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Herleitung: Komme nicht weiter :-(
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Di 07.03.2006
Autor: JavaBunch

Aufgabe
Man bestätige, dass für die Binomialkoeffizienten die folgenden Gleichungen
richtig sind (dabei ist m jeweils eine beliebige nichtnegative ganze Zahl) :

[mm] \vektor{-1 \\ m}=(-1)^m [/mm]


Mit folgender Formel

[mm] \vektor{ \alpha \\ 0} [/mm] = ( [mm] \alpha*( \alpha-1)*( \alpha-2)*...*( \alpha-(k-1)))/(k!) [/mm]

für k >= 1

Ich muss mehrere Aufgaben dieses Typs lösen. Ich habe diese länger probiert, ich komme aber einfach nicht drauf!
Kann mir bitte bitte jemand diese eine einzige Aufgabe komplett "herleiten" mit ALLEN  Zwischenschritten, so dass ich das verstehe?

Danke für eure Hilfe


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Herleitung: Lösungsansätze abtippen.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:31 Di 07.03.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo JavaBunch,


[willkommenmr]


>  Ich muss mehrere Aufgaben dieses Typs lösen. Ich habe
> diese länger probiert


Könntest Du denn noch eben kurz hinschreiben, was genau Du dafür schon "länger probiert" hast? Es wäre doch auf jeden Fall ein Anfang...



Viele Grüße
Karl




Bezug
                
Bezug
Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Di 07.03.2006
Autor: JavaBunch

Ja ich suche die Anfänge heraus und poste sie die nächsten 20-40 min!

Danke!
Bezug
        
Bezug
Herleitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Di 07.03.2006
Autor: JavaBunch

Aufgabe
Also hier mal mein Ansatz:



Zeile 1: [mm] \bruch{(-1)*(-2)*(-3)...*(-1-(m-1))}{1*2*3*...*(m)} [/mm]

Zeile 2: [mm] \bruch{(-1)^m*(1)*(2)*(3)...*(m)}{1*2*3*...*(m)} [/mm]

Zeile 3: [mm] \bruch{(-1)^m!}{m!} [/mm]

Zeile 4: [mm] (-1)^m [/mm]

Ich verstehe nicht wie man von Zeile 1 auf Zeile 2 kommt! Vorallem nicht wie man am Anfang auf [mm] (-1)^m [/mm] kommt!

Kann mir bitte jemand in vielen Einzelschritten zeigen wie man von Zeile 1 auf Zeile 2 kommt?


Bitte
Bezug
                
Bezug
Herleitung: Sichtweisen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:21 Di 07.03.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo nochmal!


> Also hier mal mein Ansatz:
>  
>
>
> Zeile 1:
> [mm]\bruch{(-1)*(-2)*(-3)...*(-1-(m-1))}{1*2*3*...*(m)}[/mm]


Ok, hier wird -1 in [mm]\alpha[/mm] eingesetzt und dann ...


> Zeile 2: [mm]\bruch{(-1)^m*(1)*(2)*(3)...*(m)}{1*2*3*...*(m)}[/mm]


... wird folgende Idee verallgemeinert:


Betrachte die negativen Zahlen [mm]-a, -b, -c[/mm]. Was passiert, wenn Du das Produkt davon bildest? Es gilt dann:


[mm](-a)(-b)(-c) = ab(-c) = -abc[/mm]



und warum gilt das? Weil [mm]-a = (-1)\cdot{a}[/mm] gilt; eingesetzt in die obige Gleichung ergibt das: [mm](-1)a(-1)b(-1)c[/mm]. Nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation gilt somit:


[mm](-1)a(-1)b(-1)c = (-1)(-1)(-1)abc = (-1)^3abc[/mm]


Die selbe Idee wendet man in Zeile 2 an. Jedoch hat man dort nicht 3, sondern [mm]m[/mm] Faktoren. Im Übrigen gilt:


[mm]-1-(m-1) = (-1)(1+(m-1)) = (-1)m[/mm]


Es sind also wirklich [mm]m[/mm] Faktoren. ;-)


> Zeile 3: [mm]\bruch{(-1)^m!}{m!}[/mm]


Müßte hier nicht eigentlich


[mm]\bruch{(-1)^mm!}{m!}[/mm]


stehen? Es gilt jedenfalls per Definition: [mm]m! := 1\cdot{2}\cdot{}\ldots\cdot{}m[/mm] und [mm]0! := 1[/mm].


> Zeile 4: [mm](-1)^m[/mm]


[mm]m![/mm] wurde gekürzt.


Hat sich dein Nebel jetzt gelichtet? :-)



Viele Grüße
Karl
[user]




Bezug
                        
Bezug
Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:38 Di 07.03.2006
Autor: JavaBunch

Dankeschön für die gute Antwort :-)
Bezug
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