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| Aufgabe | Für die Differentialgleichung
y′′ + 4y = 0 mit 0 ≤ x ≤ pi
bestimme man alle Lösungen für folgende Randbedingungen:
a) y(0) = 0 und y′() = 1 , |
Hallo,
ich ich soll die obige Aufgabe lösen. Die Lösung ist mir bekannt und der Rechenweg, wie man zum Ergebnis kommt, ist nachvollziehbar.
Die allgemeine Lösung lautet y(x)=a * sin (2x) + b* cos (2x)
Dann die Randwerte einsetzen bekomme ich auch hin.
Das einzige was ich nicht ganz verstanden habe ist woher die '2' kommt vor den beiden x.
Wenn ich versuche die Dif.-Gl. umzuschreiben bekomme ich x²+4=0 aber das ist nicht lösbar. Hätte man nicht als allgemeine Lösung auch
y(x)= a* e^(2x) + b* e^(2x) wählen können, auch wenn das Rechnen dann schwerer ist?
Vielen Dank für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo daniel1988,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Für die Differentialgleichung
> y′′ + 4y = 0 mit 0 ≤ x ≤ pi
> bestimme man alle Lösungen für folgende
> Randbedingungen:
> a) y(0) = 0 und y′() = 1 ,
> Hallo,
>
> ich ich soll die obige Aufgabe lösen. Die Lösung ist mir
> bekannt und der Rechenweg, wie man zum Ergebnis kommt, ist
> nachvollziehbar.
>
> Die allgemeine Lösung lautet y(x)=a * sin (2x) + b* cos
> (2x)
> Dann die Randwerte einsetzen bekomme ich auch hin.
>
> Das einzige was ich nicht ganz verstanden habe ist woher
> die '2' kommt vor den beiden x.
> Wenn ich versuche die Dif.-Gl. umzuschreiben bekomme ich
> x²+4=0 aber das ist nicht lösbar. Hätte man nicht als
In [mm]\IC[/mm] ist das lösbar.
> allgemeine Lösung auch
> y(x)= a* e^(2x) + b* e^(2x) wählen können, auch wenn das
Die allgemeine Lösung mit dem Ansatz [mm]y=e^{\lambda*x}[/mm] ergibt sich zu:
[mm]y(x)= a* e^{2i*x} + b* e^{-2ix}[/mm]
wobei 2i, -2i Lösungen der Gleichung
[mm]\lambda^{2}+4=0[/mm] sind.
> Rechnen dann schwerer ist?
>
Dann hätte man eine komplexe Lösung.
Der Real- und Imaginärteil dieser komplexen Lösung
sind reelle Lösungen der DGL.
>
> Vielen Dank für die Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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