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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Hermitesche DGL Lösung
Hermitesche DGL Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hermitesche DGL Lösung: Herleitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:01 Do 06.05.2010
Autor: Peter_Pan2

Hallo,

ich habe im Zusammenhang mit dem harmonischen Oszillator mit der hermiteschen Differentialgleichung zu tun:

[mm] H_v(x)''-2xH_v(x)'+2vH_v(x)=0 [/mm] mit [mm] H_v(x) [/mm] als den hermitschen Polynomen (Grad v).

Diese Polynome lösen ja die Gleichung, aber jetzt taucht eine weitere lösung auf, die lautet [mm] H_v(x)=((-1)^n)*(e^x^2)*\bruch{d^ve^-^x^2}{dx^v} [/mm] .

Wie komme ich auf diese Lösung?

Viele Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Hermitesche DGL Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:39 Do 06.05.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> Hallo,
>  
> ich habe im Zusammenhang mit dem harmonischen Oszillator
> mit der hermiteschen Differentialgleichung zu tun:
>  
> [mm]H_v(x)''-2xH_v(x)'+2vH_v(x)=0[/mm] mit [mm]H_v(x)[/mm] als den
> hermitschen Polynomen (Grad v).
>  
> Diese Polynome lösen ja die Gleichung, aber jetzt taucht
> eine weitere lösung auf, die lautet
> [mm]H_v(x)=((-1)^n)*(e^x^2)*\bruch{d^ve^-^x^2}{dx^v}[/mm] .
>  
> Wie komme ich auf diese Lösung?

Das ist keine andere Lösung, das sind die Hermite-Polynome.

Viele Grüße
   Rainer



Bezug
                
Bezug
Hermitesche DGL Lösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Mi 26.05.2010
Autor: Peter_Pan2

und wie kommt man auf diese darstellung? habe es soweit verstanden dass man aus dieser darstellung die hermite-polynome v-ten Grades erhält, aber kann man das auch herleiten?

Grüße, Christof

Bezug
                        
Bezug
Hermitesche DGL Lösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:11 Do 27.05.2010
Autor: rainerS

Hallo Christof!

> und wie kommt man auf diese darstellung? habe es soweit
> verstanden dass man aus dieser darstellung die
> hermite-polynome v-ten Grades erhält, aber kann man das
> auch herleiten?

Ja, ganz allgemein für []orthogonale Polynome, die Lösungen solcher DGLen sind. Das nennt sich Formel von Rodrigues:

[]http://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_polynomial#Differential_equations_leading_to_orthogonal_polynomials

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
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