Hessematrix und Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe hier noch ein weiteres Beispiel, wo ich nicht weiterkomme, weil ich das Prinzip noch nicht ganz verstehe.
Ich soll die Extremwerte von [mm] g(x,y)=x^2-y^2-(x^2+y^2)^2 [/mm] finden
Ich weiß bereits, dass der Gradient in diesem Punkten =0 ist:
[mm] p_1(0/0), p_2(-\bruch{\wurzel{2}}{2}/0), p_3(\bruch{\wurzel{2}}{2}/0)
[/mm]
Die 2. Ableitungen:
nach [mm] x^2 [/mm] (also 2x nach [mm] x):2-12x^2-4y^2
[/mm]
nach [mm] y^2: -2-12y^2-4x^2
[/mm]
nach x und y, bzw nach y und x: -8xy
Ich muss ja jetzt die Hessematrix aufstellen, da meine gemischten ABleitungen nicht gleich 0 sind (ist das immer so?.
Aber meine Ableitungen sind doch irre lang, habe ich dann nicht eine riesige Matrix?
Ich weiß nicht, wie ich damit weiterrechne und was ich berechnen soll :(
|
|
| |
|
Hallo,
richtig. Du musst nun die Hessematrix aufstellen um entscheiden zu können ob es sich um Hochpunkte oder Tiefpunkte handelt. Dann setzt du die kritischen Werte ein die du gefunden hast als du den Gradienten 0 gesetzt hast und schaust ob die Matrix positiv-negativ definit oder sogar indefinit ist.
Du hast ja glücklicherweise eine Funktion die von 2 Variablen abhängt sodass deine Ableitungen nicht allzu lang sein dürften.
Als Übung kannst du ja noch folgende Fkt untersuchen:
[mm] \\f(x,y,z)=e^{-2(x²+y²+z²)}
[/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
|
|
|
| |
|
Verstehe ich nicht ganz.
Wenn ich nun meine Hessematrix aus den 4 zweiten Ableitungen aufgestellt habe soll ich also die 3 Punkte einsetzen.
Aber dann habe ich doch 3 Matrizen, oder?
Und dann muss ich 3 Mal mit Sarrus die Determinante berechnen?
|
|
|
| |
|
> Verstehe ich nicht ganz.
>
> Wenn ich nun meine Hessematrix aus den 4 zweiten
> Ableitungen aufgestellt habe soll ich also die 3 Punkte
> einsetzen.
>
> Aber dann habe ich doch 3 Matrizen, oder?
Hallo,
ja, Du mußt für jeden der Punkte die Hessematrix gesondert untersuchen.
> Und dann muss ich 3 Mal mit Sarrus die Determinante
> berechnen?
3mal mit irgendeiner der Methoden, die Du kannst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Okay.
Dann habe ich die 3 Matrizen:
2 0
0 -2
und
-4 0
0 -4 (diese habe ich für [mm] p_2 [/mm] und [mm] p_3)
[/mm]
Muss ich nun diese Vorgehensweise mit der sukzessiven STreichung einer Spalte und Zeile benutzen, also:
für die erste Matrix:
2>0 und det=-4<0
für die zweite Matrix
-4<0 und det=16>0
Aber was sagt mir das nun? :/
Dieses System mit der Bestimmung der Definitheit kann ich irgendwie nicht ganz nachvollziehen, weil die Definitionen, die wir im Skript haben total unübersichtlich sind :(
Ein weiteres Beispiel wäre zb die Hessematrix:
6x -12
-12 12
wobei hier noch nicht die Punkte eingesetzt wurden, in denen man Extrame vermutet, also (0,0) und (4,4)
In der Lösung wird zwar der Punkt 0,0 eingesetzt, aber in: 72*0-144, also in die durch Sarrus bestimmte Determinante. Wieso muss ich nicht auch wieder die Definitheit von 6x bestimmen, also von jeder Zeile und Spalte ("Minoren"?)
Wieso weiß man hier für D(0,0)=72*0-144<0 dass f in 0,0 einen Sattelpunkt hat und in
D(4,4)=72*4-144>0 dass in f(4,4) ein lokales Extremum vorliegt und erst durch einsetzen in 6x=6*4=24>0, dass es sich um ein lok. Minimum handelt?
Hilfe :(
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich schreibe Dir das für 2x2-Matrizen jetzt mal ein bißchen übersichtlich auf:
det der Hessematrix >0 und Element links oben >0 ==> Minimum
det der Hessematrix >0 und Element links oben <0 ==> Maximum
det der Hessematrix <0 ==> Sattelpunkt.
Wenn man das Pech hat, daß die Hessematrix =0 ist, muß man sich was anderes einfallen lassen.
> Dann habe ich die 3 Matrizen:
>
> 2 0
> 0 -2
det=-4 ==> Sattelpunkt
>
> und
>
> -4 0
> 0 -4 (diese habe ich für [mm]p_2[/mm] und [mm]p_3)[/mm]
det=16>0 und -4<0 ==> Maximum
> Dieses System mit der Bestimmung der Definitheit kann ich
> irgendwie nicht ganz nachvollziehen, weil die Definitionen,
> die wir im Skript haben total unübersichtlich sind :(
>
> Ein weiteres Beispiel wäre zb die Hessematrix:
>
> 6x -12
> -12 12
Für (0|0):
det < 0 ==> Sattelpunkt
Für (4|4):
det >0 , 24>0 ==> Minimum.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Danke! Das hilft mir schonmal sehr weiter.
DIe Kriterien sind ja logisch und gut lernbar, aber ich habe noch die Begriffe semidefinit und indefinit. Welche Fälle wären denn das? Und was mache ich dann?
|
|
|
| |
|
Hallo Englein,
falls die Hessematrix in einem Punkt indefinit ist, so ist dieser Punkt ein Sattelpunkt
Ist die Hessematrix semidefinit, so hast du Pech, das Kriterium macht keine Aussage, und du musst die Art des möglichen Extremums auf andere Art untersuchen.
Schaue mal ![[]](/images/popup.gif) hier vorbei ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Achso, okay, das heißt, semidefinit ist meine Matrix (2x2) wenn der Wert links oben oder die Determinante =0 sind? Dann muss ich zB so vorgehen wie hier?:
1. Matrix: für [mm] f(x,y)=x^4+y^4
[/mm]
[mm] 12x^2 [/mm] 0
0 [mm] 12y^2
[/mm]
2. Matrix: für [mm] g(x,y)=x^3+y^3
[/mm]
6x 0
0 6y
Ich habe doch nun 2 Möglichkeiten: Entweder ich setze meine vorher bestimmten stationären Punkte in die Matrix ein und berechne dann die Determinanten oder ich berechne erst die allgemeinen Determinanten und setze dann ein, wobei ich immer erst die Gesamtdeterminante berechne und wenn ich > heraus habe, dann schaue ich mir den Wert links oben an (2x2-Matrix).
Wenn der Wert links oben =0 ist, dann kann ich sofort sagen, dass die Matrix semidefinit ist und muss weiterschauen.
In dem Fall habe ich positiv definit:
[mm] D_1(0,0) [/mm] (einziger stat. Pkt.) =0
[mm] D_2(0,0) [/mm] = 0 (würde hier auch einmal =0 reichen, sodass ich anders versuchen muss weiterzukommen?).
Dann hat man gesagt:
die 2. Ableitung nach [mm] x=12x^2 [/mm] muss [mm] \ge [/mm] sein und die Determinante mit [mm] 144x^2y^2 [/mm] muss [mm] \ge [/mm] 0 sein.
Und damit hätte ich wieder ein Minimum, richtig? Aber wieso schreibe ich [mm] \ge, [/mm] das verwirrt mich ein wenig. Klar, die Werte könnten auch 0 sein, aber mein Ziel ist doch Werte zu finden, die genau > oder genau < sind?
Und warum handelt es sich nun hierbei um ein globales Minimum?
Ich hoffe, das sind nicht zu viele Fragen. Aber dank euch wächst meine Hoffnung, dass ich das Thema langsam aber sicher verstehe :) Danke, danke, danke!
|
|
|
| |
|
> Achso, okay, das heißt, semidefinit ist meine Matrix (2x2)
> wenn der Wert links oben oder die Determinante =0 sind?
Hallo,
für semidefinit kommt's einzig auf die Determinante an.
> Dann muss ich zB so vorgehen wie hier?:
>
> 1. Matrix: für [mm]f(x,y)=x^4+y^4[/mm]
>
> [mm]12x^2[/mm] 0
> 0 [mm]12y^2[/mm]
>
> 2. Matrix: für [mm]g(x,y)=x^3+y^3[/mm]
>
> 6x 0
> 0 6y
>
> Ich habe doch nun 2 Möglichkeiten: Entweder ich setze meine
> vorher bestimmten stationären Punkte in die Matrix ein und
> berechne dann die Determinanten oder ich berechne erst die
> allgemeinen Determinanten und setze dann ein, wobei ich
> immer erst die Gesamtdeterminante berechne und wenn ich >
> heraus habe, dann schaue ich mir den Wert links oben an
> (2x2-Matrix).
Genau.
> Wenn der Wert links oben =0 ist, dann kann ich sofort
> sagen, dass die Matrix semidefinit ist und muss
> weiterschauen.
Die Semidefintheit erfährst Du über die Determinante.
>
> In dem Fall habe ich positiv definit:
>
> [mm]D_1(0,0)[/mm] (einziger stat. Pkt.) =0
> [mm]D_2(0,0)[/mm] = 0 (würde hier auch einmal =0 reichen, sodass
> ich anders versuchen muss weiterzukommen?).
Ich weiß nicht, worum es jetzt geht.
>
> Dann hat man gesagt:
>
> die 2. Ableitung nach [mm]x=12x^2[/mm] muss [mm]\ge[/mm] sein und die
> Determinante mit [mm]144x^2y^2[/mm] muss [mm]\ge[/mm] 0 sein.
Ich weiß nicht, was Du meinst.
>
> Und damit hätte ich wieder ein Minimum, richtig? Aber wieso
> schreibe ich [mm]\ge,[/mm] das verwirrt mich ein wenig. Klar, die
> Werte könnten auch 0 sein, aber mein Ziel ist doch Werte zu
> finden, die genau > oder genau < sind?
Du findest zunächst mithilfe des Gradienten Deine Extremwertkandidaten, welche anschließend mit der Hessematrix geprüft werden.
Liefert Dir die Hessematrix ein verwertbares Ergebnis, kannst Du Dich freuen, wenn nicht, dann nicht. Dann mußt Du Dir was anderes ausdenken.
>
> Und warum handelt es sich nun hierbei um ein globales
> Minimum?
Um Dir hier weiterhelfen zu können, müßte etwas klarer sein, welche Aufgabe Du gerade mit welchem Zwischenergebnissen Du am Wickel hast.
Mir artet das sonst zu sehr in einer Spaurensuche aus.
>
> Ich hoffe, das sind nicht zu viele Fragen.
Die Schwierigkeit ist nicht die Fülle der Fragen, sondern daß für Außenstehende nicht immer ganz klar ist, worüber gerade geredet wird.
Das erschwert das Antworten, was man ja auch daran sieht, daß die Frage lange offen geblieben ist.
Gruß v. Angela
Aber dank euch
> wächst meine Hoffnung, dass ich das Thema langsam aber
> sicher verstehe :) Danke, danke, danke!
|
|
|
|
