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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Hermitsche DGL
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Hermitsche DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:33 Fr 13.02.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
Gegeben sie die DGL y''+2xy'+2ny=0, n [mm] \in [/mm] IN
Zeige: Die Funktion [mm] H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}D^n{e^{-x^2}} [/mm] löst die DGL. Dabei ist [mm] D^n{f(x)}=f{(n)}(x). [/mm]
Hinweis (ohne Beweis): [mm] H_{n+2}(x)=2xH_{n+1}(x)-2(n+1)H_n(x) [/mm] für n [mm] \in IN_0 [/mm]

Hallo,

ich weiß nicht genau, was ich hier machen soll... Und vor allem wo ich den Hinweis brauche.

Es ist: [mm] H_0(x)=1 [/mm]
[mm] H_1(x)=2x [/mm]
[mm] H_2(x)=4x^2-2 [/mm]

Und nun?



        
Bezug
Hermitsche DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Fr 13.02.2015
Autor: MathePower

Hallo Trikolon,

> Gegeben sie die DGL y''+2xy'+2ny=0, n [mm]\in[/mm] IN


Die DGL muss doch so lauten:

[mm]y''\blue{-}2xy'+2ny=0[/mm]


>  Zeige: Die Funktion [mm]H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}D^n{e^{-x^2}}[/mm]
> löst die DGL. Dabei ist [mm]D^n{f(x)}=f{(n)}(x).[/mm]
>  Hinweis (ohne Beweis):
> [mm]H_{n+2}(x)=2xH_{n+1}(x)-2(n+1)H_n(x)[/mm] für n [mm]\in IN_0[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich weiß nicht genau, was ich hier machen soll... Und vor
> allem wo ich den Hinweis brauche.
>  
> Es ist: [mm]H_0(x)=1[/mm]
>  [mm]H_1(x)=2x[/mm]
>  [mm]H_2(x)=4x^2-2[/mm]
>  
> Und nun?
>  


Jetzt ist zu zeigen,daß diese [mm]H_{i}\left(x\right)[/mm]
die obige DGL für n=i lösen.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Hermitsche DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Fr 13.02.2015
Autor: Trikolon

Also soll ich die 3 Terme von [mm] H_i [/mm] einsetzen und zeigen dass sie die DGL lösen?  Und wozu der Hinweis?

Bezug
                        
Bezug
Hermitsche DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 Fr 13.02.2015
Autor: chrisno

Erst einmal in Ruhe die Antwort lesen.
> Jetzt ist zu zeigen,daß diese $ [mm] H_{i}\left(x\right) [/mm] $ die obige DGL für n=i lösen.

Also fang an: Sei n = i = 0,
dann lautet die Differentialgleichung (schreib sie für diesen Fall hin) .....
Dann lautet [mm] $H_i$ [/mm] .....
Dann setzt Du dieses spezielle [mm] $H_i$ [/mm] in die Differentialgleichung ein und prüfst, ob es sie löst.

Zur Übung wiederholst Du das Ganze für n = i = 1 und für n = i = 2.
Dann hast DU ein wenig Erfahrung gesammelt und kannst Dich mit einem allgemeinen [mm] $H_i$ [/mm] versuchen. Ich habe es noch nicht gemacht, aber eine Idee, was so passieren könnte.


Bezug
                                
Bezug
Hermitsche DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:29 Fr 13.02.2015
Autor: Trikolon

Für n=i=0:

y''-2xy' =0 und [mm] H_0(x)=1 [/mm] löst die DGL.

Für n=i=1:

y''-2xy'+2y=0 und [mm] H_1(x)=2x [/mm] löst die DGL.

Was muss ich für den allgemeinen Beweis denn in die DGL einsetzen?

Brauche ich die n-te Ableitung von [mm] e^{-x^2}? [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Hermitsche DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Fr 13.02.2015
Autor: MathePower

Hallo Trikolon,

> Für n=i=0:
>  
> y''-2xy' =0 und [mm]H_0(x)=1[/mm] löst die DGL.
>  
> Für n=i=1:
>  
> y''-2xy'+2y=0 und [mm]H_1(x)=2x[/mm] löst die DGL.
>  
> Was muss ich für den allgemeinen Beweis denn in die DGL
> einsetzen?

>


Siehe hier.

  

> Brauche ich die n-te Ableitung von [mm]e^{-x^2}?[/mm]


Nein, die brauchst Du nicht.


Gruss
MathePower


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Hermitsche DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Fr 13.02.2015
Autor: MathePower

Hallo Trikolon,

> Also soll ich die 3 Terme von [mm]H_i[/mm] einsetzen und zeigen dass
> sie die DGL lösen?  Und wozu der Hinweis?


Da allgemein zu zeigen ist, daß die Funktion [mm]H_{n}\left(x}\right)[/mm]
die DGL löst,  wird zunächst eine Rekursionsformel für [mm]H_{n}'\left(x}\right)[/mm],
um  dann [mm]H_{n}''\left(x}\right)[/mm] zu bilden. Hier ist dann der Hinweis einzusetzen.


Gruss
MathePower

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Hermitsche DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Fr 13.02.2015
Autor: Trikolon

[mm] H_n'=2nH_{n-1} [/mm] So? Und nun?

Bezug
                                        
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Hermitsche DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:08 Fr 13.02.2015
Autor: chrisno

Das ist doch Deine Aufgabe. Du musst mal selbst etwas mehr machen, als nur schnell 21 Zeichen einzutippen und auf das nächste Häppchen zu warten. Ohne Versuche und dabei viele Fehlversuche gewinnst Du keine Übung und Sicherheit beim Lösen solcher Aufgaben. Hast Du [mm] $H_i$ [/mm] zweimal abgeleitet und geschaut, was passiert, wenn Du dies dann in die DGL einsetzt?

Bezug
                                                
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Hermitsche DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:48 Sa 14.02.2015
Autor: Trikolon

Danke. Jetzt ist es klar.

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