorem oben stammt aus Yoshida's "Functional Analysis".
Ich verstehe die Richtung (2) => (1) nicht ganz, und zwar meint der Autor, dass es genüge, sich auf den Fall zu beschränken, dass die [mm] f_{i}s [/mm] linear unabhängig sind, und dass es im Fall, dass dies nicht gegeben ist, ausreicht, eine linear unabhängige Teilmenge dieser Menge zu betrachten.
Hier ist mir schleierhaft, wieso dies ausreicht.
Danke fuer alle Antworten.
Ich habe diese Frage in keinem weiterem Forum gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 06.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:04 So 04.07.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo !
Ich weiss, ich bin zu spät, aber vielleicht hilfts dir trotzdem!
Ich habe das Buch nämlich auch!
Ok, die Richtung 1) => 2) ist offensichtlich trivial.
2) => 1) die lin. unabhäng. geschichte:
Falls die [mm] $f_i [/mm] 's$ nicht linear unabhängig wären, dann gilt per Definition, dass man mindestens ein [mm] $f_i$ [/mm] als lineare Kombination der Anderen schreiben kann. Die Ungleichung, die man da annimmt, ist ja eine Aussage über die Norm eines Elementes im [mm] $span_{\IK} \{ f_j; j\}$. [/mm] Also reicht es die Aussage für eine linear unabhängige Teilmenge $U$ zu betrachten, die den gesamten "span" erzeugt, denn die "restlichen", nicht in dieser linear unabhängigen Teilmenge enthaltenen Elemente, kann man ja mittels einer Linearkombination der in $U$ enthalten Elemente bekommen. Das rechtfertigt die "o.B.d.A"- Aussage.
Ich hoffe, ich konnte Licht in die Sache bringen. Der Rest des Beweises steht eigentlich schon da (S. 110 oben bei mir)
Gruss dazivo
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