Hesse-Matrix Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:43 Mi 27.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | Sei f [mm] \in C^2(U,\IR), [/mm] wobei U offene Teilmenge von [mm] \IR^m [/mm] ist. Dann gilt:
1. Wenn (D f)(x) = 0, dann ist x ein kritischer Punkt.
2. Wenn (D f)(x) [mm] \not= [/mm] 0, dann ist x regulärer Punkt.
3. Die Hesse-Matrix in [mm] x\inU [/mm] ist symmetrisch.
4. Wenn [mm] x\inU [/mm] ein kritischer Punkt ist und die Hesse-Matrix in x positiv definit ist, dann ist x ein lokales Maximum. |
Hallo,
die ersten 3 Aussagen stimmen natürlich. Und die 4. müsste doch FALSCH sein! Denn es ist doch eindeutig definiert, dass f an der Stelle eines kritischen Punktes ein Maximum hat, wenn die Hesse Matrix an diesem Punkt NEGATIV definiert ist und andersherum!
Laut unserem Korrektor ist die Aussage aber WAHR! Ich wollte fragen, warum genau? Hier steht doch eindeutig POSITIV definit und MAXIMUM und das kann doch garnicht zusammenpassen!!?? Oder stehe ich jetz gerade völlig aufm Schlauch??
Und noch was: Aus der negativen Definitheit folgt ja nur ein lokales = relatives Maximum (und andersrum), ob es auch global ist kann man so (aus der Untersuchung der Hesse-Matrix garnicht herausfinden oder? (das heißt wenn die Aussage heißen würde: "Wenn [mm] x\inU [/mm] ein kritischer Punkt ist und die Hesse-Matrix in x negativ definit ist, dann ist x ein lokales Maximum." wäre dann falsch, weil es nicht unbedingt global sein muss. Wie kann ich das dann herausfinden (ob es nur relativ oder sogar global ist)?
lG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:18 Mi 27.01.2010 | | Autor: | Harris |
> Hallo,
Hallo! :)
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> die ersten 3 Aussagen stimmen natürlich.
Wirklich? Oder war die 2. nur ein Abtippfehler?
> Und die 4.
> müsste doch FALSCH sein! Denn es ist doch eindeutig
> definiert, dass f an der Stelle eines kritischen Punktes
> ein Maximum hat, wenn die Hesse Matrix an diesem Punkt
> NEGATIV definiert ist und andersherum!
> Laut unserem Korrektor ist die Aussage aber WAHR! Ich
> wollte fragen, warum genau? Hier steht doch eindeutig
> POSITIV definit und MAXIMUM und das kann doch garnicht
> zusammenpassen!!?? Oder stehe ich jetz gerade völlig aufm
> Schlauch??
Nein, du stehts gerade nicht am Schlauch.
Positiv definit -> Minimum
Negativ definit -> Maximum
Aber dennoch kein Grund sich über nen Korrektor aufzuregen. Der korrigiert im Zweifel lieber nach Musterlösung, in der sich eben der Dozent mal geirrt hat. Is auch nur ein Mensch. Er drückt normalerweise bei der Korrektur ein Auge zu, also kann man auch mal ein Auge zudrücken, wenn er nen Quatsch korrigiert.
> Und noch was: Aus der negativen Definitheit folgt ja nur
> ein lokales = relatives Maximum (und andersrum)
Wieso denn andersrum??!? Nein! Bestes Beispiel [mm] x^4 [/mm] im [mm] \IR^1. D^2(x)|_{x=0}=0 [/mm] also indefinit aber dennoch Minimum.
> ob es auch
> global ist kann man so (aus der Untersuchung der
> Hesse-Matrix garnicht herausfinden oder? (das heißt wenn
> die Aussage heißen würde: "Wenn [mm]x\inU[/mm] ein kritischer
> Punkt ist und die Hesse-Matrix in x negativ definit ist,
> dann ist x ein lokales Maximum." wäre dann falsch, weil es
> nicht unbedingt global sein muss. Wie kann ich das dann
> herausfinden (ob es nur relativ oder sogar global ist)?
Du betrachtest ja mit der Ableitung den Limes gegen den kritischen Punkt, also wirklich nur Punkte in der absoluten Nachbarschaft! Woher sollen die Punkte denn wissen, wie die Funktion woanders aussieht?
(In [mm] \IC [/mm] mit holomorphen Funktionen aber hat man diese Information... aber das kommt erst in ein paar Semestern)
Herausfinden kann man es jedoch trotzdem. Einfach schauen, ob die Funktion irgendwo gegen unendlich strebt. Wenn nein, dann einfach das Maximum deiner Hochpunkte als Wert nennen.
> lG
Dito
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Mi 27.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
hallo,
danke für die Antwort! Also NOCH ein Korrekturfehler in einer Klausur :-(, die ich (evtl. deswegen??!!!!) NICHT bestanden habe! gut, dass ich sie mir damals kopiert habe - und schade, dass ich mich bis jetzt nicht getraut hatte, sie genau durchzugehen, vor lauter Schreck und Scham darüber, dass ich nicht bestanden habe. Jetzt ist es vermutlich zu spät, hinzugehen und sich zu beschweren, am Samstag schreibe ich die Nachklausur mit...
Mit dem andersrum hatte ich doch einfach positive Definitheit [mm] \Rightarrow [/mm] relatives Minimum gemeint und NICHT, dass aus einem relativen Minumum positive bzw. aus einem relativen Max. negative Definitheit folgt, DAS war & ist mir schon klar, dass das NICHT so ist! Ein Gegenbeispiel hast du ja angegeben.
Zu der 2.Aussage: das war natürllich tatsächlich einfach ein schreibfehler! das muss natürlich (Df) (x) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x REGULÄRER Pkt. heißen!, hab das jetzt ausgebessert.
lG
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