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Herleitung arsinh'(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Sa 18.05.2019
Autor: sancho1980

Hallo

ich scheitere leider bei meinen Versuchen, die Ableitung arsinh'(x) (= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + x^2}}) [/mm] herzuleiten.

1) Angeblich ist es am Einfachsten, die Ableitungsregel für die Umkehrfunktion zu verwenden:

[mm] (f^{-1}(x))' [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(f^{-1}(x))} [/mm]

Mein Ansatz ist:

f(x) := arsinh(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + x^2}} [/mm]
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = sinh(x) = [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2} \Rightarrow (f^{-1}(x))' [/mm] = [mm] \bruch{e^{2x} + 1}{2e^x} [/mm]

Jetzt müsste nach der Ableitungsregel doch folgende Gleichung wahr sein:

[mm] \bruch{e^{2x} + 1}{2e^x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{\wurzel{1 + y^2}}} [/mm] mit y := sinh(x) = [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2} [/mm]

also

[mm] \bruch{e^{2x} + 1}{2e^x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{\wurzel{1 + (\bruch{e^x - e^{-x}}{2})^2}}} [/mm] = [mm] \wurzel{1 + (\bruch{e^x - e^{-x}}{2})^2} [/mm]

Nachdem ich händisch auf keinen grünen Zweig gekommen war, hatte ich es bei Math42 eingegeben, mit dem Ergebnis "Has no solution". Was ist falsch an meinem Ansatz?

2) Andererseits habe ich mir gedacht, müsste es doch möglich sein y = sinh(x) = [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2} [/mm] nach x aufzulösen und dann nach y abzuleiten. Aber kann mir einer erklären, wie man 2y = [mm] e^x [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm] nach x auflöst?

Danke und Gruß,

Martin

        
Bezug
Herleitung arsinh'(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Sa 18.05.2019
Autor: Fulla

Hallo Martin,
> [mm](f^{-1}(x))'[/mm] = [mm]\bruch{1}{f'(f^{-1}(x))}[/mm]

>

> Mein Ansatz ist:

>

> f(x) := arsinh(x) [mm]\Rightarrow[/mm] f'(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{1 + x^2}}[/mm]

>

> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = sinh(x) = [mm]\bruch{e^x - e^{-x}}{2} \Rightarrow (f^{-1}(x))'[/mm]
> = [mm]\bruch{e^{2x} + 1}{2e^x}[/mm]

du vertauschst hier Funktion und Umkehrfunktion.
Richtig wäre:
[mm]f^{-1}(x)=\operatorname{arsinh}(x)[/mm],
[mm]f(x)=\sinh(x)[/mm].

Das heißt:
[mm](f^{-1}(x))^\prime =\operatorname{arsinh}^\prime(x)=\frac{1}{\cosh(\operatorname{arsinh}(x))}[/mm].


> 2) Andererseits habe ich mir gedacht, müsste es doch
> möglich sein y = sinh(x) = [mm]\bruch{e^x - e^{-x}}{2}[/mm] nach x
> aufzulösen und dann nach y abzuleiten. Aber kann mir einer
> erklären, wie man 2y = [mm]e^x[/mm] - [mm]e^{-x}[/mm] nach x auflöst?

Das ist zwar möglich, aber hier nicht nötig. Falls du die Umformung dennoch nachvollziehen willst, versuche [mm]y=\ln(\sqrt{x^2+1}+x)[/mm] nach [mm]x[/mm] aufzulösen...


Lieben Gruß,
Fulla

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Herleitung arsinh'(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Sa 18.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dein erster Ansatz ist auch zielführend, du hast nur einen Fehler bei der Ableitung von [mm] $\sinh(x)$ [/mm] gemacht.

> [mm]f^{-1}(x)[/mm] = sinh(x) = [mm]\bruch{e^x - e^{-x}}{2} \Rightarrow (f^{-1}(x))'[/mm] = [mm]\bruch{e^{2x} + 1}{2e^x}[/mm]

bei deiner Notation ist [mm] $(f^{-1}(x))' [/mm] = [mm] \frac{e^x + e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \cosh(x)$ [/mm]
Wie du auf deine Ableitung kommst, ist mir ein Rätsel...

Dann geht auch deine Gleichung auf:

> Jetzt müsste nach der Ableitungsregel doch folgende Gleichung wahr sein:

$ [mm] \bruch{e^x + e^{-x}}{2} [/mm]  =  [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{\wurzel{1 + y^2}}} [/mm] $ mit $y := sinh(x) = [mm] \bruch{e^x - e^{-x}}{2} [/mm] $

Gruß,
Gono

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Bezug
Herleitung arsinh'(x): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 Sa 18.05.2019
Autor: sancho1980

Also jetzt bin ich verwirrt

> bei deiner Notation ist [mm](f^{-1}(x))' = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x)[/mm]
> Wie du auf deine Ableitung kommst, ist mir ein Rätsel...

[mm] \bruch{e^x + e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{e^x + \bruch{1}{e^x}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{e^{2x} + 1}{e^x}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{e^{2x} + 1}{2e^x} [/mm]

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Herleitung arsinh'(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:29 Sa 18.05.2019
Autor: fred97


> Also jetzt bin ich verwirrt
>  
> > bei deiner Notation ist [mm](f^{-1}(x))' = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x)[/mm]
> > Wie du auf deine Ableitung kommst, ist mir ein Rätsel...
>  
> [mm]\bruch{e^x + e^{-x}}{2}[/mm] = [mm]\bruch{e^x + \bruch{1}{e^x}}{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{e^{2x} + 1}{e^x}}{2}[/mm] = [mm]\bruch{e^{2x} + 1}{2e^x}[/mm]

Deine Umformungen sind  völlig  richtig.  Aber  wozu?

>  


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Herleitung arsinh'(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:49 Sa 18.05.2019
Autor: sancho1980


> Deine Umformungen sind  völlig  richtig.  Aber  wozu?

Na weil Gonozal schreibt:

> bei deiner Notation ist [mm](f^{-1}(x))' = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x)[/mm]
> Wie du auf deine Ableitung kommst, ist mir ein Rätsel...


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Bezug
Herleitung arsinh'(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 So 19.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> > Deine Umformungen sind  völlig  richtig.  Aber  wozu?
>
> Na weil Gonozal schreibt:
>  
> > bei deiner Notation ist [mm](f^{-1}(x))' = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x)[/mm]
> > Wie du auf deine Ableitung kommst, ist mir ein Rätsel...

na dann ist das Rätsel doch jetzt gelöst.
Aber wie fred schon sagte: Wozu?

Und das hier ist die Lösung zu deiner Gleichung:
Es ist (analog zu deinen Umforumungen)
[mm] $\bruch{e^x - e^{-x}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{e^{2x} - 1}{2e^x} [/mm] $

Und damit:
[mm] $\; \wurzel{1 + \left(\bruch{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2} [/mm] = [mm] \sqrt{1 + \left(\bruch{e^{2x} - 1}{2e^x}\right)^2}$ [/mm]

$=  [mm] \frac{1}{2e^x} \sqrt{4e^{2x} + \left(e^{2x} - 1\right)^2} [/mm] =  [mm] \frac{1}{2e^x} \sqrt{4e^{2x} + e^{4x} - 2e^{2x} + 1}$ [/mm]

$=  [mm] \frac{1}{2e^x} \sqrt{\left(e^{2x} + 1\right)^2} [/mm] = [mm] \frac{e^{2x} + 1}{2e^x}$ [/mm]

Gruß,
Gono


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Herleitung arsinh'(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:17 So 19.05.2019
Autor: sancho1980

Sieht so aus, als wär das ein Bug in Math42. Wenn ich da die Gleichung eingebe, steht am Ende nur der Ausdruck

[mm] 4e^{6x} [/mm] + [mm] 8e^{4x} [/mm] + [mm] 4e^{x * 2} [/mm] = [mm] e^{6x} [/mm] * 4 + [mm] 8e^{4x} [/mm] + [mm] e^{x * 2} [/mm] * 4 (sic!)
und darunter "Has no solution"
Klar, dass man sich da den Lösungsweg nicht genauer anschaut. Wenn man dann die einzelnen Schritte aufklappt, sieht man, dass der im letzten Schritt substituiert und bei einer Gleichung 0 = 0 ("The statenent is always fulfilled") landet. Insofern schleiferhaft, warum als Endergebnis "Has no solution" dasteht.

Bezug
                                                        
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Herleitung arsinh'(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:35 So 19.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Sieht so aus, als wär das ein Bug in Math42. Wenn ich da
> die Gleichung eingebe, steht am Ende nur der Ausdruck
>  
> [mm]4e^{6x}[/mm] + [mm]8e^{4x}[/mm] + [mm]4e^{x * 2}[/mm] = [mm]e^{6x}[/mm] * 4 + [mm]8e^{4x}[/mm] +
> [mm]e^{x * 2}[/mm] * 4 (sic!)
>  und darunter "Has no solution"
>  Klar, dass man sich da den Lösungsweg nicht genauer
> anschaut. Wenn man dann die einzelnen Schritte aufklappt,
> sieht man, dass der im letzten Schritt substituiert und bei
> einer Gleichung 0 = 0 ("The statenent is always fulfilled")
> landet. Insofern schleiferhaft, warum als Endergebnis "Has
> no solution" dasteht.

einfach ein Beispiel dafür, dass man Algebra-Programme nur verwenden sollte, wenn man weiß, was man tut ;-)
Allgemein gilt die Faustregel: Spucken sie eine Lösung aus, ist das ein guter Hinweis. Liefern sie keine Lösung, hat das nichts zu sagen…

Gruß,
Gono

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Herleitung arsinh'(x): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 So 19.05.2019
Autor: HJKweseleit

Alternative für Physiker:

Bekannt:
   [mm] sinh(x)=\bruch{e^x-e^{-x}}{2}, cosh(x)=\bruch{e^x+e^{-x}}{2}, cosh^2(x)=1+sinh^2(x) [/mm]

Gegeben: f(x)=y=arsinh(x) [mm] \gdw [/mm] x = sinh(y)

Gesucht: [mm] f'(x)=\bruch{dy}{dx} [/mm]

Bekannt:
  
   [mm] \bruch{dx}{dy}= \bruch{d}{dy}\bruch{e^y-e^{-y}}{2}= \bruch{e^y+e^{-y}}{2}= [/mm] cosh(y)

   somit [mm] \bruch{dy}{dx}= \bruch{1}{cosh(y)}= \bruch{1}{\wurzel{1+sinh^2(y)}}= \bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}=f'(x) [/mm]

Bezug
                
Bezug
Herleitung arsinh'(x): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 So 19.05.2019
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo HJK,

ich verstehe nur nicht so recht, weshalb du da von einer
Alternative "für Physiker" sprichst.

Sie gefällt durchaus auch einigen Mathematikern (wie z.B. mir) ...

LG ,   Al

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