Herleitung Newton Cotes Formel < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Ich möchte gerne die Herleitung der Newton-Cotes-Formeln verstehen. Dafür werden die Gewichte [mm] \alpha_i [/mm] wie folgt berechnet:
[mm] \alpha_i=\integral_a^b{L_i(x)\dx} [/mm] (wobei [mm] L_i(x) [/mm] die Lagrange-Polynome sind mit [mm] L_i(x)=\produkt_{k=0, k\not= i}\bruch{x-x_k}{x_i-x_k})
[/mm]
Nun steht in der Vorlesungsmitschrift als nächstes:
[mm] =h\integral_0^n{\produkt_{k=0;k\not= i}{\bruch{t-k}{i-k}}\;dt}
[/mm]
und als "Kommentar" dazu: Substitution: x=a+ht.
Substitution war noch nie so mein Ding, vielleicht könnte mir hier mal jemand erklären, was genau da passiert ist.
Ach, ich hab hier gerade noch was gefunden - es gilt: [mm] h=\bruch{b-a}{n}.
[/mm]
Und vielleicht weiß auch noch jemand, warum [mm] \summe_{i=0}^n{\alpha_i}=1 [/mm] gilt!?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Zur Substitution:
Anfangs wird noch mit konkreten x-werten gerechnet.
Die Substitution dient nur da, aus den ja meist recht krummen x-Werten natürliche Zahlen zu machen, das ist alles.
Stell dir vor, du zerlegst das Intervall [1;12] in 10 Teile. Wie heißen deine Grenzen?
[mm] x_0=1,0
[/mm]
[mm] x_1=2,1
[/mm]
[mm] x_2=3,2
[/mm]
[mm] x_3=4,3
[/mm]
...
Damit zu hantieren ist etwas unbequem.
Stattdessen kannst du eine Formel einführen: [mm] $x_i= [/mm] 1,0 + 1,1*i$
Diese stellt ja eine verbindung zwischen den natürlichen Indizes und dem wirklichen Wert her. Etwas abstrahiert, mit Anfangswert a und Teilintervallbreite h wird daraus [mm] $x_i=a+hi$
[/mm]
Einsetzen in deinen Bruch:
[mm] $\bruch{x-(a+hk)}{a+hi-(a+hk)}$
[/mm]
Nun soll ja über alle x integriert werden. Genauer, über alle [mm] x_t, [/mm] denn die sind ja auch diskret. Setzen wir dafür auch gleich ein:
[mm] $\bruch{a+ht-(a+hk)}{a+hi-(a+hk)}$
[/mm]
[mm] $\bruch{ht-hk}{hi-hk}$
[/mm]
[mm] $h\bruch{t-k}{i-k}$
[/mm]
Die Gewichte geben übrigens an, wie stark die einzelnen Polynome relativ zueinander gewichtet werden. Weil's eben relativ ist, muß die Summe der Gewichte 1 sein. Das ist genauso wie in der Statistik: Die Häufigkeit gibt an, wie stark ein spezielles ereignis vorkommt - die Summe aller Häufigkeiten ist 1.
Das ist schon alles. Natürlich wird jetzt nicht mehr über die [mm] x_t [/mm] integriert, sondern über t.
Die Grenzen sind nun auch nicht mehr a und b, schließlich geben sie nicht mehr an, zwischen welchen werten sich [mm] x_t [/mm] bewegt. Es geht um t, das ist ne natürliche Zahl von 0 bis - ja bis zur Anzahl der Teilintervalle n
MIr fällt jetzt allerdings grade nicht ein,wie das hier mathematisch ausgedrückt werden kann.
Im Übrigen: Hast du dir die ersten Newton Cotes Formeln mal per Hand ausgerechnet?
Also: Man hat [mm] f_1, f_2, f_3. [/mm] Diese werden approximiert durch eine quad. Funktion [mm] $ax^2+bx+c$ [/mm] (a,b,c berechnen!)
... ?
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