Hessesche Matrix, 3 Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mi 07.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
| Aufgabe | | y= f(x1,x2,x3= 1/3 [mm] x1^3 [/mm] - 2 [mm] x2^2 [/mm] - [mm] x3^2 [/mm] + 2 x2x3 - x1 + 2 x2 + 4 x3 + 5 |
Hi, kann mir jemand sagen, wie man von dieser Funktion die kritischen Punkte bestimmt und die Hessesche Matrix berechnet?
Wäre sehr nett.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> y= f(x1,x2,x3= 1/3 [mm]x1^3[/mm] - 2 [mm]x2^2[/mm] - [mm]x3^2[/mm] + 2 x2x3 - x1 + 2
> x2 + 4 x3 + 5
> Hi, kann mir jemand sagen, wie man von dieser Funktion die
> kritischen Punkte bestimmt und die Hessesche Matrix
> berechnet?
>
> Wäre sehr nett.
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Beachte in Zukunft bitte die Eingabehilfen für die Formeleingabe, die Du unterhalb des Eingabefensters findest. Damit sind Indizes und Exponenten problemlos darzustellen.
Ich gehe mal davon aus, daß Du schon versucht hast, anhand der Dir vorliegenden Literatur die Aufgabe zu lösen.
Wir wünschen uns von Dir, daß Du solche Lösungsansätze mitpostest.
Zunächst einmal mußt Du hier den Gradienten ("gestapelte partielle Ableitungen") der Funktion berechnen, ihn mit dem Nullvektor gleichsetzen, und das entstehende Gleichungssystem lösen.
Die liefert Dir Deine Extremwertkandidaten, welche Du anschließend mithilfe der Hessematrix weiteruntersuchen kannst. Aber ich denke, das Thema Hessematrix (hinreichendes Kriterium) stellen wir erstmal zurück, solange bis die Lösungen des Gleichungssystems stehen.
Gruß . Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mi 07.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Das Problem ist, dass ich lediglich weiss, wie man so eine Aufgabe mit 2 Variablen löst, wobei diese nach der 2. Ableitung immernoch eine Variable besitzen. Ich war mir jetzt nicht sicher, wieviele kritische Punkte die Funktion hatte. Ich wusste auch nicht, wie die Hessesche Matrix bei 3 Variablen aussieht und welche Zahlen ich einsetzen muss, da nach der 2. Ableitung nurnoch eine Variable in den drei Ableitungen übrigbleibt.
Vielen Dank für die Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:35 Mi 07.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Das Problem ist, dass ich lediglich weiss, wie man so eine Aufgabe mit 2 Variablen löst, wobei diese nach der 2. Ableitung immernoch eine Variable besitzen. Ich war mir jetzt nicht sicher, wieviele kritische Punkte die Funktion hatte. Ich wusste auch nicht, wie die Hessesche Matrix bei 3 Variablen aussieht und welche Zahlen ich einsetzen muss, da nach der 2. Ableitung nurnoch eine Variable in den drei Ableitungen übrigbleibt.
Vielen Dank für die Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Mi 07.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SGBoePH!
Wie Angela schon andeutete: gehen wir schrittweise vor.
Wie lauten denn die 3 partiellen Ableitungen, die anschließend gleich Null zu setzen sind?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ah, ok, erste partielle Ableitung ist:
von x1: [mm] x_{1}^{2} [/mm] -1
x2: [mm] -4x_{2} [/mm] + 2 + 2
x3: [mm] -2x_{3} [/mm] + 2 + 4
Wobei ich mir bei der ersten 2 in der Ableitung von x2 und x3 nicht sicher bin.
Danke bisher.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ok,
x1: [mm] x_{1}^{2} [/mm] -1
x2: $ [mm] -4x_{2} [/mm] $ + 2 [mm] x_{3} [/mm] + 2
x3: [mm] -2x_{3} [/mm] + 2 [mm] x_{2} [/mm] + 4
Dann ist mir garnicht klar, wie ich jetzt die Kritischen Punkte berechne und wieviele ich brauche.
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Do 08.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok,
>
> x1: [mm]x_{1}^{2}[/mm] -1
>
>
> x2: [mm]-4x_{2}[/mm] + 2 [mm]x_{3}[/mm] + 2
>
>
>
> x3: [mm]-2x_{3}[/mm] + 2 [mm]x_{2}[/mm] + 4
>
> Dann ist mir garnicht klar, wie ich jetzt die Kritischen
> Punkte berechne
Aus dem Gleichungssystem
[mm]x_{1}^{2}[/mm] -1=0
[mm]-4x_{2}[/mm] + 2 [mm]x_{3}[/mm] + 2=0
[mm]-2x_{3}[/mm] + 2 [mm]x_{2}[/mm] + 4=0
FRED
> und wieviele ich brauche.
> Danke
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
$ [mm] x_{1}^{2} [/mm] $ -1=0 Kritischer Punkt: 1
$ [mm] -4x_{2} [/mm] $ + 2 $ [mm] x_{3} [/mm] $ + 2=0 Krit. Pkt. (1,1)
$ [mm] -2x_{3} [/mm] $ + 2 $ [mm] x_{2} [/mm] $ + 4=0 Krit Pkt. (3,1)
Sonst wüsste ich nicht.
|
|
|
| |
|
Hallo,
>
> [mm]x_{1}^{2}[/mm] -1=0 Kritischer Punkt: 1
> [mm]-4x_{2}[/mm] + 2 [mm]x_{3}[/mm] + 2=0 Krit. Pkt. (1,1)
> [mm]-2x_{3}[/mm] + 2 [mm]x_{2}[/mm] + 4=0 Krit Pkt. (3,1)
Das ist doch Mumpitz, du suchst doch 3-dim. kritische Punkte [mm] $(x_1,x_2,x_3)$
[/mm]
Aus der ersten Gleichung [mm] $x_1^2-1=0$ [/mm] folgt [mm] $x_1^2=1$, [/mm] also [mm] $x_1=\pm [/mm] 1$
Und die verbleibenden 2 Gleichungen bilden ein System aus 2 Gleichungen mit den 2 Unbekannten [mm] $x_2,x_3$
[/mm]
Das wirst du doch wohl mit elementarsten Schulmitteln lösen können ...
Sagt dir "Additionsverfahren" etwas?
Gruß
schachuzipus
>
> Sonst wüsste ich nicht.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
OK, dann habe ich die falsche Methode:
$ [mm] -4x_{2} [/mm] $ + 2 $ [mm] x_{3} [/mm] $ + 2=0
Nach [mm] x_{2} [/mm] aufgelöst: [mm] x_{2}= \bruch{1}{2} x_{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Oder?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> OK, dann habe ich die falsche Methode:
naja, was heißt "falsche Methode"?
Das Substitutionsverfahren, das du hier im Weiteren machst, geht genauso, das Additionsverfahren ist m.E. nur schneller
>
> [mm]-4x_{2}[/mm] + 2 [mm]x_{3}[/mm] + 2=0
>
> Nach [mm]x_{2}[/mm] aufgelöst: [mm]x_{2}= \bruch{1}{2} x_{3}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Oder?
Ja, das nun in die andere Gleichung einsetzen, damit dann [mm] $x_3$ [/mm] ermitteln und mit diesem dann wiederum [mm] $x_2$
[/mm]
Also weiter im Text ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
> $ [mm] -2x_{3} [/mm] $ + 2 $ [mm] x_{2} [/mm] $ + 4=0
Also eingesetzt ergibt sich: [mm] x_{3}= [/mm] 5
Dies wieder in den $ [mm] -4x_{2} [/mm] $ + 2 $ [mm] x_{3} [/mm] $ + 2=0
eingesetzt ergibt [mm] x_{2}= [/mm] 3
Also sind die kritischen Punkte von
$ [mm] x_1=\pm [/mm] 1 $
$ [mm] x_2=\pm [/mm] 3 $
$ [mm] x_3=\pm [/mm] 5 $ ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Entschuldigung ich meine
$ [mm] x_1=\pm [/mm] $ 1 $
$ [mm] x_2=\pm [/mm] 3 $
$ [mm] x_3=\pm [/mm] 5 $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
OK,
dann habe ich jetzt die Werte:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \pm1
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = 3
[mm] x_{3} [/mm] = 5
Bei 2 Variablen und jeweils 2 möglichen Werten kombiniert man diese 4 Werte, so dass man vier Koordinaten hat.
Bei drei Variablen weiss ich es nicht.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> OK,
> dann habe ich jetzt die Werte:
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\pm1[/mm]
> [mm]x_{2}[/mm] = 3
> [mm]x_{3}[/mm] = 5
diese Werte stimmen!
>
> Bei 2 Variablen und jeweils 2 möglichen Werten kombiniert
> man diese 4 Werte, so dass man vier Koordinaten hat.
> Bei drei Variablen weiss ich es nicht.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
Gesucht sind diejenigen Punkte [mm] $(x_1,x_2,x_3)$, [/mm] bei deren Belegung alle drei partiellen Ableitungen verschwinden.
Mit den oben errechneten Werten hast du dann also die stat. Punkte
[mm] $\vec{a}_1=(1,3,5)$ [/mm] und [mm] $\vec{a}_2=(-1,3,5)$
[/mm]
Für die zweite und dritte Koordinate hast du doch mit [mm] $x_2=3, x_3=5$ [/mm] eindeutige Werte berechnet, allein für [mm] $x_1$ [/mm] hast du die beiden Möglichkeiten [mm] $x_1=\pm [/mm] 1$
Nun stelle die Hessematrix in diesen zwei Punkten auf und schaue, was du an ihr bzgl. der Art des Extremums herauslesen kannst ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Wieviele Spalten und Zeilen hat die Hessesche Matrix hier?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Do 08.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wieviele Spalten
3
> und Zeilen
3
FRED
> hat die Hessesche Matrix hier?
> Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Muss ich jetzt die Werte in die zweiten Ableitungen einsetzten?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Muss ich jetzt die Werte in die zweiten Ableitungen
> einsetzten?
Jein, du musst die Hessematrix aufstellen und in den beiden Punkten auswerten.
Schlage in deinen Unterlagen oder auf Wikipedia nach, was die Hessematrix ist und was sie mit der Bestimmung der Art möglicher Extrema zu tun hat.
So ist es heiteres Rätselraten mit Wim Toelke
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Also ich weiss, dass wenn die Hesse-Matrix positiv definit ist, es sich um ein lokales Minimum handelt, wenn sie negativ definit ist es sich um ein lokales Maximum handelt und wenn sie indefinit ist, kein Extremum vorliegt.
Allerdings weiss ich nicht wie ich die 3x3 Matrix mit den 4 werten, die ich habe bestimme. Muss ich die gemischten Ableitungen miteinbeziehen?
|
|
|
| |
|
> Allerdings weiss ich nicht wie ich die 3x3 Matrix mit den 4
> werten, die ich habe bestimme. Muss ich die gemischten
> Ableitungen miteinbeziehen?
Hallo,
ja, in der Hessematrix stehen die zweiten Ableitungen der Funktion.
In der ersten Zeile stehen nebeneinander die drei partiellen Ableitungen der partiellen Ableitung nach [mm] x_1,
[/mm]
in der zweiten die der part. Ableitung nach [mm] x_2,
[/mm]
und in der dritten die partiellen Ableitungen der part. Ableitung nach [mm] x_3
[/mm]
Und diese Matrix müssen wir hier erstmal sehen.
Danach kann man weitermachen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
[mm] \pmat{ 2x_{1} & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }
[/mm]
Stimmt das?
|
|
|
| |
|
>
> [mm] H_f(x_1, x_2, x_3)[/mm] [mm]\pmat{ 2x_{1} & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }[/mm]
>
> Stimmt das
Hallo,
ja, das ist richtig.
Nun berechnest Du für jeden Deiner kritischen Punkte die zugehörige Hessematrix (Koordinaten einsetzen),
und bestimmst dann ihre Definitheit.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ich habe ja die Koordinaten (1,3,5,) und (-1,3,5)
Wo soll ich die einsetzen?
|
|
|
| |
|
Hallo, in die Hessematrix, die hast du doch gerade aufgestellt, für [mm] x_1 [/mm] die 1 bzw. -1 einsetzen, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:03 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Setze ich 1 ein, erhalte ich 16, bei -1 erhalte ich -16. ?
|
|
|
| |
|
> Setze ich 1 ein, erhalte ich 16, bei -1 erhalte ich -16. ?
Hallo,
wofür erhältst Du 16 bzw. -16.
So geht das nicht.
Wenn wir Dir alles aus der Nase ziehen müssen, schreitet die Lösung der Aufgabe im Schneckentempo voran.
Nimm Dir bitte im eigenen Interesse die Zeit, einen Text zu verfassen, dem die potentiellen Antwortgeber alle notwendigen Informationen entnehmen können.
Damit hilfst du nicht zuletzt auch Dir selbst.
Mal ein Beispiel, wie ich mir sowas vorstelle:
die errechneten kritischen Punkte waren ... .
Wie besprochen setze ich diese in die Hessematrix [mm] H_f(x_1, x_2, x_3)= [/mm] ... ein und erhalte
1. für Punkt ...: [mm] H_f(...,...,...)= [/mm] ....,
2. für Punkt ...: ...
[mm] \vdots.
[/mm]
Nun möchte ich ....
Ich habe gelesen, daß man dazu ...
Wenn ich dies tue, erhalte ich ...
Mit sowas kann man etwas anfangen - und es zwingt Dich, Dir selbst Rechenschaft abzulegen über die Gründe und Sinnhaftigkeit Deines Tuns.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Aha,
ich habe jetzt folgende Hesse-Matrix, in die ich für x1 eine 1 bzw. eine -1 einsetzen muss.
$ [mm] \pmat{ 2x_{1} & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] $
Allerdings weiss ich nicht wie ich weiter fortfahren muss, da mich die verschiedenen Vorgehensweisen verwirren. Mit 3 Variablen habe ich so eine Aufgabe moch nie gesehen.
|
|
|
| |
|
Hallo, du bekommst für [mm] x_1=1 \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] und für [mm] x_1=-1 \pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] für beide ist die Symmetrie erfüllt, schon mal gut, jetzt bestimme über das charakteristische Polynom die Eigenwerte, für [mm] x_1=1 [/mm] erhälsz du [mm] \lambda^{3}+4\lambda^{2}-8\lambda-8=0 [/mm] in deinen Aufzeichnungen findest du dann die Kriterien für positiv/negativ definit, positiv/negativ semidefinit und indefinit, schaue ich jetzt aber in die Aufgabenstellung, kritische Punkte bestimmen und jeweils Hessematrix aufstellen, ist ja schon erledigt, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 08.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
OK, vielen Dank bis hierhin.
In der Aufgabe steht Hesse-Matrix berechnen und ihre Hauptminoren.
Gibt es auch eine andere Weise dies zu berechnen als mit
$ [mm] \lambda^{3}+4\lambda^{2}-8\lambda-8=0 [/mm] $?
|
|
|
| |
|
> OK, vielen Dank bis hierhin.
> In der Aufgabe steht Hesse-Matrix berechnen und ihre
> Hauptminoren.
> Gibt es auch eine andere Weise dies zu berechnen als mit
> [mm]\lambda^{3}+4\lambda^{2}-8\lambda-8=0 [/mm]?
Hallo,
ja, mit den Hauptminoren - schlag ggf. nach, was das genau ist. (Die Determinanten der drei Untermatrizen links oben.)
Das Kriterium:
Alle Hauptminoren positiv ==> pos. definit
gerade Hauptminoren pos. , ungerade negativ ==> negativ definit
Det. ungleich 0 und keiner der anderen beiden Fälle ==> indefinit
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Hallo, noch eine Frage um zum Ende der Aufgabe zu kommen,
stimmt es, dass ich bei dieser Matrix
$ [mm] \pmat{ 2x_{1} & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] $
die Hauptminoren bekomme, wenn ich die Determinante für die Gesamte Matrix berechne?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo, noch eine Frage um zum Ende der Aufgabe zu kommen,
> stimmt es, dass ich bei dieser Matrix
> [mm]\red{H_f(x_1,x_2,x_3)=}\pmat{ 2x_{1} & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }[/mm]
Die Hessematrix stimmt schonmal!
Du musst sie nun an den kritischen Stellen auswerten:
1) [mm] $H_f(1,3,5)=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }$ [/mm] und
2) [mm] $H_f(-1,3,5)=\pmat{ -2& 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }$
[/mm]
> die Hauptminoren bekomme, wenn ich die Determinante für
> die Gesamte Matrix berechne?
Nein, die reicht nicht.
Bezeichnen wir die Hessematrix [mm] $H_f$ [/mm] mit [mm] $\pmat{h_{11}&h_{12}&h_{13}\\h_{21}&h_{22}&h_{23}\\h_{31}&h_{32}&h_{33}}$, [/mm] so musst du
die Determinanten der Matrizen [mm] $\pmat{h_{11}}, \pmat{h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}}, H_f$, [/mm] also die Hauptunterdeterminanten ausrechnen.
Das ist auf Wikipedia ganz gut beschrieben, schaue mal dort nach ...
> Danke
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Danke für die schnelle Antwort.
Also,
$ [mm] H_f(1,3,5)=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] $
Hier rechne ich: 2*(-4)= -8
$ [mm] H_f(-1,3,5)=\pmat{ -2& 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] $
Hier rechne ich : -2*(-4)= 8
Insgesamt:
1.
$ [mm] \pmat{h_{11}}= [/mm] 2
$ [mm] \pmat{h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}} [/mm] = -8
und
2. $ [mm] \pmat{h_{11}}= [/mm] -2
$ [mm] \pmat{h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}} [/mm] = 8
Sind dies dann die Hauptminoren, an denen ich bestimmen Definitheit bestimmen muss?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Danke für die schnelle Antwort.
Also,
$ [mm] H_f(1,3,5)=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] $
Hier rechne ich: 2*(-4)= -8
$ [mm] H_f(-1,3,5)=\pmat{ -2& 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] $
Hier rechne ich : -2*(-4)= 8
Insgesamt:
1.
$ $ [mm] \pmat{h_{11}}= [/mm] $ 2
$ $ [mm] \pmat{h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}} [/mm] $ = -8
und
2.
$ [mm] \pmat{h_{11}}= [/mm] $ -2
$ [mm] \pmat{h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}} [/mm] $ = 8
Sind dies dann die Hauptminoren, an denen ich bestimmen Definitheit bestimmen muss?
|
|
|
| |
|
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> Also,
>
> [mm]H_f(1,3,5)=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }[/mm]
>
> Hier rechne ich: 2*(-4)= -8
>
> [mm]H_f(-1,3,5)=\pmat{ -2& 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }[/mm]
>
> Hier rechne ich : -2*(-4)= 8
Hallo,
die Ergebnisse der Det. der 3x3-Matrizen (also der 3. Hauptminoren) stimmen nicht.
Achte auf die Vorzeichen.
Eventuell liegt's daran, wie Du die Det. berechnest.
Falls Du dieselben Ergebnisse wieder bekommst, rechne ausführlich vor, was Du tust.
> Insgesamt:
> 1.
> $ $ [mm]\pmat{h_{11}}=[/mm] $ 2
>
> $ $ [mm]\pmat{h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}}[/mm] $ = -8
>
> und
> 2.
>
> [mm]\pmat{h_{11}}=[/mm] -2
>
> [mm]\pmat{h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}}[/mm] = 8
>
> Sind dies dann die Hauptminoren, an denen ich bestimmen
> Definitheit bestimmen muss?
Ja.
Du mußt dafür jeweils 1., 2. und 3. Hauptminoren anschauen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
OK, also ich habe für:
$ [mm] H_f(1,3,5)=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] $
Gerechnet, Hauptdiagonalen minus Nebendiagonalen:
2*(-4)*(-2)+0*2*0+0*0*(-2)-0*(-4)*0-2*2*2-(-2)*0*0= 8
Das gleiche mit -2 als erste Zahl: = -24
Dann: [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -4 }
[/mm]
Det: Hauptdiagonale minus Nebendiagonale
2*(-4)-0*0 = -8
-2*(-4)-0*0= 8
Und Det (a11)= 2 v -2
|
|
|
| |
|
Hallo
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }
[/mm]
[mm] |A_1|=2
[/mm]
[mm] |A_2|=det\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -4 }=-8
[/mm]
[mm] |A_3|=det\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }=8
[/mm]
hast du jetzt korrekt
[mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }
[/mm]
[mm] |A_1|=-2
[/mm]
[mm] |A_2|=det\pmat{ -2 & 0 \\ 0 & -4 }=8
[/mm]
[mm] |A_3|=det\pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }=-8
[/mm]
du hast noch -24 stehen,
(-2)*(-4)*(-2)+0*2*0+0*0*2-0*0*(-2)-(-2)*2*2-0*(-4)*0
=-16+0+0-0-(-8)-0
=-16+8
=-8
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Hi, du sagtest: =-16+0+0-0-(-8)-0
=-16+8
=-8
Warum -16+8 , warum +8?
|
|
|
| |
|
Hallo, da steht doch -(-8) das wir doch zu +8, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Also bei
$ [mm] |A_3|=det\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }=8 [/mm] $
Ist die Determinante 24? 16+0+0-0-(-8)-0= 24?
|
|
|
| |
|
> Also bei
> [mm]|A_3|=det\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }=8[/mm]
>
> Ist die Determinante 24? 16+0+0-0-(-8)-0= 24?
Hallo,
nein. Steffi hat doch gesagt, daß die Determinante =8 ist.
Es kommt da nicht [mm] -(\red{-}8) [/mm] vor, sondern [mm] -(\green{+}8).
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Stimmt, klar sorry.
Dann soll jetzt für den kritischen Punkt, bei dem [mm] x_{1}<0 [/mm] ist, untersucht werden, ob ein relatives Maximum, Minimum oder ein Sattelpunkt vorliegt.
Muss ich das an den Hauptminoren ausmachen?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Stimmt, klar sorry.
> Dann soll jetzt für den kritischen Punkt, bei dem [mm]x_{1}<0[/mm]
> ist, untersucht werden, ob ein relatives Maximum, Minimum
> oder ein Sattelpunkt vorliegt.
> Muss ich das an den Hauptminoren ausmachen?
Ja natürlich!
Warum machen wir denn den ganzen Zinnober hier?
Du solltest wirklich etwas selbständiger arbeiten.
Schlage doch nach, wie die Kriterien für lok. Min./Max. oder Sattelpunkt lauten.
Das wird doch wohl in der VL drangewesen sein.
Ansonsten ist Wikipedia dein Freund ...
Nun mach mal ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
OK dann habe ich bei der
$ [mm] H_f(-1,3,5)=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] $ : -8<0 relatives Maximum
$ [mm] \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & -4 } [/mm] $ : 8>0 relatives Maximum
und a11): -2 relatives Maximum
Stimmt das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Schwachsinn, ich meine:
OK dann habe ich bei der
$ [mm] H_f(-1,3,5)=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] $ : -8<0 relatives Maximum
$ [mm] \pmat{ -2 & 0 \\ 0 & -4 } [/mm] $ : 8>0 relatives Minimum
und a11): -2 relatives Maximum
Stimmt das?
|
|
|
| |
|
Hallo siehe meine andere Antwort, du hast doch die falsche Matrix, und in einem Punkt kann doch nich gleichzeitig ein Minimum und Maximum vorliegen, Steffi
|
|
|
| |
|
Hallo, du hast doch vorhin aber geschrieben für [mm] x_1<0 [/mm] also [mm] x_1=-1, [/mm] zu untersuchen ist doch somit [mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -2 }
[/mm]
[mm] |A_1|=-2
[/mm]
[mm] |A_2|=8
[/mm]
[mm] |A_3|=-8
[/mm]
jetzt hast du in der Vorlesung bestimmt gehört:
alle Hauptminoren größer Null [mm] \Rightarrow [/mm] ...
alle geraden Hauptminoren größer Null, alle ungeraden Hauptminoren kleiner Null [mm] \Rightarrow...
[/mm]
keine der beiden oberen Bedingungen und Determinanten ungleich Null [mm] \Rightarrow...
[/mm]
Habe mehr Mut zu deinen eigenen Überlegungen, du solltest auch an eine effektive Zeiteinteilung denken, zwei Tage für diese Aufgabe, aber trotzdem lobenswert, du kämpfst
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Keine Angst, ich rechne nicht die ganze Zeit an dieser Aufgabe, ich rechne andere nebenbei. Vorlesung ist lange her und alles sehr allgemein. Im Buch stehen nur Beispiele mit 2 Variablen, und da wird in stationäre Stellen eingesetzt etc.
Ich weiss nur, wenn für alle [mm] x\not=0 [/mm] in der Matrix gilt [mm] x^{T}Ax>0, [/mm] ist die Matrix positiv definit und es liegt ein lokales Maximum vor. Das ist hier nicht der Fall.
"alle geraden Hauptminoren größer Null, alle ungeraden Hauptminoren kleiner Null $ [mm] \Rightarrow... [/mm] $" habe ich noch nicht gehört. Inwiefern steht Definitheit mit relativem Maximum in Verbindung?
Danke
|
|
|
| |
|
> Keine Angst, ich rechne nicht die ganze Zeit an dieser
> Aufgabe, ich rechne andere nebenbei. Vorlesung ist lange
> her und alles sehr allgemein. Im Buch stehen nur Beispiele
> mit 2 Variablen, und da wird in stationäre Stellen
> eingesetzt etc.
>
> Ich weiss nur, wenn für alle [mm]x\not=0[/mm] in der Matrix gilt
> [mm]x^{T}Ax>0,[/mm] ist die Matrix positiv definit und es liegt ein
> lokales Maximum vor.
Nein. Ein Minimum.
> Das ist hier nicht der Fall.
> "alle geraden Hauptminoren größer Null, alle ungeraden
> Hauptminoren kleiner Null [mm]\Rightarrow... [/mm]" habe ich noch
> nicht gehört.
Hallo,
einmal ist immer das erste Mal...
Man könnte stattdessen auch schreiben: alle Hauptminoren von -A positiv.
Vielleicht ist das die Formulierung Deines Skriptes.
> Inwiefern steht Definitheit mit relativem
> Maximum in Verbindung?
Och menno, das kann man doch sicher in Deinen Unterlagen und bei wikipedia nachlesen:
Matrix positiv definit ==> Minimum
Matrix negativ definit ==> Maximum
Matrix indefinit ==> Sattelpunkt.
Und wie man die Definitheit an den Hauptminoren ablesen kann, hatte ich Dir aufgeschrieben.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Die Frage, was Definitheit mit Maxima zu tun hat war dumm, daran sieht man meine momentane Verwirrtheit mit dem Thema. Ich verstehe nicht wann ich die Definitheit an der Hesse-Matrix ablesen soll und wan und wie ich 3 Hauptminoren verwenden soll.
Dankeschön
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ich würde sagen, da die Hauptminoren alle weder positiv noch alle negativ sind, liegt kein Extremum vor, also liegt ein Sattelpunkt vor.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:57 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Hauptminoren sind -2, -8 und 8
Ich würde sagen, da die Hauptminoren alle weder positiv noch alle negativ sind, liegt kein Extremum vor, also liegt ein Sattelpunkt vor.
|
|
|
| |
|
Hallo
[mm] |A_1|=-2<0
[/mm]
[mm] |A_2|=8>0
[/mm]
[mm] |A_3|=-8<0
[/mm]
die ungeraden Hauptminoren [mm] (A_1 [/mm] und [mm] A_3) [/mm] sind kleiner Null und die geraden Hauptminoren [mm] (A_2) [/mm] sind größer Null [mm] \Rightarrow [/mm] lokales Maximum in (-1; 3; 5)
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ah, OK jetzt sehe ich woher das kommt. Man sieht sich erst die geraden Hauptminoren an, das ist hier [mm] A_{2}=8. [/mm] Sind diese positiv, sieht man sich die ungeraden Hauptminoren an. Diese sind -2 und -8. Sind die negativ, was hier der Fall ist, ist die Matrix negativ definit. Also liegt ein lokales Maximum vor. Das ist echt ein kompliyierter Zusammenhang. Ich werde mir das noch angucken und versuchen weitere Aufgaben zu lösen.
Euch allen dann vielen Dank für eure Hilfe und Gedult.
Schönen Abend noch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SBGoePH |
Ah, OK jetzt sehe ich woher das kommt. Man sieht sich erst die geraden Hauptminoren an, das ist hier $ [mm] A_{2}=8. [/mm] $ Sind diese positiv, sieht man sich die ungeraden Hauptminoren an. Diese sind -2 und -8. Sind die negativ, was hier der Fall ist, ist die Matrix negativ definit. Also liegt ein lokales Maximum vor. Das ist echt ein komplizierter Zusammenhang. Ich werde mir das noch angucken und versuchen weitere Aufgaben zu lösen.
Euch allen dann vielen Dank für eure Hilfe und Geduld.
Schönen Abend noch.
|
|
|
| |
|
> Die Frage, was Definitheit mit Maxima zu tun hat war dumm,
> daran sieht man meine momentane Verwirrtheit mit dem Thema.
> Ich verstehe nicht wann ich die Definitheit an der
> Hesse-Matrix ablesen soll und wan und wie ich 3
> Hauptminoren verwenden soll.
Hallo,
Definitheit ist eine Eigenschaft der Matrix.
Du schriebst irgendwo selbst sinngemäß:
eine Matirx A ist positiv definit, wenn für alle vom Nullvektor verschiedenen Vektoren x gilt [mm] x^{T}Ax>0.
[/mm]
Da man dies der Matrix nicht schnell ansehen kann, hat man überlegt, wie man schneller zum Ziel kommt und herausgefunden, daß die obige Eigenschaft für symmetrische Matrizen A einhergeht damit, daß die Hauptminoren positiv sind (und umgekehrt).
Die Hauptminoren sind sehr leicht auszurechnen, und man hat mit dem Hauptminorenkriterium eine einfache "Meßlatte" dafür, ob eine Matrix positiv definit ist.
Es gilt weiter ein hier im Thread bereits angesprochener Zusammenhang:
wenn alle Eigenwerte positiv sind, ist die synmmetrische Matrix positiv definit .
Du prüfst also anhand von Eigenschaften, die auf den ersten Blick nichts mit Definitheit zu tun haben, dieselbige.
Im Prinzip so ähnlich wie beim Thermometer: anhand der Höhe der Quecksilbersäule weißt Du die Temperatur. Temperatur ist was anderes als die Quecksilbersäule - und trotzdem hängen sie eng zusammen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Da fehlt bei der ersten 2 der Faktor [mm] $x_3$ [/mm] .
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
