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Heyho!
Ich hab eine hermitesche Matrix [mm] H\in\IC^{n\times n} [/mm] gegeben und soll zeigen, dass die durch [mm] (\vec{a},\vec{b})\mapsto \vec{a}^{T}*H*\overline{\vec{b}} [/mm] definierte Abbildung [mm] \IC^{n}\times\IC^{n}\to \IC [/mm] ein hermitesches Produkt ist.
Meine Frage ist jetzt, ob das allgemein gültig ist, also jede hermitesche Matrix ein hermitesches Produkt induziert...
Und ob man das vielleicht etwas schöner beweisen könnte, als Nachrechen.
Oder muss ich das alles für das Beispiel, das ich da habe nachrechnen?
Grüße
Salamence
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mo 07.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Ein hermitesches Produkt $(*,*)$ ist insbesondere positiv definit, also
[mm] $(\vec{x},\vec{x}) [/mm] > 0$ für jedes [mm] $\vec{x} \in \IC^n$ [/mm] mit $x [mm] \ne [/mm] 0$
Die Nullmatrix in $ [mm] \IC^{n}\times\IC^{n} [/mm] $ ist sicherlich hermitesch.
Nun solltest Du Dir Deine Frage selbst beantworten können ...
FRED
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> Ein hermitesches Produkt [mm](*,*)[/mm] ist insbesondere positiv
> definit, also
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> [mm](\vec{x},\vec{x}) > 0[/mm] für jedes [mm]\vec{x} \in \IC^n[/mm] mit [mm]x \ne 0[/mm]
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> Die Nullmatrix in [mm]\IC^{n}\times\IC^{n}[/mm] ist sicherlich
> hermitesch.
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> Nun solltest Du Dir Deine Frage selbst beantworten können
> ...
>
> FRED
Okay, dann siehts wohl so aus, dass nicht jede hermitesche Matrix ein hermitesches Produkt beschreibt...
Was ist, wenn es ein paar zusätzliche Bedingungen gibt? Wie z. B. dass die Eigenwerte natürlich reell, aber auch alle größer 0 sind?
Ich geb am besten mal die Matrix an: [mm] H=\pmat{ 10 & 6 & 4*i \\ 6 & 5 & 2*i \\ -4*i & -2*i & 2}, [/mm] falls noch irgendwelche Bedingungen gebraucht werden sollten, die diese Matrix erfüllt...
Ich will das bloß so ungerne nachrechen. xD
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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