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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Heron-Algorithmus
Heron-Algorithmus < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Heron-Algorithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 Di 18.09.2012
Autor: jahlleh

[mm]/Wurzel{13}.Wie berechne ich sie mit dem Heron Algorithmus?Mir ist nicht klar, wie ich beginne(Anfangswert),wie der Mittelwert entsteht und die Darstellung im Lambach-Schweizer9,S.13,verwirrt mich noch mehr.Um eine möglichst einfache Erklärung bitte ich (ob meiner Sperrigkeit.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Heron-Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Di 18.09.2012
Autor: MathePower

Hallo  jahlleh,


[willkommenmr]


> [mm]/Wurzel{13}.Wie berechne ich sie mit dem Heron Algorithmus?Mir ist nicht klar, wie ich beginne(Anfangswert),wie der Mittelwert entsteht und die Darstellung im Lambach-Schweizer9,S.13,verwirrt mich noch mehr.Um eine möglichst einfache Erklärung bitte ich (ob meiner Sperrigkeit.


Der Anfangswert ergibt sich zu: [mm]\bruch{13+1}{2}=7[/mm]

Mehr dazu und ein Beispiel: []Heron-Verfahren.


>Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Heron-Algorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Di 18.09.2012
Autor: HJKweseleit

Das Heron-Verfahren lässt sich so erklären:

Du suchst z.B. [mm] \wurzel{5}, [/mm] also eine Zahl x, die mit sich selber malgenommen 5 gibt, also eine Zahl mit x*x=5. Du kennst sie aber nicht. Ersatzweise suchst du eine Zahl a, die "in der Nähe" (s.u.) der gesuchten Zahl ist, z.B. a=2.

Diese Zahl ist aber falsch, und zwar zu klein. Sie hat aber einen Partner b, mit dem sie zusammen als Produkt 5 gibt, und der heißt 5/2, denn 2*5/2 = 5.

Wenn aber a*b das selbe ergibt wie x*x, nämlich 5, und wenn a<x ist, dann muss automatisch b>x sein. Es gilt grundsätzlich:

i
Ist a*b=x*x und sind a und b verschieden, so muss einer der Werte von a und b größer als x und der andere kleiner als x sein.

Also liegt das gesuchte x irgendwo zwischen diesen beiden Zahlen a und b. Deshalb nimmst du nun als verbesserten Schätzwert den Mittelwert von a und b:

[mm] a_{besser}=(a+b)/2 [/mm] = (a+5/a)/2 = [mm] (a^2+5)/(2a) [/mm]

Das ist schon die ganze Idee. Das b versteckt sich also in 5/a.

Mit dem verbesserten a machst du nun wieder das selbe: Partner b suchen, Mittelwert bilden, also besseres a nehmen usw.

Der Startwert spielt keine große Rolle, du kannst z.B. immer 1 nehmen:

1*5 =5      Mittelwert=(1+5)/2=3
3*5/3=5     Mittelwert=(3+5/3)/2=(14/3)/2=7/3
7/3*15/7=5  Mittelwert=(7/3+15/7)/2=(49/21+45/21)/2=47/21 (nach 3 Schritten schon ganz nah dran!)

usw.

30 Schritte reichen auf jeden Fall, meistens ist man schon nach 5 Schritten fertig, weil sich dann im Taschenrechner der Wert nicht mehr ändert.


Bezug
                
Bezug
Heron-Algorithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:48 Fr 21.09.2012
Autor: jahlleh

Eine wunderbare,anschauliche Erklärung.Tausend Dank;eigentlich ganz einfach.lieben Gruß,anja

Bezug
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