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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Hesse-Matrix
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Hesse-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:17 Di 02.07.2013
Autor: zitrone

Guten Abend!

Ich hab momentan partielle Ableitungen und ihre Extremstellen, die man ja mit der Hesse-Matrix bestimmen kann..aber iwie kann ich das noch nicht ganz verstehen..

An folgender Aufgabe bin ich dran:

f(x,y)= [mm] 2x^2+2xy+y^2-56x-32y+32 [/mm]

Davon soll ich Minima und Extrema bestimmen... Also hab ich zunächst die Ableitungen gebildet:

gradf(x,y)= [mm] \pmat{ 4x+2y-56 \\ 2x+2y-32 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 } [/mm]

Dann hab ich jeweils die Gleichungen jeweils gleich 0 gesetzt:
4x+2y-56 = 0
2x+2y-32 = 0

umgetellt und ausgerechnet bekomme ich für y=4 und für x=12.

Was sagt mir das..??

Nun die Hessmatrix:

Die wird ja auch durch die jeweiligen Ableitungen gebildet
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} =\pmat{ 4x+2y-56 \\ 2x+2y-32 }= \pmat{ 4 \\ 2 } [/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y} =\pmat{ 4x+2y-56 \\ 2x+2y-32 }= \pmat{ 2\\ 2 } [/mm]

HessMatrix dann : [mm] \pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 2 } [/mm]

Was davon muss > oder < 0 sein, um eine richtige Aussagen zu machen?
Ich versteh nicht so ganz, wie ich das benutzen soll...

Könnte mir bitte jmd helfen?

LG zitrone

        
Bezug
Hesse-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:35 Di 02.07.2013
Autor: Richie1401

Hi,

> Guten Abend!
>  
> Ich hab momentan partielle Ableitungen und ihre
> Extremstellen, die man ja mit der Hess-Matrix bestimmen
> kann..aber iwie kann ich das noch nicht ganz verstehen..
>  
> An folgender Aufgabe bin ich dran:
>  
> f(x,y)= [mm]2x^2+2xy+y^2-56x-32y+32[/mm]
>  
> Davon soll ich Minima und Extrema bestimmen... Also hab ich
> zunächst die Ableitungen gebildet:

Du meinst wohl Minima und Maxima. Denn [mm] Extrema=\{Minima, Maxima\} [/mm]       ;)

>  
> gradf(x,y)= [mm]\pmat{ 4x+2y-56 \\ 2x+2y-32 }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>  
> Dann hab ich jeweils die Gleichungen jeweils gleich 0
> gesetzt:
>  4x+2y-56 = 0
>  2x+2y-32 = 0
>  
> umgetellt und ausgerechnet bekomme ich für y=4 und für
> x=12.
>  
> Was sagt mir das..??

Die Lösungen von grad(f)=0 sind sogenannte kritische Punkte. Dort, und nur dort, können Extremstellen sein. Diese Bedigungen ist also notwendig, aber keinesfalls hinreichend. Man muss daher noch weitere Untersuchungen vornehmen.

>  
> Nun die Hessmatrix:
>  
> Die wird ja auch durch die jeweiligen Ableitungen gebildet
>  [mm]\bruch{\partial}{\partial x} =\pmat{ 4x+2y-56 \\ 2x+2y-32 }= \pmat{ 4 \\ 2 }[/mm]
>  
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y} =\pmat{ 4x+2y-56 \\ 2x+2y-32 }= \pmat{ 2\\ 2 }[/mm]
>  
> HessMatrix dann : [mm]\pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 2 }[/mm]
>  
> Was davon muss > oder < 0 sein, um eine richtige Aussagen
> zu machen?

Du musst die Definitheit dieser Matrix untersuchen. Da hilft gewiss noch einmal ein Blick in den Lineare ALgebra Hefter. Es gibt dafür verschiedene Kriterien, um die Definitheit festzustellen. Generell gilt dann:

Ist die Matrix positiv definit => lokales Minimum
Ist die Matrix negativ definit => lokales Maximum

Ist die Matrix indefinit => Sattelpunkt.

Deine Matrix ist positiv definit (Alle Eigenwerte sind größer als Null). Daher ist an deiner betrachteten Stelle ein Minimum.

>  Ich versteh nicht so ganz, wie ich das benutzen soll...
>  
> Könnte mir bitte jmd helfen?

Ich hoffe, dass ich das konnte.

>  
> LG zitrone

P.S. das ganze hat eigentlich nix mit PDGL zu tun ;)


Bezug
                
Bezug
Hesse-Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:53 Di 02.07.2013
Autor: zitrone

Danke!:)

Bezug
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