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Herleitung: Adam-Bashforth m=2: Denkfehler oder Rechenfehler
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Do 23.06.2011
Autor: KomplexKompliziert

Aufgabe
Herleitung des Adam-Bashforth-Verfahrens m=2 mit den Lagrange-Grundpolynomen

Hallo Zusammen!
Ich habe mir folgende Zusammenfassung erstellt um die Adam-Bashforth-Verfahren herzuleiten.

[mm] y_{k+m}=y_{k+m-1}+h\sum_{j=0}^{m-1} \beta_jf_{k+j} [/mm]

mit

[mm] \beta_j=\int_{m-1}^m L_j(x) [/mm] ds

und

[mm] L_j(x)=\prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{m-1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}} [/mm]


Herleitung f"ur m=2:
1.)  Iterationsvorschrift:

[mm] y_{k+2}&=y_{k+1}+\sum_{j=0}^{1} \beta_jf_{k+j}\\ [/mm]
[mm] &=y_{k+1}+\beta_0f_{k}+\beta_1f_{k+1}\\ [/mm]
[mm] &=y_{k+1}+ \int_{m-1}^m L_0(x) ds\cdot f_{k}+\int_{m-1}^m L_1(x) ds\cdot f_{k+1}\\ [/mm]

2.)  Bestimmung von [mm] \beta [/mm]

[mm] \beta_0&=\int_{1}^2 L_0(x) dx\\ [/mm]
[mm] &=\int_{1}^2 \prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}} ds\\ [/mm]
[mm] &=\int_{1}^2 \frac{s-x_{k+1}}{\textcolor{green}{x_{k}}-x_{k+1}} ds\\ [/mm]
Setze  [mm] s=\textcolor{green}{x_k}+h\cdot &\xi\rightarrow \frac{ds}{d\xi}=h\\ [/mm]
Weiter gilt: [mm] x_k-&x_{k+1}=-h\\ [/mm]
[mm] &=\int_{1}^2 \frac{x_k+h\xi-x_{k+1}}{-h} h\cdot d\xi\\ [/mm]
[mm] &=h\cdot \int_{1}^2 \frac{-h+h\xi}{-h} d\xi\\ [/mm]
[mm] &=h\cdot \int_{1}^2 1-\xi d\xi\\ [/mm]
[mm] &=h\left[\xi- \frac{1}{2}\xi^2\right]^2_1=h\cdot(2-2-1+0,5)=-0,5h [/mm]


[mm] \beta_1&=\int_{1}^2 L_1(x) dx\\ [/mm]
[mm] &=\int_{1}^2 \prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}} ds\\ [/mm]
[mm] &=\int_{1}^2 \frac{s-x_{k}}{\textcolor{green}{x_{k+1}}-x_{k}} ds\\ [/mm]
Setze  [mm] s=\textcolor{green}{x_{k+1}}&+h\cdot \xi\rightarrow \frac{ds}{d\xi}=h\\ [/mm]
Weiter gilt: [mm] &x_{k+1}-x_{k}=h\\ [/mm]
[mm] &=\int_{1}^2 \frac{x_{k+1}+h\xi-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}} h\cdot d\xi\\ [/mm]
[mm] &=h\cdot \int_{1}^2 \frac{h+h\xi}{h} d\xi=h\int_{1}^2 1+\xi d\xi\\ [/mm]
[mm] &=h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=2,5h [/mm]

Eigentlich sollte für [mm] \beta_1 =\frac{3h}{2} [/mm] rauskommen.

Kann mir jemand helfen?

a.) Sind meine obigen Definitionen überhaupt richtig?
b.) Wo liegt mein Denk- bzw. Rechenfehler?


Vielen vielen Dank schon im Voraus!

        
Bezug
Herleitung: Adam-Bashforth m=2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Do 07.07.2011
Autor: meili

Hallo,

> Herleitung des Adam-Bashforth-Verfahrens m=2 mit den
> Lagrange-Grundpolynomen
>  Hallo Zusammen!
>  Ich habe mir folgende Zusammenfassung erstellt um die
> Adam-Bashforth-Verfahren herzuleiten.
>
> [mm]y_{k+m}=y_{k+m-1}+h\sum_{j=0}^{m-1} \beta_jf_{k+j}[/mm]
>  
> mit
>  
> [mm]\beta_j=\int_{m-1}^m L_j(x)[/mm] ds
>  
> und
>  
> [mm]L_j(x)=\prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{m-1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}}[/mm]
>  
>
> Herleitung f"ur m=2:
>  1.)  Iterationsvorschrift:
>  
> [mm]y_{k+2}&=y_{k+1}+\sum_{j=0}^{1} \beta_jf_{k+j}\\[/mm]
>  
> [mm]&=y_{k+1}+\beta_0f_{k}+\beta_1f_{k+1}\\[/mm]
>  [mm]&=y_{k+1}+ \int_{m-1}^m L_0(x) ds\cdot f_{k}+\int_{m-1}^m L_1(x) ds\cdot f_{k+1}\\[/mm]
>  
> 2.)  Bestimmung von [mm]\beta[/mm]
>  
> [mm]\beta_0&=\int_{1}^2 L_0(x) dx\\[/mm]
>  [mm]&=\int_{1}^2 \prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}} ds\\[/mm]
>  
> [mm]&=\int_{1}^2 \frac{s-x_{k+1}}{\textcolor{green}{x_{k}}-x_{k+1}} ds\\[/mm]
>  
> Setze  [mm]s=\textcolor{green}{x_k}+h\cdot &\xi\rightarrow \frac{ds}{d\xi}=h\\[/mm]
>  
> Weiter gilt: [mm]x_k-&x_{k+1}=-h\\[/mm]
>  [mm]&=\int_{1}^2 \frac{x_k+h\xi-x_{k+1}}{-h} h\cdot d\xi\\[/mm]
>  
> [mm]&=h\cdot \int_{1}^2 \frac{-h+h\xi}{-h} d\xi\\[/mm]
>  [mm]&=h\cdot \int_{1}^2 1-\xi d\xi\\[/mm]
>  
> [mm]&=h\left[\xi- \frac{1}{2}\xi^2\right]^2_1=h\cdot(2-2-1+0,5)=-0,5h[/mm]
>  
>
> [mm]\beta_1&=\int_{1}^2 L_1(x) dx\\[/mm]
>  [mm]&=\int_{1}^2 \prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}} ds\\[/mm]
>  
> [mm]&=\int_{1}^2 \frac{s-x_{k}}{\textcolor{green}{x_{k+1}}-x_{k}} ds\\[/mm]
>  
> Setze  [mm]s=\textcolor{green}{x_{k+1}}&+h\cdot \xi\rightarrow \frac{ds}{d\xi}=h\\[/mm]
>  
> Weiter gilt: [mm]&x_{k+1}-x_{k}=h\\[/mm]
>  [mm]&=\int_{1}^2 \frac{x_{k+1}+h\xi-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}} h\cdot d\xi\\[/mm]
>  
> [mm]&=h\cdot \int_{1}^2 \frac{h+h\xi}{h} d\xi=h\int_{1}^2 1+\xi d\xi\\[/mm]
>  
> [mm]&=h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=2,5h[/mm]

Steckt der Fehler nicht hier?

[mm]h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=h(2+1-(1+\frac{1}{2}))=h*(2+1-1-\frac{1}{2})=\frac{3h}{2}[/mm]

>  
> Eigentlich sollte für [mm]\beta_1 =\frac{3h}{2}[/mm] rauskommen.
>
> Kann mir jemand helfen?
>  
> a.) Sind meine obigen Definitionen überhaupt richtig?
>  b.) Wo liegt mein Denk- bzw. Rechenfehler?
>  
>
> Vielen vielen Dank schon im Voraus!

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Herleitung: Adam-Bashforth m=2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:36 Fr 08.07.2011
Autor: KomplexKompliziert

Hallo meili!
> > [mm]&=h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=2,5h[/mm]
>  Steckt
> der Fehler nicht hier?
>  
> [mm]h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=h(2+\textcolor{red}{1}-(1+\frac{1}{2}))=h*(2+1-1-\frac{1}{2})=\frac{3h}{2}[/mm]
>  
> >  

Meines Erachtens nicht, denn du hast bei dem rot markierten glaube ich das Quadrat vergessen... denn [mm] \frac{1}{2}\cdot 2^2=2$ [/mm]
...oder ich bin jetzt vollkommen neben der Kappe.
Hast du sonst noch eine Idee?


Bezug
                        
Bezug
Herleitung: Adam-Bashforth m=2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Fr 08.07.2011
Autor: meili

Hallo,

> Hallo meili!
>  > > [mm]&=h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=2,5h[/mm]

>  >  
> Steckt
> > der Fehler nicht hier?
>  >  
> > [mm]h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=h(2+\textcolor{red}{1}-(1+\frac{1}{2}))=h*(2+1-1-\frac{1}{2})=\frac{3h}{2}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> Meines Erachtens nicht, denn du hast bei dem rot markierten
> glaube ich das Quadrat vergessen... denn [mm]\frac{1}{2}\cdot 2^2=2$[/mm]
>  
> ...oder ich bin jetzt vollkommen neben der Kappe.
>  Hast du sonst noch eine Idee?
>  

Ja, Du hast recht. Ich habe da einen Murks zusammen gekürzt.
Der Fehler muss wohl wo anderst liegen.

Gruß
meili

Bezug
                        
Bezug
Herleitung: Adam-Bashforth m=2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:27 Do 14.07.2011
Autor: meili

Hallo,
ich versuchs nochmal.

> Hallo Zusammen!
> Ich habe mir folgende Zusammenfassung erstellt um die Adam-Bashforth-Verfahren herzuleiten.

Adams-Bashforth-Verfahren

> $ [mm] y_{k+m}=y_{k+m-1}+h\sum_{j=0}^{m-1} \beta_jf_{k+j} [/mm] $

[ok]

> mit

> $ [mm] \beta_j=\int_{m-1}^m L_j(x) [/mm] $ ds

Die Integrationsgrenzen sind nicht in Ordnung.
Besser
$ [mm] \beta_j=\bruch{1}{h}*\int_{x_{k+m-1}}^{x_{k+m}}{L_j(s) ds}$. [/mm]

Bei dem Verfahren wird die Funktion f durch ein Polynom p vom Grad m-1
in den Knoten [mm] $(x_k,f(x_k) [/mm] , [mm] \ldots [/mm] , [mm] (x_{k+(m-1)},f(x_{k+(m-1)})$ [/mm] interpoliert. Man erhält damit:
$ [mm] y_{k+m}=y_{k+m-1}+\integral_{x_{k+m-1}}^{x_{k+m}}{p(t) dt} [/mm] $

> und

> $ [mm] L_j(s)=\prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{m-1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}} [/mm] $

[ok]

> Herleitung für m=2:
> 1.)  Iterationsvorschrift:

> $ [mm] y_{k+2}&=y_{k+1}+\sum_{j=0}^{1} \beta_jf_{k+j}\\ [/mm] $
> $ [mm] &=y_{k+1}+\beta_0f_{k}+\beta_1f_{k+1}\\ [/mm] $
> $ [mm] &=y_{k+1}+ \int_{m-1}^m L_0(x) ds\cdot f_{k}+\int_{m-1}^m L_1(x) ds\cdot f_{k+1}\\ [/mm] $



$ [mm] y_{k+2}&=y_{k+1}+h*\sum_{j=0}^{1} \beta_jf_{k+j}\\ [/mm] $

$ [mm] &=y_{k+1}+h*\beta_0f_{k}+h*\beta_1f_{k+1}\\ [/mm] $

$ [mm] &=y_{k+1}+ \int_{x_{k+1}}^{x_{k+2}}{ L_0(s) ds}\cdot f_{k}+\int_{x_{k+1}}^{x_{k+2}}{ L_1(s) ds}\cdot f_{k+1}\\ [/mm] $



> 2.)  Bestimmung von $ [mm] \beta [/mm] $

> $ [mm] \beta_0&=\int_{1}^2 L_0(x) dx\\ [/mm] $
> $ [mm] &=\int_{1}^2 \prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}} ds\\ [/mm] $
> $ [mm] &=\int_{1}^2 \frac{s-x_{k+1}}{\textcolor{green}{x_{k}}-x_{k+1}} [/mm] dSetze  $ [mm] s=\textcolor{green}{x_k}+h\cdot &\xi\rightarrow \frac{ds}{d\xi}=h\\ [/mm] $
> Weiter gilt: $ [mm] x_k-&x_{k+1}=-h\\ [/mm] $
> $ [mm] &=\int_{1}^2 \frac{x_k+h\xi-x_{k+1}}{-h} h\cdot d\xi\\ [/mm] $
> $ [mm] &=h\cdot \int_{1}^2 \frac{-h+h\xi}{-h} d\xi\\ [/mm] $
> $ [mm] &=h\cdot \int_{1}^2 1-\xi d\xi\\ [/mm] $
> $ [mm] &=h\left[\xi- \frac{1}{2}\xi^2\right]^2_1=h\cdot(2-2-1+0,5)=-0,5h [/mm] $


[mm] $\beta_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{h}*\integral_{x_{k+1}}^{x_{k+2}}{L_0(s) ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{h}*\integral_{x_{k+1}}^{x_{k+2}}{\frac{s-x_{k+1}}{x_{k}-x_{k+1}} ds}$ [/mm] =
[mm] $\bruch{1}{-h^2}*\integral_{x_{k+1}}^{x_{k+2}}{s-x_{k+1} ds}$ [/mm] =
[mm] $\bruch{1}{-h^2}\left[ \frac{1}{2}*s^2 - s*x_{k+1}\right]^{x_{k+2}}_{x_{k+1}}$ [/mm] =
[mm] $\bruch{1}{-h^2}\left( \frac{1}{2}*x_{k+2}^2 - x_{k+2}*x_{k+1} - \frac{1}{2}*x_{k+1}^2 + x_{k+1}^2\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{-2*h^2}* \left( x_{k+2}^2 - 2*x_{k+1}*x_{k+2} + x_{k+1}^2 \right)$ [/mm] =  
[mm] $\bruch{1}{-2*h^2}*\left( x_{k+2} - x_{k+1} \right)^2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm]



> $ [mm] \beta_1&=\int_{1}^2 L_1(x) dx\\ [/mm] $
> $ [mm] &=\int_{1}^2 \prod_{\underset{i\ne j}{i=0}}^{1} \frac{s-x_{k+i}}{x_{k+j}-x_{k+i}} ds\\ [/mm] $
> $ [mm] &=\int_{1}^2 \frac{s-x_{k}}{\textcolor{green}{x_{k+1}}-x_{k}} ds\\ [/mm] $
> Setze  $ [mm] s=\textcolor{green}{x_{k+1}}&+h\cdot \xi\rightarrow \frac{ds}{d\xi}=h\\ [/mm] $
> Weiter gilt: $ [mm] &x_{k+1}-x_{k}=h\\ [/mm] $
> $ [mm] &=\int_{1}^2 \frac{x_{k+1}+h\xi-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}} h\cdot d\xi\\ [/mm] $
> $ [mm] &=h\cdot \int_{1}^2 \frac{h+h\xi}{h} d\xi=h\int_{1}^2 1+\xi d\xi\\ [/mm] $
> $ [mm] &=h\left[\xi+\frac{1}{2}\xi ^2\right]^2_1=2,5h [/mm] $

> Eigentlich sollte für $ [mm] \beta_1 =\frac{3h}{2} [/mm] $ rauskommen.


[mm] $\beta_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{h}*\integral_{x_{k+1}}^{x_{k+2}}{L_1(s) ds} [/mm] = [mm] \bruch{1}{h}*\integral_{x_{k+1}}^{x_{k+2}}{\frac{s-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}} ds}$ [/mm] =
[mm] $\bruch{1}{h^2}*\integral_{x_{k+1}}^{x_{k+2}}{s-x_{k} ds}$ [/mm] =
[mm] $\bruch{1}{h^2}\left[ \frac{1}{2}*s^2 - s*x_{k}\right]^{x_{k+2}}_{x_{k+1}}$ [/mm] =
[mm] $\bruch{1}{h^2}\left( \frac{1}{2}*x_{k+2}^2 - x_{k+2}*x_{k} - \frac{1}{2}*x_{k+1}^2 + x_{k+1}*x_k\right)$ [/mm] =
[mm] $\bruch{1}{h^2}* \left( x_k*(x_{k+1} - x_{k+2})+\bruch{1}{2}\left(x_{k+2}^2 - x_{k+1}^2 \right) \right)$ [/mm] =
$ [mm] \bruch{1}{h^2}*\left( x_{k}*(-h) +\bruch{1}{2}\left(x_{k+2} + x_{k+1} \right)*\left(x_{k+2} - x_{k+1} \right) \right)$ [/mm] =
[mm] $\bruch{1}{h}\left( -x_k + \bruch{1}{2}*\left(x_{k+2}+x_{k+1}\right)\right)$ [/mm] =
[mm] $\bruch{1}{h}*\bruch{3}{2}*h [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm]

> Kann mir jemand helfen?

> a.) Sind meine obigen Definitionen überhaupt richtig?
> b.) Wo liegt mein Denk- bzw. Rechenfehler?


> Vielen vielen Dank schon im Voraus!

Gruß
meili

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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