Hesseform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Do 17.06.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo zusammen^^
Ich habe ein Frage zu Hesse'schen Normalenform einer Ebene.Warum muss dort der Normalenvektor normiert werden,also warum muss er die Länge 1 haben?
Vielen Dank
lg
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> Hallo zusammen^^
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> Ich habe ein Frage zu Hesse'schen Normalenform einer
> Ebene.Warum muss dort der Normalenvektor normiert
> werden,also warum muss er die Länge 1 haben?
Hallo,
weil die Hessesche Normalenform im Unterschied zu der "normalen" Normalenform eben lt. Definition die mit normierter Normale ist...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Do 17.06.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Hallo zusammen^^
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> > Ich habe ein Frage zu Hesse'schen Normalenform einer
> > Ebene.Warum muss dort der Normalenvektor normiert
> > werden,also warum muss er die Länge 1 haben?
>
> Hallo,
>
> weil die Hessesche Normalenform im Unterschied zu der
> "normalen" Normalenform eben lt. Definition die mit
> normierter Normale ist...
>
Ja das ist mir klar,dass es lt. Definition so ist.
Vielleicht habe ich etwas ungenau gefragt.Meine Frage ist,warum der Normalenvektor der Ebene die Länge 1 haben muss,damit man durch Einsetzen eines beliebigen außerhalb der Ebene liegenden Punktes in die Normalengleichung den Abstand des Punktes zur Ebene ausrechnen kann?
lg
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> > > Hallo zusammen^^
> > >
> > > Ich habe ein Frage zu Hesse'schen Normalenform einer
> > > Ebene.Warum muss dort der Normalenvektor normiert
> > > werden,also warum muss er die Länge 1 haben?
> >
> > Hallo,
> >
> > weil die Hessesche Normalenform im Unterschied zu der
> > "normalen" Normalenform eben lt. Definition die mit
> > normierter Normale ist...
> >
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> Ja das ist mir klar,dass es lt. Definition so ist.
> Vielleicht habe ich etwas ungenau gefragt.Meine Frage
> ist,warum der Normalenvektor der Ebene die Länge 1 haben
> muss,damit man durch Einsetzen eines beliebigen außerhalb
> der Ebene liegenden Punktes in die Normalengleichung den
> Abstand des Punktes zur Ebene ausrechnen kann?
Hallo,
achso.
Wenn wir den Abstand von [mm] P_0 [/mm] zur in HNF gegebenen Ebene
[mm] \vec{n_0}*\vec{x} [/mm] - p=0
ausrechnen, dann bilden wir ja u.a. das Skalarprodukt [mm] \vec{n_0}*\overrightarrow{0P_0}=|\vec{n_0}|*|\overrightarrow{0P_0}|*cos\alpha.
[/mm]
Da [mm] \vec{n_0} [/mm] ein Einheitsvektor ist, haben wir
[mm] \vec{n_0}*\overrightarrow{0P_0}=|\overrightarrow{0P_0}|*cos\alpha, [/mm] und der Betrag davon ist gerade die Länge der Projektion von [mm] \vektor{0P} [/mm] auf die zur Ebene E senkrechte Gerade durch den Ursprung. (mach Dir eine Skizze).
Wenn wir davon nun den Abstand p der Ebene zum Ursprung wegnehmen, behalten wir den Abstand d von [mm] P_0 [/mm] zur Ebene.
(Vielleicht hilft Dir ![[]](/images/popup.gif) diese Skizze weiter.)
Gruß v. Angela
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![[]](http://de.wikibooks.org/wiki/Datei:SiPe_Vektoralgebra_5.11.PNG){kind=small}
diese Skizze