Hilbert-Basis / Isomorphismus < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Do 07.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend alle zusammen!
Ich arbeite gerade das Kapitel "Hilber-Räume" aus der Vorlesung durch und habe große Schwierigkeiten einieg Dinge zu begreifen!
1. In der Definion/ Satz über die Hilbert-Basis steht folgendes unter anderem:
H Hilbertraum und [mm] x_i, i \in I [/mm] eine Familie in H.
Die Abbildung
[mm] [mm] l^2 (I)_{i \in \mathcal C } \to [/mm] H [mm]
[mm] \{ (a)_{ i \in I } | \| a_i \|^2 summierbar \} \to \summe_{i \in I } a_i x_i [/mm]
ist ein wohldefinierter isometrischer Isomorphismus.
Das versteh ich nicht?
Kann mir jemand erklären warum das der Fall ist?
Ich verstehe vor allem nicht, welche Rolle die summierbaren Familien spielen :-(
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo Irmchen,
> Guten Abend alle zusammen!
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> Ich arbeite gerade das Kapitel "Hilber-Räume" aus der
> Vorlesung durch und habe große Schwierigkeiten einieg Dinge
> zu begreifen!
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> 1. In der Definion/ Satz über die Hilbert-Basis steht
> folgendes unter anderem:
>
> H Hilbertraum und [mm]x_i, i \in I[/mm] eine Familie in H.
> Die Abbildung
>
> [mm][mm]l^2 (I)_{i \in \mathcal C } \to[/mm] H [mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm]\{ (a)_{ i \in I } | \| a_i \|^2 summierbar \} \to \summe_{i \in I } a_i x_i[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]ist ein wohldefinierter isometrischer Isomorphismus.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Das versteh ich nicht?[/mm][/mm]
> [mm][mm] Kann mir jemand erklären warum das der Fall ist?[/mm][/mm]
> [mm][mm] Ich verstehe vor allem nicht, welche Rolle die summierbaren Familien spielen :-([/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Viele Grüße[/mm][/mm]
> [mm][mm] Irmchen[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
zunaechst mal: den zusammenhang zwischen elementen in einem HR und ihren koordinaten-darstellung bezueglich einer ONB zu untersuchen ist ganz natuerlich: im endlich-dimensionalen macht man das staendig, der ganze matrix-kalkuel in der LA beruht ja darauf, dass man VRe mit dem [mm] $R^n$ [/mm] identifiziert.
Im unendlich-dimensionalen gibt es keinen [mm] $R^n$ [/mm] mehr, der [mm] $l^2$ [/mm] ist sozusagen das unendlichdimensionale analogon zum [mm] $R^n$, [/mm] der raum der quadratsummierbaren folgen.
dass ein enger zusammenhang zwischen HRen und dem [mm] $l^2$ [/mm] besteht, siehst du auch an der parsevalschen gleichung (vgl. auch die bessel-ungl.), die besagt
[mm] $\|v\|^2=\|\sum_i a_i x_i\|^2=\sum_i a_i^2$,
[/mm]
falls die [mm] $(x_i)$ [/mm] eine ONB des HRs bilden. Ich habe bei dir nicht ganz verstanden, was fuer die [mm] $x_i$ [/mm] vorausgesetzt ist: Familie, ONS, ONB,...?
wie auch immer, ich denke der zusammenhang ist klarer geworden...
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Do 07.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Die [mm] x_i [/mm] sind hier eine Familie im Hilbertraum....
Danke, jetzt ist es ein wenig klarer geworden, warum man das ganze so aufbaut.
Und wenn ich jetzt so ein maximales ONS habe , dann heißt dass doch, dass ich zu jedem Element aus H eine Fourier-Entwicklung machen kann?
Und wo ist jetzt der Zusammenhang zu der Fourier-Transformierten? Da fehlt mir komplett die Verbindung irgendwie... :-(
Danke!
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo,
> Hallo!
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> Die [mm]x_i[/mm] sind hier eine Familie im Hilbertraum....
> Danke, jetzt ist es ein wenig klarer geworden, warum man
> das ganze so aufbaut.
> Und wenn ich jetzt so ein maximales ONS habe , dann heißt
> dass doch, dass ich zu jedem Element aus H eine
> Fourier-Entwicklung machen kann?
ja.
>
> Und wo ist jetzt der Zusammenhang zu der
> Fourier-Transformierten? Da fehlt mir komplett die
> Verbindung irgendwie... :-(
>
wikipedia sagt: "...Eine andere Formulierung der Gleichung (-> parseval) ist die Aussage, dass die L2-Norm einer Funktion gleich der l2-Norm der Koeffizienten der Fourierreihe dieser Funktion ist. Die Verallgemeinerung der parsevalschen Gleichung auf die Fouriertransformation ist der Satz von Plancherel...."
der erste satz dieser aussage ist in der tat nichts anderes als die parsevalsche gleichung auf [mm] $L^2$ [/mm] angewendet.
Zum satz von plancherel sagt Wiki:"...Die Fouriertransformation ist damit eine Isometrie im Raum L2 (Hilbertraum). Diese Gleichung ist der parsevalschen sehr ähnlich, aber sie folgt nicht aus dieser, da der Fouriertransformation kein Orthogonalsystem zugeordnet ist...."
Einen zusammenhang zur fourier-trafo gibt es also nur indirekt.
gruss
matthias
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