Hessesche Normalform < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Ich versuche gerade die Hessische Normalform zu verstehen (auch die haben wir nicht in der Schule besprochen).
Ich habe die KF
[mm] 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=10
[/mm]
Der Normalenvektor ist dementsprechend [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4}
[/mm]
Ich habe das jetzt so in die Formel eingesetzt, jedoch vermute ich, dass das falsch ist:
[mm] \bruch{2_x{1}+3_{2}+4_{3}-10}{\wurzel{2+3+4}}
[/mm]
Um Werte für [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] zu erhalten, habe ich ketzt Werte in die KF eingesetzt, damit da ein wahres Ergebnis rauskommt:
2*1+3*0+4*2=10
Dann habe ich diese Werte in die HF eingesetzt:
[mm] \bruch{2*1+3*0+4*2-10}{\wurzel{9}}
[/mm]
Ich vermute, dass das nicht richtig ist, weil ich ja durch 0 teilen müsste (ist eine Beispielaufgabe aus dem Internet).
Wo liegt denn mein Fehler?
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hallo Sarah,
bitte: das Ding kommt nicht aus Hessen und heißt Hessesche Normalform und nicht Hessische Normalform
LG
schachuzipus
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> Hallo Zusammen ,
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> Ich versuche gerade die Hessische Normalform zu verstehen
> (auch die haben wir nicht in der Schule besprochen).
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> Ich habe die KF
>
> [mm]2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=10[/mm]
>
> Der Normalenvektor ist dementsprechend [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 4}[/mm]
>
richtig soweit. Mich würde die Aufgabenstellung intressieren? Die Hessesche Normalenform kannst du je nach Aufgabentyp anwenden.(Bsp Abstandsberechnung von Eben zu Punkt, Abstand windschiefer Geraden, Abstand zwischen Ebene und Ebene...). Wenn du jetzt beispielsweise den Abstand von Punkt und Ebene in dieser Aufgabe berechnen willst fehlt mir der Punkt? oder willst du einfach von der Koordiantengleicheung in die HN?
Die Normalenform kennst du.
Diese ist [mm] (\vec{x}-\vec{p})*n=0. [/mm] n ist hierbei der Normalenvektor und p der Ortsvektor(Aufpunktvektor). Bei der hesseschen Normalenform wird der Normalenvektor normiert, dies bedeutet das der Normalenvektor durch seinen Betrag geteilt wird [mm] (\vec{x}-\vec{p})*n_0=0; n_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{|\vec{n}|}*\vec{n}.
[/mm]
Um jetzt den Abstand von einem Punkt zur Ebene zu berechnen benutzt du die HN einfach in dem du für [mm] \vec{x} [/mm] den Aufpunkt einsetzt.
Um von der KG in die HN zu kommen benötigst du erstmal den Ortsvektor. Dieser beträgt [mm] \vektor{-1,5 \\ 0\\ 0} [/mm] und den Normalenvektor [mm] \vektor{2 \\ 3\\ 4}. [/mm] Der Betrag dieses Normalenvektor beträgt [mm] \wurzel{29}. [/mm] Den Normalenvektor normierst du jetzt einfach und setzt den Ortvektor und den normierten Normalenvektor einfach in [mm] (\vec{x}-\vec{p})*n_0=0 [/mm] ein.
Direkt mit der Koordinatengleichung geht es auch. Diese Form der Hesseschen Normalenform sieht dann so aus wie du es gemacht hast: [mm] \bruch{x_1+x_2+x_3-b}{n_0}=d
[/mm]
Hoffe das ich dir helfen konnte.
Gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:42 Di 21.10.2008 | | Autor: | informix |
Hallo espritgirl,
du kennst doch bestimmt unsere  MatheBank?
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") Normalenform der Ebenengleichung...
Ich hoffe, das hilft dir zum Verständnis.
> Hallo Zusammen ,
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>
> Ich versuche gerade die Hessische Normalform zu verstehen
> (auch die haben wir nicht in der Schule besprochen).
>
> Ich habe die KF
>
> [mm]2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=10[/mm]
>
> Der Normalenvektor ist dementsprechend [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 4}[/mm]
>
> Ich habe das jetzt so in die Formel eingesetzt, jedoch
> vermute ich, dass das falsch ist:
>
> [mm]\bruch{2_x{1}+3_{2}+4_{3}-10}{\wurzel{2+3+4}}[/mm]
>
> Um Werte für [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm] zu erhalten, habe ich
> ketzt Werte in die KF eingesetzt, damit da ein wahres
> Ergebnis rauskommt:
>
> 2*1+3*0+4*2=10
>
> Dann habe ich diese Werte in die HF eingesetzt:
>
>
> [mm]\bruch{2*1+3*0+4*2-10}{\wurzel{9}}[/mm]
>
> Ich vermute, dass das nicht richtig ist, weil ich ja durch
> 0 teilen müsste (ist eine Beispielaufgabe aus dem
> Internet).
>
>
> Wo liegt denn mein Fehler?
>
>
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
Gruß informix
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Hallo Sarah,
du warst mit deinem ersten Ansatz gar nicht sooo weit daneben !
Hessesche Normalenform
> Ich habe die KF
>
> [mm]2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=10[/mm]
>
> Der Normalenvektor ist dementsprechend [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 4}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich habe das jetzt so in die Formel eingesetzt, jedoch
> vermute ich, dass das falsch ist:
>
> [mm]\bruch{2_x{1}+3_{2}+4_{3}-10}{\wurzel{2+3+4}}[/mm]
Den Zähler hast du typographisch etwas verstümmelt
(die x fehlen), im Nenner unter der Wurzel fehlen die
Quadrate, und insgesamt sollte es immer noch eine
Gleichung sein. Richtig wäre also:
[mm]\bruch{2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}-10}{\wurzel{2^2+3^2+4^2}}=0[/mm]
Diese Gleichung ist äquivalent zur ursprünglichen
Gleichung in "KF", d.h. sie wird von den genau gleichen
Punkten erfüllt. Sie hat aber die ganz besondere Eigen-
schaft, dass der Term, der jetzt auf der linken Seite
steht, also
[mm]\bruch{2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}-10}{\wurzel{2^2+3^2+4^2}}[/mm]
für jeden beliebigen Punkt [mm] P(x_1/x_2/x_3) [/mm] des Raumes
als Zahlenwert den Abstand des Punktes P von der
Ebene liefert (noch versehen mit einem Plus- oder
Minuszeichen, das darüber informiert, auf welcher
Seite der Ebene der Punkt P liegt.
LG
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Hallo Sarah,
> Die Aufgabenstellung habe ich mir mehr oder weniger aus dem
> Kopf gedrückt, dass Beispiel stammt aus dem Internet.
Eigentlich gibst du aber gar keine konkrete Aufgabenstellung
an, sondern nur die Gleichung einer Ebene in Koordinatenform.
> Ich möchte den Abstand einer Ebene zu einer parallelen
> Gerade berechnen (sonst ist der Abstand ja automatisch =0).
Du hast keine solche Gerade angegeben.
Wenn du nebst der Ebene E auch eine solche Gerade g
hättest (von der du weisst, dass sie parallel zu E
ist, dann kannst du den Abstand zwischen g und E
berechnen, indem du mittels der Hesse-Methode
den Abstand irgendeines Punktes auf g von E berechnest.
Also, machen wir ein konkretes Beispiel.
Ebene E wie gehabt:
E: [mm] 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=10
[/mm]
[mm] E_{HNF}:[/mm] [mm]\bruch{2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}-10}{\wurzel{2^2+3^2+4^2}}=0[/mm]
Gerade g:
g: [mm] \vec{r}=\vektor{4\\5\\7}+t*\vektor{1\\-2\\1}
[/mm]
g ist tatsächlich parallel zur Ebene E.
Frage: wie weist man dies nach ?
Um nun den Apstand von g und E genügt es nun,
den Abstand des Stützpunktes G(4/5/7) von E zu berechnen.
Man setzt also die Werte [mm] x_{1}=4,\quad x_{2}=5,\quad x_{3}=7
[/mm]
in die linke Seite der HNF-Gleichung der Ebene E ein:
[mm]\bruch{2*4+3*5+4*7-10}{\wurzel{2^2+3^2+4^2}}[/mm]
und rechnet den Wert dieses Terms aus:
[mm]\bruch{8+15+28-10}{\wurzel{4+9+16}}=\bruch{41}{\wurzel{29}}\approx 7.614[/mm]
Dies ist der gesuchte Abstand.
Da er positiv ist, liegt der Punkt G (und damit die
Gerade g insgesamt) auf jener Seite der Ebene E, in
welche der Normalenvektor [mm] \vec{n}_E=\vektor{2\\3\\4} [/mm] der
Ebene weist.
LG
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Hallo ,
Danke für deine Antwort. Die hat ne Menge Lichts ins Dunkel gebracht
> Du hast keine solche Gerade angegeben.
> Wenn du nebst der Ebene E auch eine solche Gerade
> g
> hättest (von der du weisst, dass sie parallel zu E
> ist, dann kannst du den Abstand zwischen g und E
> berechnen, indem du mittels der Hesse-Methode
> den Abstand irgendeines Punktes auf g von E
> berechnest.
Doch, ich hatte eine Gerade. Die habe ich aber nicht angegeben. Und die war auch parallel (laut der Internetseite).
> Frage: wie weist man dies nach ?
Sehr gute Frage. Ist eine Wiederholung für mich.
Ich muss prüfen, ob ein Punkt der Geraden in der Ebene liegt. Dafür kann man einfach den Ortsvektor von g in die Ebene einsetzen.
Auf dein Beispiel bezogen:
[mm] 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=10
[/mm]
Dann setzen wir den OV ein:
[mm] 2*4+3*5+4*7=51\not=10
[/mm]
Da ein unwahred Ergebnis raus kommt, sind Gerade und Ebene parallel.
> Um nun den Apstand von g und E genügt es nun,
> den Abstand des Stützpunktes G(4/5/7) von E zu
> berechnen.
>
> Man setzt also die Werte [mm]x_{1}=4,\quad x_{2}=5,\quad x_{3}=7[/mm]
>
> in die linke Seite der HNF-Gleichung der Ebene E
> ein:
>
> [mm]\bruch{2*4+3*5+4*7-10}{\wurzel{2^2+3^2+4^2}}[/mm]
>
> und rechnet den Wert dieses Terms aus:
>
> [mm]\bruch{8+15+28-10}{\wurzel{4+9+16}}=\bruch{41}{\wurzel{29}}\approx 7.614[/mm]
Das habe ich verstanden.
Wendet man die Hessesche Normalform immer so an?
Ich finde leider die Seite nicht mehr, aber ich habe gelesen, dass man die KF in den Zähler setzt und in den Nenner den quadrierten Normalenvektor. Das haben wir ja auch so gemacht.
Aber um Werte für [mm] x_{1}... [/mm] zu erhalten, musste man dann ein wahres Ergebnis raus bekommen.
Das verwirrt mich.
Liebe Grüße,
Sarah
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> Hallo ,
>
> Doch, ich hatte eine Gerade. Die habe ich aber nicht
> angegeben. Und die war auch parallel (laut der
> Internetseite).
>
> > Frage: wie weist man dies nach ?
>
> Sehr gute Frage. Ist eine Wiederholung für mich.
>
> Ich muss prüfen, ob ein Punkt der Geraden in der Ebene
> liegt. Dafür kann man einfach den Ortsvektor von g in die
> Ebene einsetzen.
Der Begriff "der Ortsvektor von g" ist unklar.
Um zu zeigen, dass g parallel zu E ist, müsstest du
den Ortsvektor eines beliebigen Punktes von g
einsetzen, also hier den Vektor
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{4+t\\5-2t\\7+t}
[/mm]
Dies führt auf die Gleichung:
[mm]2*(4+t)+3*(5-2t)+4*(7+t)=10[/mm]
vereinfacht:
(8+15+28)+(2-6+4)t=10
51+0*t=10
0*t=-41
Da diese Gleichung durch keine Zahl t erfüllt werden
kann, hat die Gerade keinen Punkt mit der Ebene
gemeinsam. Geometrisch bedeutet dies, dass g zu E
parallel ist und nicht in E liegt.
> Auf dein Beispiel bezogen:
>
> [mm]2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=10[/mm]
>
> Dann setzen wir den OV ein:
>
> [mm]2*4+3*5+4*7=51\not=10[/mm]
>
> Da ein unwahres Ergebnis raus kommt, sind Gerade und Ebene
> parallel.
diese Argumentation reicht also nicht aus !
Es gibt aber eine einfachere Methode, zu prüfen, ob
g parallel zu E ist.
Es genügt nachzurechnen, ob der Richtungsvektor der
Geraden mit dem Normalenvektor der Ebene einen
rechten Winkel bildet. Dies geht mittels Skalarprodukt
sehr leicht.
> Wendet man die Hessesche Normalform immer so an?
das kann ich nicht gut beantworten, weil ich nicht genau
weiss, was du jetzt mit "so" meinst
> Ich finde leider die Seite nicht mehr, aber ich habe
> gelesen, dass man die KF in den Zähler setzt und in den
> Nenner den quadrierten Normalenvektor.
Stimmt aber so nicht ganz... Im Nenner steht der
Betrag des Normalenvektors, also die Quadratwurzel
aus dem quadrierten Normalenvektor.
> Aber um Werte für [mm]x_{1}...[/mm] zu erhalten, musste man dann ein
> wahres Ergebnis raus bekommen.
??? weiss nicht, was du damit meinst
Al-Chwarizmi
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Liebe Sarah,
Die Hessesche Normalenform ist nach dem deutschen Mathematiker Ludwig Otto Hesse benannt.
Ich habe mir erlaubt dir eine andere Übungsaufgabe zu präsentieren, damit dir der Zweck dieser Gleichung klar wird.
Du kannst mit der Hesseschen Normalenform den Abstand von einer Ebene zu einem Punkt berechnen. Es wird dabei immer der kürzeste Abstand zwischen Ebene und Punkt benutzt; also einer lotrechten Distanz.
Bsp.:
Vorausetzung:
[mm] E: 2x_1-x_2+2x_3=1 [/mm]
[mm] d=\bruch{\left|2x_1-x_2+2x_3-1\right|}{\wurzel{2^2+\left(-1^2\right)+2^2}} [/mm]
Behauptung:
d= 1 Längeneinheit
Beweis:
[mm] d=\bruch{\left|2*2-4+2*\left(-1\right)-1 \right|}{\wurzel{2^2+\left(-1^2\right)+2^2}} [/mm]
<=>
[mm] d=\bruch{\left|-3\right|}{\wurzel{9}} [/mm]
<=>
d=1
□
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
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