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Hallo
ich lese gerade eine Gleichung und versuche,sie mir herzuleiten, stehe aber leider auf dem Schlauch:
[mm] \bruch{1}{x + iy} [/mm] = [mm] \bruch{x}{x^2 + y^2} [/mm] + [mm] i\bruch{-y}{x^2 + y^2}
[/mm]
Ich gehe aus von [mm] \bruch{1}{x + iy} [/mm] und komme bis
[mm] \bruch{x + iy}{x^2 + 2ixy - y^2} [/mm] (soweit richtig?)
Wie geht's dann weiter?
Lang lang ist's her ...
Gruß und danke
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:32 Mi 06.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> ich lese gerade eine Gleichung und versuche,sie mir
> herzuleiten, stehe aber leider auf dem Schlauch:
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> [mm]\bruch{1}{x + iy}[/mm] = [mm]\bruch{x}{x^2 + y^2}[/mm] + [mm]i\bruch{-y}{x^2 + y^2}[/mm]
>
> Ich gehe aus von [mm]\bruch{1}{x + iy}[/mm] und komme bis
>
> [mm]\bruch{x + iy}{x^2 + 2ixy - y^2}[/mm] (soweit richtig?)
Ja, richtig ist es,bringt aber nix
Nicht mit x+iy erweitern, sondern mit x-iy.
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> Wie geht's dann weiter?
>
> Lang lang ist's her ...
>
> Gruß und danke
>
> Martin
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Ok danke, jetzt klappt's.
Kannst du mir sagen, nach welchem Kriterium du gehst, also wie man darauf kommt, womit man erweitern muss? Ist das Intuition?
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Hallo, es geht darum, dass der Nenner rational wird, also rechnest Du
(x+iy)*(x-iy)
(x-iy) ist die konjugiert komplexe Zahl zu (x+iy)
Steffi
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> Hallo, es geht darum, dass der Nenner rational wird, ...
Hallo Steffi
hier geht es darum, dass der Nenner reell (gar nicht
unbedingt auch rational) wird !
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:01 Mi 06.12.2017 | | Autor: | Steffi21 |
Danke Al-Chwarizmi für den Hinweis, ich meinte natürlich reell, Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Mi 06.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Ok danke, jetzt klappt's.
> Kannst du mir sagen, nach welchem Kriterium du gehst, also
> wie man darauf kommt, womit man erweitern muss? Ist das
> Intuition?
Nein. Das ist in der mathematik "Folklore". Ist $z [mm] \in \IC \setminus \{0\}$, [/mm] und will man $1/z$ in der Form $a+ib$ schreiben,
so erweitert man mit [mm] \overline{z}:
[/mm]
[mm] $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$.
[/mm]
Ist $z=x+iy$, so liefert dies:
$ [mm] \bruch{1}{x + iy} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{x}{x^2 + y^2} [/mm] $ + $ [mm] i\bruch{-y}{x^2 + y^2} [/mm] $
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Do 07.12.2017 | | Autor: | a3bas |
allgemein:
setze $z:= a+bi$ , das Komplex konjugierte also [mm] $\overline{z}=a-bi$
[/mm]
$a,b [mm] \in \IR$, [/mm] i Lösung der Gleichung [mm] $(x^{2}+1=0)$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi} [/mm] = [mm] \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)} [/mm] = [mm] \frac{\overline{z}}{z\overline{z}} [/mm] ...$
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Do 07.12.2017 | | Autor: | fred97 |
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>
> allgemein:
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> setze [mm]z:= a+bi[/mm] , das Komplex konjugierte also
> [mm]\overline{z}=a-bi[/mm]
> [mm]a,b \in \IR[/mm], i Lösung der Gleichung [mm](x^{2}+1=0)[/mm]
"die" Lösung ??? Obige Gleichung hat 2 Lösungen (im Komplexen) !
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> [mm]\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{\overline{z}}{z\overline{z}} ...[/mm]
Habe ich etwas anderes erzählt ???
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