Hesse´sche Normalenform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Könnte mir jemand erklären, wie die HESSEsche Normalenform funktioniert, also woraus man die ableiten kann, was man einsetzen muss etc.
und wofür man sie benutzt?
Habe oft gelesen, um Abstände von z.B. Punkt und Ebene zu errechnen, aber weiß nicht so richtig, wie ich mit der Formel da ran gehen soll...
Vielen Dank schon mal im Vorraus für eine Antwort!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo schlumpfi!
Die allgemeine Form der Koordinatengleichung einer Ebene lauten ja:
ax+by+cz+d=0
Nun kannst du diese in die Hessesche Normalform (HNF) umschreiben, diese lautet dann:
[mm] (ax+by+cz+d)/\wurzel{a^2+b^2+c^2}=0
[/mm]
Wenn du jetzt den Abstand eines Punktes zur Ebene berechnen möchtest, kannst du für x, y, z die Koordinaten des Punktes einsetzen, den ganzen Term in Betrag setzen und kriegst dann so den Abstand.
LG
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Aber was ist, wenn man nur eine Parameterform von einer Ebene gegeben hat? müsste man die dann zuerst in eine Koordinatenform umrechnen?
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Hi, Schlumpfi,
> Aber was ist, wenn man nur eine Parameterform von einer
> Ebene gegeben hat? müsste man die dann zuerst in eine
> Koordinatenform umrechnen?
Das stimmt!
Übrigens: Wenn die Ebene nicht durch den Ursprung geht, ist die HNF EINDEUTIG, denn laut Definition muss in der Darstellung
[mm] \bruch{ax + by + cx +\red{d}}{\wurzel{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} [/mm] = 0
die Konstante [mm] \red{d} [/mm] negativ sein!
mfG!
Zwerglein
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