Hessche v. LegendreTransform. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:25 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Scale |
| Aufgabe | Diese Frage hab ich gestern 13.1. im Forum Mathe Board.de gestellt.
Sei [mm] u : \IR^2 \mapsto \IR [/mm] gegeben für welche die Legendre-Transformation [mm](x,y)\mapsto(\xi, \eta) [/mm] mit [mm] \xi=u_x(x,y),\eta=u_y(x,y)[/mm] umkehrbar/diffeomorph ist, und sei v die transformierte Funktion.
(u,v beide zweimal stetig diff´bar)
Zeige: [mm]\rho:=u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^2= \bruch{1}{v_{ \xi \xi }v_{\eta \eta}-v_{\xi \eta}^2} [/mm]
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Hallo allerseits,
Definition/Konstruktion einer Legendre-Transformation:
(1) Nimm den Gradienten einer Funktion f(x), x=(x1,...,xn)) und setze die Komponenten von diesem zu neuen Koordinaten [mm]\xi=( \xi_1 ,..., \xi_n)[/mm]
(2) Definieren eine neue Funktion f* durch [mm]f^*(\xi)=\xi \circ x - f(x)[/mm] . (2) .
Eigentlich kann die folgende Aufgabe nicht schwer sein, das sind einfach die Derminanten der beiden zueinander inversen Hesse-Matrizen. Und mit konkreten Funktionen und Matrix-Inversion klappt´s auch wunderbar.
Es gibt davor ein Korollar:
[mm]f^*_{\xi \xi }(\xi)= [f_{xx}(x)]^{-1}[/mm] , wobei hier mit den zweiten Ableitungen die Hessesche Matrizen gemeint sind, die zueinander invers sind. Als Beweis steht "Die Behauptung folgt mittels der Kettenregel aus der Formel in (2)"
Ich könnte es mir jetzt einfach machen und auf diesen Korollar verweisen, möchte es aber mittels der Kettenregel lösen, und damit selbst das Korollar allgemein bestätigen.
Wenn man (2) umformt und einsetzt, gilt [mm]\xi x+ \eta y = v+u [/mm] , und da
[mm]\xi=u_x,\eta=u_y,x=v_\xi,y=v_\eta[/mm] , kann man es auch so schreiben:
[mm]x u_x + y u_y = \xi v_\xi+ \eta v_\eta [/mm]
Aber mit Kettenregel komm ich nicht weiter, entweder hab ich Ableitungen von v nach x oder y, oder wenn ich die Kettenregel ganz und gar anwende, bekomme ich nur Identitäten wie u=u...
Dank & Gruß, scale
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:18 Di 14.02.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Scale!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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