Herleitung Skalarprodukt < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Mo 27.02.2012 | | Autor: | msg08 |
| Aufgabe | | http://mathforum.org/library/drmath/view/53928.html |
Also da wird eine tolle Herleitung für das Skalarprodukt 2er Vektoren im 2-dimensionalen Raum gezeigt. Nun wollte ich es für Vektoren 3-dimensionalen Raum zeigen, doch krieg ich einfach nicht die Kathetenlängen hin. Also da steht soweit ja auch wohl, dass die Vektoren in einer Ebene seien. Aber irgendwie, haut es einfach nicht hin. Also wollte da halt wieder das Additionstheorem für cos(Winkel-Winkel) anwenden. Nur die Katheten, keine Ahnung, wie ich die so recht bekomme.
Seien die Vektoren a = (a1,a2,a3) und b = (b1,b2,b3). Dann könnte ich erstmal die x-Achse in der xy-Ebene projezieren. Als Bezugspunkt für die jeweiligen Ankatheten. Also |(((a1-b1),(a2-b2))/(a1-b1))|*a1. Beim Sinus würden im Zähler die Längen stehen, von den Punkten in der xy-Ebene bis zu den Vektorendpunkten. Aber das haut irgendwie nicht hin.
cos(alpha-beta) = cos(alpha)cos(beta)) + sin(alpha)sin(beta) und sin(alpha)sin(beta) = (a2b2+a3b3)/(|a|*|b|)
Sowas müsste da ja rauskommen.
Keine Ahnung wie. Bin schon und bei der anfänglichen Behauptung mit so käme ich bereits auf mein a1b1 lag ich glaub ich auch falsch. Bin einfach ratlos.
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Wenn du 2 Vektoren [mm] \vec{x}=\pmat{ a \\ b \\ c } [/mm] und [mm] \vec{y}= \pmat{ d \\ e \\ f } [/mm] im Raum betrachtet, so kann man beide so parallel verschieben, dass sie mit ihren Füßen im Ursprung liegen und den Winkel [mm] \alpha [/mm] aufspannen. Die Spitze von [mm] \vec{x} [/mm] liegt dann im Punkt A(a,b,c), die von [mm] \vec{y} [/mm] in B(d,e,f). Dann ist der Verbindungsvektor [mm] \vec{z}=\vec{x}-\vec{y}=\pmat{ a-d \\ b-e \\ c-f }.
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Seine Länge zum Quadrat ergibt nach Pythagoras im Raum :
(Länge von [mm] \vec{z})^2 =(a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2 [/mm] = (nach Umsortieren) [mm] (a^2+b^2+c^2)+(d^2+e^2+f^2)-2(ad+be+cf)= [/mm] (Länge von [mm] \vec{x})^2+ [/mm] (Länge von [mm] \vec{y})^2-2(ad+be+cf).
[/mm]
Diese Länge lässt sich statt dessen aber auch mit dem Kosinussatz ausrechnen:
(Länge von [mm] \vec{z})^2 [/mm] = (Länge von [mm] \vec{x})^2 [/mm] + (Länge von [mm] \vec{y})^2 [/mm] -2* (Länge von [mm] \vec{x})* [/mm] (Länge von [mm] \vec{y})*cos \alpha.
[/mm]
Vergleichst du nun beide Ergebnisse, so erkennst du:
ad+be+cf = (Länge von [mm] \vec{x})* [/mm] (Länge von [mm] \vec{y})*cos \alpha [/mm] oder
ad+be+cf = [mm] \wurzel{(a^2+b^2+c^2)}*\wurzel{(d^2+e^2+f^2)}*cos \alpha.
[/mm]
Die Zahl(!) ad+be+cf wird nun Skalarprodukt von [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] genannt und als [mm] \vec{x}*\vec{y} [/mm] geschrieben.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mo 27.02.2012 | | Autor: | msg08 |
Vielen Dank. Eine sehr schöne Zeichnung und auch eine sehr tolle Erklärung.
Bloss, sollte das nicht mit dem Kosinussatz funktionieren. Es sollte schon analog zum Verfahren mit den beiden Vektoren und dem Additionstheorem laufen. Also das hätte ich halt ganz gerne so gehabt.
Trotzdem vielen Dank. Wirklich sehr mühevoll und toll geworden.
edit:
Diese Herleitung ist auch eher die für die Schreibweise
[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] |a|*|b|*cos(\alpha)
[/mm]
was ich suche ist ja die Herleitung der Schreibweise
[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}
[/mm]
Für Vektoren mit nur 2 Dimensionen klappt es wie in der Quelle beschrieben. Doch für welche aus dem 3-dimensionalen Raum krieg ich es nicht hin.
Dabei wird ja das Additionstheorem benutzt:
[mm] cos(\gamma-\beta) [/mm] = [mm] cos(\gamma)cos(\beta)+sin(\gamma)sin(\beta)
[/mm]
und eben [mm] |a|*|b|*cos(\alpha) [/mm] umgeformt.
Bei Cosinus bräuchte man also die Längen der Ankatheten und beim Sinus die der Gegenkatheten. Und das so, dass es beim Ausrechnen schön aufgeht, so dass man eben auf die Form [mm] a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} [/mm] kommt.
Das war mir so aber auch erst nicht bewusst. Dass der Beweis über die Herleitung der Längen über die Verbindungslinie zum Quadrat und dem Kosinussatz dazu führt. Also ich wollt es eben mit der Schreibweise des Skalarprodukts selbst haben. Für 3 Dimensionen würde es mir erstmal reichen. Keine Ahnung, ob man das dann auch auf beliebig viele analog ausweiten könnte oder es dafür wieder eine andere Herangehensweise gibt.
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Die zweidimensionale Lösung - in englisch (pfui) - habe ich mir nicht angesehen. Allerdings: irgendwo muss ja der cos auftauchen, und wenn das in Zusammenhang mit einem Additionstheorem sein soll, tauchen Produkte wie [mm] sin(\alpha)*cos(\alpha) [/mm] oder [mm] sin(\alpha)*sin(\alpha) [/mm] oder [mm] cos(\alpha)*cos(\alpha) [/mm] auf, die aber im Skalarprodukt nicht vorhanden sind, sondern eben nur einmal [mm] cos(\alpha). [/mm]
Das heißt: Eine Lösung durch ein Additionstheorem, das zuletzt nur aussähe wie [mm] cos(\alpha), [/mm] entstünde dann durch die Formel [mm] cos(\alpha)=sin(90°+\alpha)=sin(90°)*cos(\alpha)+sin(90°)*cos(\alpha), [/mm] und dazu müsste man eine graphische Konstruktion finden. Die wäre dann sicher komplizierter als meine.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:03 Mo 27.02.2012 | | Autor: | msg08 |
Also gleich wie viele Dimensionen man hätte (mindestens 2). 2 Vektoren würden sich eine gemeinsame Ebene teilen. Würde man diese Ebene jetzt in die xy-Ebene bringen, könnte man ja wie bei dem Fall im 2 dimensionalen Raum wie in der Quelle beschrieben vorgehen. Also ich habe leider keine Ahnung wie. Ausserdem ist das schon eine andere Herleitung wie ich oben im letzten Post schrieb. Trotzdem vielen Dank. Deine Herleitung ist auch sehr schön geworden. Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 29.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:12 Fr 09.03.2012 | | Autor: | msg08 |
Hat da vielleicht doch noch wer was zu?
Soll ja eigentlich nicht so schwer sein, keine Ahnung. Also als Hinweis wird ja die Eigenschaft gegeben, dass sich beide Vektoren eine Ebene teilen, in der dann auch der Ursprung liegt.
Mir hilft es leider nicht.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:28 Fr 09.03.2012 | | Autor: | msg08 |
Das mit dem Kosinussatz hatten wir doch schon. Also das war ja nicht die Herleitung für die Schreibweise mit dem [mm] a_1b_1+...+a_nb_n, [/mm] sondern die Herleitung für eben die Gleichung.
Was das jetzt mit der Projektion auf sich hat, versteh ich wohl.
Das Ding ist, diese Herleitung mit den 2 Vektoren und dem Additionstheorem ist so toll und das wird auch für Vektoren in mehreren Dimensionen gehen. Also ich glaube echt nicht, dass auf der Quellseite der Autor einfach mal so schreibt, überlege dir, wie das dann mit Vektoren mit 3 Dimensionen funktioniert. Kann man die Ebene nicht irgendwie drehen bzw. die x- und y-Achse neu ausrichten. Ich weiss es einfach nicht. Das wäre echt einfach nur stark.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 So 11.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Do 15.03.2012 | | Autor: | msg08 |
Das war dann eigentlich doch noch total gut. War einfach nur total auf das Additionstheorem hinaus und las ehrlich gesagt auch nicht ganz richtig. Sorry. Sah darin das, was ich kannte, die Herleitung für eben die Gleichung a*b = |a|*|b|*cos(alpha) und a*b eben nicht ausgeschrieben. Aber über die Längen kriegt man ja auch genauso die Schreibweise raus. Tut mir leid, war mein Fehler, die Herleitung triffts auch genau richtig. Hatte da einfach noch einen anderen Zusammenhang mit dem Kosinussatz im Kopf und wollte einfach dieses mit dem Additionstheorem haben. Danke im Nachhinein nochmal sehr. War so auch total richtig und klasse!!!
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