Herleitung Marketdemand < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Do 13.05.2010 | | Autor: | tumas |
| Aufgabe | | N(f,a)=1815f+0.25fa+153a |
Ich muss die demand function von der utillity function herleiten, bin ich hier auf den richtigen Weg ?
Um die demand functions zu bestimmen, würde ich zunächst sagen, dass bei der demand function gelten muss p= f(x).
Ich müsste aus der Nutzenfunktion das Haushaltsoptimum bestimmen unter der Nebenbedingung, dass das gesamte Einkommen für den Konsum veräußert wird. Demnach komme ich zu: I - [mm] P_{f}f [/mm] - [mm] P_{a}a [/mm] = 0 .
Deshalb:
L = 1815f+0.25fa+153a + [mm] \lambda [/mm] ( I - [mm] P_{f}f [/mm] - [mm] P_{a}a [/mm] )
Dann leite ich regulär partiell ab:
[mm] \bruch{\partial L}{\partial f} [/mm] = 1815 + 0.25a - [mm] \lambda P_{f} [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial L}{\partial a} [/mm] = 153 + 0.25f - [mm] \lambda P_{a} [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial L}{\partial \lambda} [/mm] = I - [mm] P_{f}f [/mm] - [mm] P_{a}a
[/mm]
Ergibt sich nach Umformung: [mm] \bruch{1815 + 0.25a }{153 + 0.25f } [/mm] = [mm] \bruch{\lambda P_{f}}{\lambda P_{a}} [/mm] .
Würde ich kürzen zu [mm] \bruch{605 + a}{51 + f} [/mm] = [mm] \bruch{P_{f}}{P_{a}}
[/mm]
Bin ich auf dem richtigen Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Do 13.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
ich nehme mal an, Du willst die Marshallian demand function?
> $ [mm] \bruch{\partial L}{\partial \lambda} [/mm] = I - [mm] P_{f}f [/mm] - [mm] P_{a}a [/mm] =0$
Auch diese Ableitung muß gleich 0 sein.
> Würde ich kürzen zu [mm]\bruch{605 + a}{51 + f}[/mm] =
> [mm]\bruch{P_{f}}{P_{a}}[/mm]
Wie Du auf den gekürzten Bruch kommst, fände ich *sehr* interessant. =)
> Bin ich auf dem richtigen Weg?
Sonst stimmt alles. Auflösen fehlt noch; und eine Begründung, warum das Ergebnis ein Maximum ist.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Do 13.05.2010 | | Autor: | tumas |
Habe ich falsch gekürtzt ? Würdest du es belassen bei :
[mm] \bruch{1815 + 0.25a }{153 + 0.25f } [/mm] = [mm] \bruch{Pf}{Pa}
[/mm]
Wie würdest du dann auflösen?
Vielen dank für deine Hilfe !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 Do 13.05.2010 | | Autor: | tumas |
Und wie komme ich von dort zur Preis - Absatz form ?
Was würdest du Vorschlagen?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Blech |
> Und wie komme ich von dort zur Preis - Absatz form ?
Welche Preis-Absatz-Form?
Du willst doch eine Marshall Nachfragefunktion (nehm ich an, weil Du nix gegenteiliges gesagt hast), also
[mm] $M(P_f,P_a,I)=\pmat{f(I)\\ a(I)}$
[/mm]
d.h. eine Funktion mit den Preisen als Parameter, die Dir für jeden Konsumausgaben-Level I sagt, wieviel f und wieviel a konsumiert wird.
Du mußt also Deine Gleichungen noch nach a und f auflösen, so daß der Term rechts nur von I abhängt
f=irgendwas von I, aber ohne a oder f
a=ebenso
> Habe ich falsch gekürtzt ?
Ja, aber mich würde interessieren wieso. Deswegen hab ich ja gefragt, wie Du gekürzt hast.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Fr 14.05.2010 | | Autor: | tumas |
Ich hatte im Grunde einfach die beiden Funktionen geteilt und dan den kleinsten Teiler gesucht, so das sich das Lambda rausgekürtzt hat. Ich möchte eine Nachfragefunktion für das gut f und das gut a herleiten.
Keine Preis-Absatz funktion , entschuldige ich meinte eigentlich, wie verändert sich die nachgefragte Menge von gut f, wenn sich der Preis von f verändert. q(f) = Pf +Pa +I wobei Pa und I dementsprechend konstant gehalten werden würden. Das Gleiche dementsprechen für das gut a.
Würdest du nach Lambda umstellen und gleichsetzen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Blech |
> Ich hatte im Grunde einfach die beiden Funktionen geteilt
mir geht's nur um's Kürzen von
$ [mm] \bruch{1815 + 0.25a }{153 + 0.25f } [/mm] $
und zwar wie Du hinten die 0.25 und vorne den Faktor 3 weggekriegt hast.
> und dan den kleinsten Teiler gesucht, so das sich das
> Lambda rausgekürtzt hat. Ich möchte eine
> Nachfragefunktion für das gut f und das gut a herleiten.
Ja, und zwar nach Marshall, nehm ich an? Maximaler Nutzen bei gegebenen Ausgaben.
> Keine Preis-Absatz funktion , entschuldige ich meinte
> eigentlich, wie verändert sich die nachgefragte Menge von
> gut f, wenn sich der Preis von f verändert.
Ja. Dafür willst Du
$ [mm] M(P_f,P_a,I)=\pmat{f(P_f,P_a,I)\\ a(P_f,P_a,I)}$
[/mm]
(sorry, ich hätte [mm] $P_f$ [/mm] und [mm] $P_a$ [/mm] jeweils dazuschreiben sollen. Ich behandle sie immer wie Parameter, Verzeihung)
> q(f) = Pf +Pa +I
Was soll q(f) sein? Und was [mm] $P_a+P_f+I$? [/mm] Oder ist das $P*a+P*f+I$?
> Würdest du nach Lambda umstellen und gleichsetzen ?
Du kannst schon teilen, wie Du das getan hast, weil [mm] $\lambda\neq [/mm] 0$ (wieso? =).
Gleichungen 1 und 2 nach [mm] $\lambda$ [/mm] auflösen und gleichsetzen geht genauso.
Aber damit bist Du doch nicht fertig. Du hast 2 Gleichungen für 2 Unbekannte:
$ [mm] \bruch{1815 + 0.25a }{153 + 0.25f } [/mm] = [mm] \bruch{P_{f}}{P_{a}} [/mm] $
und
$I - [mm] P_{f}f [/mm] - [mm] P_{a}a [/mm] =0 $
und die mußt Du jetzt nach f und a auflösen
a=<hier darf kein f stehen>
f=<und hier kein a>
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Fr 14.05.2010 | | Autor: | tumas |
Die 0.25 haben ich heraus gekürzt durch 0.25a/0.25f , habe ich dort einen Fehler gemacht? Den Faktor drei habe ich durch herausprobieren gefunden, gibt es eine bessere Variante ?
Mit q (f) meinte ich nachgefrage menge von gut f. Deine Schreibweise ist korrekt P * a + P * f +I
Eine Frage hätte ich noch, falls lambda = 0 ist, wie finde ich dies heraus ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Die 0.25 haben ich heraus gekürzt durch 0.25a/0.25f , habe
> ich dort einen Fehler gemacht? Den Faktor drei habe ich
> durch herausprobieren gefunden, gibt es eine bessere
> Variante ?
Das hatte ich befürchtet. Du kannst doch nicht einfach die Summanden mit verschiedenen Faktoren kürzen.
[mm] $2=\frac{16}{8}=\frac{10+6}{2+6}=\frac{5+1}{1+1}=3$
[/mm]
> Mit q (f) meinte ich nachgefrage menge von gut f. Deine
q(f) ist eine Funktion q in Abhängigkeit von f.
f in Abhängigkeit von irgendwas ist f(...)
> Schreibweise ist korrekt P * a + P * f +I
Was soll dann P sein?
Oder [mm] $P_a [/mm] * a + [mm] P_f [/mm] * f +I$?
Aber nachdem wir ja schon vorausgesetzt haben, daß alles verkonsumiert wird, also
[mm] $P_a [/mm] * a + [mm] P_f [/mm] * f = I$
hast Du dann
f(...)=2I
Nochmal: Was wolltest Du mit q(f)=Pa+Pf+I sagen? Auf Deutsch. Das mit den Formeln kriegen wir dann schon hin.
> Eine Frage hätte ich noch, falls lambda = 0 ist, wie finde
> ich dies heraus ?
[mm] $\lambda$ [/mm] ist null, wenn die Nebenbedingung nicht scharf ist, d.h. das globale Maximum an der gleichen Stelle ist wie das Maximum unter der Nebenbedingung.
Lös lieber nach [mm] $\lambda$ [/mm] auf, da kann nichts schiefgehen. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 Fr 14.05.2010 | | Autor: | tumas |
Ich wollte zeigendas die Nachfrage nach dem Gut f von dem Preis von gut f (Pf), dem Preis von gut a (Pa) und dem Einkommen abhängt. Das wäre ja eine Nachfragefunktion, oder?
Hättest du nur gezeigt, dass die nachfrage nach Gut f vom dem Preis von Gut f (Pf) abhängt?
Hättest du einen Literatur tipp zu der "scharfen" Nebenbedingung? Es würde mich nun schon etwas interessieren ;)
Vielen Dank für deine Geduld und Tipps Stefan !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich wollte zeigendas die Nachfrage nach dem Gut f von dem
> Preis von gut f (Pf), dem Preis von gut a (Pa) und dem
> Einkommen abhängt. Das wäre ja eine Nachfragefunktion,
> oder?
Ja,
was Du suchst ist
[mm] $f=f(P_f,P_a,I)$
[/mm]
und
[mm] $a=a(P_f,P_a,I)$
[/mm]
Wenn ein Wert x von y und z abhängt, dann ist x eine Funktion von y und z: x(y,z)
x=x(y,z) ist suggestiv dafür, daß wir die Größe x jetzt als Funktion von y und z betrachten, also wenn ich eine Gleichung
[mm] $x^2+y^2+z^2=1$ [/mm] gegeben habe, dann sind x, y und z ja erstmal Variablen, Konstanten oder was auch immer. Wenn ich jetzt schreibe
[mm] $x(y,z)^2+y^2+z^2=1$, [/mm] dann ist das im Prinzip die Ankündigung "ich will hier nach x auflösen." Ankündigen tut man das u.a. deshalb, weil das Auflösen manchmal nicht ganz einfach und oft unmöglich ist. =)
Normalerweise faßt man jetzt Deine beiden Funktionen oben in der vektorwertige Funktion
$ [mm] M(P_f,P_a,I)=\pmat{f(P_f,P_a,I)\\ a(P_f,P_a,I)} [/mm] $
zusammen, die sich Marshallian Demand nennt.
Was Du geschrieben hast, ist daß irgendein q, das von f abhängt gleich der Summe aus Einkommen und $P_ff+P_aa$ sein soll.
> Hättest du einen Literatur tipp zu der "scharfen"
> Nebenbedingung? Es würde mich nun schon etwas
> interessieren ;)
Schau Dir die Herleitung der Lagrangefunktion an. Aber kurz (?!):
Wenn ich eine reellwertige Funktion f(x,y,z) (od. f(x,y), od. [mm] $f(x_1,\ldots,x_n)$) [/mm] habe, die überall stetig differenzierbar ist (d.h. keine Ecken und Kanten), dann ist eine notwendige (aber nicht hinreichende - deswegen muß man immer schauen, ob es auch wirklich ein Maximum ist) Bedingung für ein Maximum an, daß die Ableitung gleich 0 ist:
[mm] $\nabla [/mm] f(x,y,z)=0$
Jetzt haben wir die Nebenbedingung g(x,y,z)=0. Die partiellen Ableitungen von der Lagrangefunktion [mm] $f+\lambda [/mm] g$ kann man zusammenfassen zu:
[mm] $\nabla [/mm] f + [mm] \lambda \nabla [/mm] g =0\ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] \nabla [/mm] f [mm] =-\lambda \nabla [/mm] g$ (das sind die ersten 3, nämlich nach x, y und z)
$g=0$ (das ist die nach [mm] $\lambda$)
[/mm]
Die zweite sagt nur, daß der gesuchte Punkt (x,y,z) die Nebenbedingung erfüllen muß.
Vergleichen wir die erste mal mit der Bedingung ohne Nebenbedingung:
[mm] $\nabla [/mm] f = 0$
[mm] $\nabla [/mm] f = [mm] -\lambda \nabla [/mm] g$
ist [mm] $\lambda=0$, [/mm] so ist die zweite Bedingung auch [mm] $\nabla [/mm] f=0$. D.h. das Maximum ist auch ohne Nebenbedingung ein Maximum*, aber das ist bei einer Nutzenfunktion natürlich nicht möglich, weil mehr immer besser ist (d.h. wenn wir kein Budget haben, dann konsumieren wir unendlich).
*: unter einigen Voraussetzungen, die bei Nutzenfunktionen gegeben sind. Spaßeshalber kannst Du Dir mal eine allgemeine Funktion überlegen, die unter der Nebenbedingung g an der Stelle (x,y,z) ein Maximum hat, ohne die Nebenbedingung aber nur einen stationären Punkt, der kein Maximum ist
Bonus Addendum:
[mm] $\nabla [/mm] f = [mm] -\lambda \nabla [/mm] g$ heißt: die Richtung des maximalen Anstiegs von f (das ist der Gradient) zeigt senkrecht aus der Menge der zulässigen Punkte raus.
Woher kommt das? Die Menge der zulässigen Punkte ist
[mm] $\{(x,y,z)\ |\ g(x,y,z)=0\}$
[/mm]
Also alle Punkte, die g=0 erfüllen.
[mm] $\nabla [/mm] g(x,y,z)$ steht senkrecht darauf, denn wenn ich von (x,y,z) einen winzigen Schritt der Länge [mm] $\delta$ [/mm] in Richtung $d= [mm] (d_1,d_2,d_3)$ [/mm] mache, dann ist
[mm] $g(x+\delta d_1,y+\delta d_2,z+\delta d_3)=g(x,y,z)+\delta *\, \nabla [/mm] g(x,y,z) [mm] \* (d_1,d_2,d_3)$
[/mm]
(die Richtungsableitung von g, an Stelle (x,y,z) in Richtung d ist das Skalarprodukt [mm] $\nabla g\* [/mm] d $)
g(x,y,z) ist 0, da (x,y,z) zulässig war, also ist [mm] $(x,y,z)+\delta [/mm] d$ nur zulässig, wenn das Skalarprodukt [mm] $\nabla g\* [/mm] d =0$, und das ist genau dann der Fall, wenn d senkrecht zum Gradienten steht.
Deswegen ist g hier scharf. Ohne g würden wir einfach dem Gradienten von f entlang in Richtung Maximum marschieren, aber weil wir die Nebenbedingung g haben, werden wir gestoppt, denn der Gradient von f zeigt direkt aus der Menge der zulässigen Punkte heraus.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Sa 22.05.2010 | | Autor: | tumas |
Um jetzt die Nachfragefunktion nach einem Gut aufzustellen muss ich also nach diesem Gut auflösen.
Wie stelle ich denn diese Funktion
[mm] \bruch{1815 + 0.25a }{153 + 0.25f } [/mm] nach einem Gut um, damit ich dann in die nach Lamda abgeleitete Funktion einsetzen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]\bruch{1815 + 0.25a }{153 + 0.25f }[/mm] nach einem Gut um,
> damit ich dann in die nach Lamda abgeleitete Funktion
> einsetzen kann?
Den Bruch überhaupt nicht. Du hast aber die Gleichung
$ [mm] \bruch{1815 + 0.25a }{153 + 0.25f } [/mm] = [mm] \bruch{P_{f}}{P_{a}} [/mm] $
Jetzt multiplizierst Du auf beiden Seiten mit dem Nenner $153+0.25f$, ziehst dann 1815 ab und teilst durch 0.25 und schon steht da
[mm] $a=a(P_f,P_a,f)=\ldots$
[/mm]
das Problem ist allerdings, daß in den [mm] $\ldots$ [/mm] f vorkommt, und das soll nicht sein. Aber wir haben ja noch die zweite Gleichung
$ I - [mm] P_{f}f [/mm] - [mm] P_{a}a [/mm] =0 $
da kannst Du jetzt das a mit dem gewonnenen [mm] $a(P_f,P_a,f)$ [/mm] ersetzen, dann bleiben in der Gleichung nur noch $I$, [mm] $P_f$, $P_a$ [/mm] und eben f. Und wenn wir nach dem auflösen, dann hängt es von $I$, [mm] $P_f$ [/mm] und [mm] $P_a$ [/mm] ab, so wie es sein soll.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Sa 22.05.2010 | | Autor: | tumas |
Jetzt multiplizierst Du auf beiden Seiten mit dem Nenner , ziehst dann 1815 ab und teilst durch 0.25 und schon steht da
a = [mm] \bruch{Pf*(153+0.25f)}{Pa*0.25a} [/mm] - 7260
da kannst Du jetzt das a mit dem gewonnenen ersetzen, dann bleiben in der Gleichung nur noch , , und eben f. Und wenn wir nach dem auflösen, dann hängt es von , und ab, so wie es sein soll.
I - [mm] P(\bruch{Pf*(153+0.25f)}{Pa*0.25a} [/mm] - 7260) -Pf
Nur woher kommt das f ? hm.
Könnte ich alternativ einfach nach Lambda umstellen und z.B. nach a auflösen und dann einsetzen, muss bei beiden Möglichkeiten das gleiche herauskommen?
Vielen Dank für deine Hilfe Stefan !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> a = [mm]\bruch{Pf*(153+0.25f)}{Pa*0.25a}[/mm] - 7260
Das im Nenner muß [mm] $P_a*0.25$ [/mm] sein, nicht [mm] $P_a*0.25a$
[/mm]
Und Du würdest Dein Leben erheblich vereinfachen, wenn Du die Indizes in [mm] $P_a$ [/mm] und [mm] $P_f$ [/mm] nicht immer einfach dahinter schreiben würdest, weil Du Dich dann mit den a und f nur selbst verwirrst. Der eine _ zwischen P und f wird Dich doch nicht umbringen. =)
> I - [mm]P(\bruch{Pf*(153+0.25f)}{Pa*0.25a}[/mm] - 7260) -Pf
Nein,
$ I - P_ff - P_aa =0 $
a von oben eingesetzt:
$ I - P_ff - [mm] P_a\left(\bruch{P_f*(153+0.25f)}{P_a*0.25a} - 7260\right) [/mm] =0 $
> Nur woher kommt das f ? hm.
welches? Eines steht eh in der Gleichung, das hast Du vergessen (siehe oben bzgl. Dir und Indizes =) und das zweite ist in der Formel für a von oben.
> Könnte ich alternativ einfach nach Lambda umstellen und
> z.B. nach a auflösen und dann einsetzen, muss bei beiden
> Möglichkeiten das gleiche herauskommen?
? Da kommt doch die erste Gleichung her.
ciao
Stefan
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