Hermitesche Polynome ableiten < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Di 13.03.2012 | | Autor: | volk |
Hallo,
ich möchte die geschlossene Form hermiteschen Polynome ableiten und weiß nicht, wie ich da mit dem [mm] \bruch{d^{m}}{du^{m}} [/mm] umgehen muss.
Ich habe bis jetzt [mm] \bruch{d}{du}[(-1)^{m}e^{u^2}\bruch{d^{m}}{du^{m}}e^{-u^2}]=(-1)^{m}*e^{u^2}*2u*\bruch{d^{m}}{du^{m}}e^{-u^2}+(-1)^m*e^{u^2}...
[/mm]
Hier weiß ich jetzt nicht weiter. Meine Idee wäre (müsste bei einer anschließenden Integration ja wieder das ursprüngliche rauskommen), dass ich etwas in der Art [mm] \bruch{d^{m+1}}{du^{m+1}} [/mm] rausbekommen müsste. Nur was mache ich mit [mm] e^{-u^2}?
[/mm]
Liebe Grüße
volk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Di 13.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> ich möchte die geschlossene Form hermiteschen Polynome
> ableiten und weiß nicht, wie ich da mit dem
> [mm]\bruch{d^{m}}{du^{m}}[/mm] umgehen muss.
>
> Ich habe bis jetzt
> [mm]\bruch{d}{du}[(-1)^{m}e^{u^2}\bruch{d^{m}}{du^{m}}e^{-u^2}]=(-1)^{m}*e^{u^2}*2u*\bruch{d^{m}}{du^{m}}e^{-u^2}+(-1)^m*e^{u^2}...[/mm]
>
> Hier weiß ich jetzt nicht weiter. Meine Idee wäre
> (müsste bei einer anschließenden Integration ja wieder
> das ursprüngliche rauskommen), dass ich etwas in der Art
> [mm]\bruch{d^{m+1}}{du^{m+1}}[/mm] rausbekommen müsste. Nur was
> mache ich mit [mm]e^{-u^2}?[/mm]
Du hast nicht weitergerechnet:
[mm]\bruch{d}{du}[(-1)^{m}e^{u^2}\bruch{d^{m}}{du^{m}}e^{-u^2}]=(-1)^{m}*e^{u^2}*2u*\bruch{d^{m}}{du^{m}}e^{-u^2}+(-1)^m*e^{u^2}\bruch{d}{du}\bruch{d^{m}}{du^{m}}e^{-u^2}[/mm]
[mm]=(-1)^{m}*e^{u^2}*2u*\bruch{d^{m}}{du^{m}}e^{-u^2}+(-1)^m*e^{u^2}\bruch{d^{m+1}}{du^{m+1}}e^{-u^2}[/mm] .
Nun ist
[mm] \bruch{d^{m+1}}{du^{m+1}}e^{-u^2} = \bruch{d^{m}}{du^{m}} \bruch{d}{du}e^{-u^2}= -2\bruch{d^{m}}{du^{m}}(ue^{-u^2}) [/mm] .
Das kannst du weitertreiben; ist $m>1$, so ist
[mm] \bruch{d^{m}}{du^{m}} (ue^{-u^2}) = \bruch{d^{m-1}}{du^{m-1}}\bruch{d}{du}(ue^{-u^2}) [/mm]
[mm] = \bruch{d^{m-1}}{du^{m-1}} (e^{-u^2}-2u^2e^{-u^2}) = \bruch{d^{m-1}}{du^{m-1}}((1-2u^2)e^{-u^2}) [/mm] .
Du siehst, dass du mit jeder Ableitung eine zusätzliche Potenz von u bekommst; es entsteht also ein Polynom in u mal [mm] $e^{-u^2}$ [/mm] .
Wenn du das in die Ausgangsformel einsetzt, fallen die Exponentialfunktionen gegeneinander weg, und ein Polynom bleibt übrig.
Viele Grüße
Rainer
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