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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
| Aufgabe | Es sei [mm] $(e_i)_{i\in I}$ [/mm] ein ON-System im Hilbertraum $X$, d.h. [mm] $\langle e_i|e_j\rangle=\delta_{ij}$ [/mm] für alle [mm] $i,j\in [/mm] I$. Dann sind äquivalent:
(1) (Vollständigkeit) Für [mm] $x\in [/mm] X$ gilt: [mm] $(\forall i\in [/mm] I: [mm] \langle x|e_i\rangle=0)\Rightarrow [/mm] x=0$
(2) (Parseval-Gleichung) Für [mm] $x\in [/mm] X$ gilt: [mm] $\langle x|x\rangle=||x||^2=\sum\limits_{i\in I}|\langle x|e_i\rangle|^2$
[/mm]
(3) (Fourier-Entwicklung) Für jedes [mm] $x\in [/mm] X$ gilt: [mm] $x=\sum\limits_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i$ [/mm] wobei auf rechter Seite nur höchstens abzählbar unendl. viele [mm] $\langle x|e_i\rangle\not=0$ [/mm] sind und die Summationsreihenfolge keine Bedeutung [mm] hat.\\
[/mm]
Ein solches System heißt [mm] \underline{Hilbert-Basis}. [/mm] |
Hallo zusammen!
Obiges sollten wir Anfang des Semesters in einer Übungsaufgabe beweisen, und ich verstehe den Beweis nicht so ganz. Also wir zeigen zuerst [mm] (1)\Rightarrow [/mm] (3):
Wir definieren: [mm] $y=x-\sum\limits_{j\in I}\langle x|e_j \rangle e_j$
[/mm]
Nun nehmen wir auf beiden Seiten das Skalarprodukt mit [mm] $e_i$:
[/mm]
[mm] $\langle y|e_i\rangle=\langle x-\sum\limits_{j\in I}\langle x|e_j \rangle e_j|e_i\rangle$
[/mm]
und wie man auf das Folgende kommt, weiß ich nicht so ganz:
[mm] $=\langle x|e_i\rangle-\sum\limits_{j\in I}\langle x|e_j\rangle\langle e_j|e_i\rangle$
[/mm]
Wieso steht da nicht so was: [mm] $=\langle x|e_i\rangle-\langle\sum\limits_{j\in I}\langle x|e_j\rangle e_j|e_i\rangle$? [/mm] Oder steht das da eigentlich, nur weil das Skalarprodukt direkt hinter der Summe "konstant" ist, kann man es rausziehen? Ist das so?
Naja, und dieser ganze Ausdruck ist dann =0, weil das letzte Skalarprodukt [mm] =\delta_{ij} [/mm] ist und damit ist alles hinter dem Minus [mm] =$\langle x|e_i\rangle$.
[/mm]
Aber wieso ist damit [mm] $(1)\Rightarrow [/mm] (3)$ gezeigt? Das sehe ich überhaupt nicht!!!
Und für die Rückrichtung habe ich hier nur stehen:
[mm] $x\in [/mm] X$ [mm] $x=\sum\limits_{i\in I}\langle [/mm] x| [mm] e_i\rangle e_i$
[/mm]
[mm] $\langle [/mm] x| [mm] e_i\rangle [/mm] =0 [mm] \forall i\in [/mm] I$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=0$
Das verstehe ich nun überhaupt nicht. Könnte mir das jemand erklären? Dann kann ich mir das besser merken, falls so etwas in der Klausur dran kommen sollte. 
So, das reicht erst mal. Gucke mir jetzt noch die anderen "Richtungen" an, vllt kommt dazu auch noch ne Frage...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Es sei [mm](e_i)_{i\in I}[/mm] ein ON-System im Hilbertraum [mm]X[/mm], d.h.
> [mm]\langle e_i|e_j\rangle=\delta_{ij}[/mm] für alle [mm]i,j\in I[/mm]. Dann
> sind äquivalent:
> (1) (Vollständigkeit) Für [mm]x\in X[/mm] gilt: [mm](\forall i\in I: \langle x|e_i\rangle=0)\Rightarrow x=0[/mm]
>
> (2) (Parseval-Gleichung) Für [mm]x\in X[/mm] gilt: [mm]\langle x|x\rangle=||x||^2=\sum\limits_{i\in I}|\langle x|e_i\rangle|^2[/mm]
>
> (3) (Fourier-Entwicklung) Für jedes [mm]x\in X[/mm] gilt:
> [mm]x=\sum\limits_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i[/mm] wobei auf
> rechter Seite nur höchstens abzählbar unendl. viele [mm]\langle x|e_i\rangle\not=0[/mm]
> sind und die Summationsreihenfolge keine Bedeutung [mm]hat.\\[/mm]
> Ein solches System heißt [mm]\underline{Hilbert-Basis}.[/mm]
> Hallo zusammen!
>
> Obiges sollten wir Anfang des Semesters in einer
> Übungsaufgabe beweisen, und ich verstehe den Beweis nicht
> so ganz. Also wir zeigen zuerst [mm](1)\Rightarrow[/mm] (3):
> Wir definieren: [mm]y=x-\sum\limits_{j\in I}\langle x|e_j \rangle e_j[/mm]
>
> Nun nehmen wir auf beiden Seiten das Skalarprodukt mit
> [mm]e_i[/mm]:
>
> [mm]\langle y|e_i\rangle=\langle x-\sum\limits_{j\in I}\langle x|e_j \rangle e_j|e_i\rangle[/mm]
>
> und wie man auf das Folgende kommt, weiß ich nicht so
> ganz:
>
> [mm]=\langle x|e_i\rangle-\sum\limits_{j\in I}\langle x|e_j\rangle\langle e_j|e_i\rangle[/mm]
>
> Wieso steht da nicht so was: [mm]=\langle x|e_i\rangle-\langle\sum\limits_{j\in I}\langle x|e_j\rangle e_j|e_i\rangle[/mm]?
> Oder steht das da eigentlich, nur weil das Skalarprodukt
> direkt hinter der Summe "konstant" ist, kann man es
> rausziehen? Ist das so?
Weil das Skalarprodukt (bi-)linear ist, kann man Summation und Skalarprodukt vertauschen (muss sich dabei allerdings noch kurz Gedanken darüber machen, ob das bei einer ja meist unendlichen Summe [mm] $\sum_{i\in I}$ [/mm] auch zulässig ist).
>
> Naja, und dieser ganze Ausdruck ist dann =0, weil das
> letzte Skalarprodukt [mm]=\delta_{ij}[/mm] ist und damit ist alles
> hinter dem Minus =[mm]\langle x|e_i\rangle[/mm].
> Aber wieso ist
> damit [mm](1)\Rightarrow (3)[/mm] gezeigt? Das sehe ich überhaupt
> nicht!!!
Wenn es gelingt zu zeigen, dass $y := [mm] x-\sum_{i\in I} \langle x|e_i\rangle e_i$ [/mm] die Eigenschaft hat, dass sein Skalarprodukt mit allen [mm] $(e_i)_{i\in I}$ [/mm] gleich $0$ ist, dann folgt doch aus (1), dass [mm] $x-\sum_{i\in I} \langle x|e_i\rangle e_i=0$ [/mm] ist. Woraus durch beidseitiges Addieren von [mm] $\sum_{i\in I} \langle x|e_i\rangle e_i$ [/mm] sogleich [mm] $x=\sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i$ [/mm] folgt, d.h. die Aussage (3).
> Und für die Rückrichtung habe ich hier nur stehen:
>
> [mm]x\in X[/mm] [mm]x=\sum\limits_{i\in I}\langle x| e_i\rangle e_i[/mm]
>
> [mm]\langle x| e_i\rangle =0 \forall i\in I[/mm]
> [mm]\Rightarrow x=0[/mm]
>
> Das verstehe ich nun überhaupt nicht. Könnte mir das jemand
> erklären? Dann kann ich mir das besser merken, falls so
> etwas in der Klausur dran kommen sollte.
Um (1) zu beweisen, müssen wir zeigen, dass aus [mm] $\forall [/mm] i [mm] \langle x|e_i\rangle=0$ [/mm] folgt, dass $x=0$ ist.
Gelte also [mm] $\forall [/mm] i [mm] \langle x|e_i\rangle=0$. [/mm] Wegen der vorausgesetzten Gültigkeit von (3) haben wir [mm] $x=\sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i=\sum_{i\in I} [/mm] 0 [mm] e_i=\sum_{i\in I}0=0$. [/mm] Also ist in der Tat $x=0$, was zum Beweis von (1) aus (3) zu zeigen war.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
| Aufgabe | Es sei [mm](e_i)_{i\in I}[/mm] ein ON-System im Hilbertraum [mm]X[/mm], d.h.
[mm]\langle e_i|e_j\rangle=\delta_{ij}[/mm] für alle [mm]i,j\in I[/mm]. Dann
sind äquivalent:
(1) (Vollständigkeit) Für [mm]x\in X[/mm] gilt: [mm](\forall i\in I: \langle x|e_i\rangle=0)\Rightarrow x=0[/mm]
(2) (Parseval-Gleichung) Für [mm]x\in X[/mm] gilt: [mm]\langle x|x\rangle=||x||^2=\sum\limits_{i\in I}|\langle x|e_i\rangle|^2[/mm]
(3) (Fourier-Entwicklung) Für jedes [mm]x\in X[/mm] gilt: [mm]x=\sum\limits_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i[/mm] wobei auf
rechter Seite nur höchstens abzählbar unendl. viele [mm]\langle x|e_i\rangle\not=0[/mm]
sind und die Summationsreihenfolge keine Bedeutung [mm]hat.\\[/mm]
Ein solches System heißt [mm]\underline{Hilbert-Basis}.[/mm] |
Hallo nochmal!
Versuche mich jetzt an der Äquivalenz von (2) und (3) - die Rückrichtung habe ich auch verstanden, aber irgendwie kann ich mit Skalarprodukten nicht rechnen und habe wohl beim Abschreiben ein paar Indexfehler gemacht. Und den "Sinn" der "Hinrichtung" verstehe ich wieder nicht. Also, wir haben da wieder [mm] $y=x-\sum\limits_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i$ [/mm] definiert und dann [mm] $\langle y|y\rangle$ [/mm] berechnet. Da ich - wie gesagt - mit Skalarprodukten nicht rechnen kann, schreibe ich mal, wie ich der Meinung bin, dass man das jetzt "auflöst":
[mm] $\langle y|y\rangle=\langle x-\sum\limits_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i|x-\sum\limits_{j\in I}\langle x|e_j\rangle e_j\rangle=\langle x|x\rangle-\sum_{j}\overline{\langle x|e_j\rangle}\langle x|\overline{e_j}\rangle-\sum\limits_{i}\langle x|e_i\rangle\langle e_i|x\rangle+\sum\limits_i\langle x|e_i\rangle\sum\limtits_j\overline{\langle x|e_j\rangle}\langle e_i|\overline{e_j}\rangle$
[/mm]
Ist das so richtig? Wenn nein, was genau ist falsch? Vor allem bin ich mir ziemlich unsicher, wo jetzt was genau konjugiert werden muss...
Was kann ich da dann weiter vereinfachen? Und warum gilt [mm] $\langle e_i|x\rangle=\langle\overline{x|e_i}\rangle?
[/mm]
Am Ende soll da stehen: [mm] $=||x||^2-\sum\limits_{i}|\langle x|e_i\rangle|^2=0$. [/mm] Der erste Summand ist klar, auf den Rest komme ich leider nicht. Dass das =0 ist folgt ja dann aus (2), aber wieso ist damit (3) bewiesen?
Viele Grüße
Bastiane
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> Es sei [mm](e_i)_{i\in I}[/mm] ein ON-System im Hilbertraum [mm]X[/mm], d.h.
> [mm]\langle e_i|e_j\rangle=\delta_{ij}[/mm] für alle [mm]i,j\in I[/mm]. Dann
> sind äquivalent:
> (1) (Vollständigkeit) Für [mm]x\in X[/mm] gilt: [mm](\forall i\in I: \langle x|e_i\rangle=0)\Rightarrow x=0[/mm]
>
>
> (2) (Parseval-Gleichung) Für [mm]x\in X[/mm] gilt: [mm]\langle x|x\rangle=||x||^2=\sum\limits_{i\in I}|\langle x|e_i\rangle|^2[/mm]
>
>
> (3) (Fourier-Entwicklung) Für jedes [mm]x\in X[/mm] gilt:
> [mm]x=\sum\limits_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i[/mm] wobei auf
> rechter Seite nur höchstens abzählbar unendl. viele [mm]\langle x|e_i\rangle\not=0[/mm]
> sind und die Summationsreihenfolge keine Bedeutung [mm]hat.\\[/mm]
> Ein solches System heißt [mm]\underline{Hilbert-Basis}.[/mm]
> Hallo nochmal!
>
> Versuche mich jetzt an der Äquivalenz von (2) und (3) - die
> Rückrichtung habe ich auch verstanden, aber irgendwie kann
> ich mit Skalarprodukten nicht rechnen und habe wohl beim
> Abschreiben ein paar Indexfehler gemacht. Und den "Sinn"
> der "Hinrichtung" verstehe ich wieder nicht. Also, wir
> haben da wieder [mm]y=x-\sum\limits_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i[/mm]
> definiert und dann [mm]\langle y|y\rangle[/mm] berechnet. Da ich -
> wie gesagt - mit Skalarprodukten nicht rechnen kann,
> schreibe ich mal, wie ich der Meinung bin, dass man das
> jetzt "auflöst":
>
> [mm]\langle y|y\rangle=\langle x-\sum\limits_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i|x-\sum\limits_{j\in I}\langle x|e_j\rangle e_j\rangle=\langle x|x\rangle-\sum_{j}\overline{\langle x|e_j\rangle}\langle x|\overline{e_j}\rangle-\sum\limits_{i}\langle x|e_i\rangle\langle e_i|x\rangle+\sum\limits_i\langle x|e_i\rangle\sum\limtits_j\overline{\langle x|e_j\rangle}\langle e_i|\overline{e_j}\rangle[/mm]
>
> Ist das so richtig? Wenn nein, was genau ist falsch?
Also zum Beispiel das Skalarprodukt [mm] $\langle e_i|\overline{e_j}\rangle$ [/mm] in der letzten Summe nach dem zweiten Gleichheitszeichen ist garantiert der reinste Müll: denn [mm] $e_j$ [/mm] ist ein Vektor, kein Skalar (d.h. keine komplexe Zahl).
Ingesamt sieht mir dies zu kompliziert aus. Du kannst Dir ja vorstellen, dass Du zuerst die Summe aus dem ersten Argument des Skalarproduktes herausziehst und dann aus dem zweiten: also besser schrittweise vorgehen, auch wenn es etwas mehr zu schreiben gibt - statt alles in einem einzigen grossen Wurf aufs Papier zu schmettern.
Weil [mm] $\langle e_i|e_j\rangle=1$, [/mm] genau dann, wenn $i=j$, $=0$ sonst ist, vereinfacht sich die Sache entsprechend dramatisch. In der Hoffnung, die Umformungen klarer zu machen, habe ich das äussere Skalarprodukt (und seine "Nachfahren") im folgenden blau eingefärbt:
[mm]\blue{\big\langle} x-\sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i\mid x-\sum_{i\in J}\langle x|e_i\rangle e_j \blue{\big\rangle}=\blue{\langle} x| x\blue{\rangle}-\sum_{i\in I}\sum_{j\in I}\blue{\big\langle}\langle x|e_i\rangle e_i\mid \langle x| e_j\rangle e_j\blue{\big\rangle}=\blue{\langle} x| x\blue{\rangle} - \sum_{i\in I}\sum_{j\in I}\langle x|e_i\rangle \overline{\langle x|e_j \rangle}\blue{\langle}e_i|e_j\blue{\rangle}=\blue{||}x\blue{||}^2-\sum_{i\in I}|\langle x| e_i\rangle|^2[/mm]
Beim Übergang von links nach rechts beim zweiten Gleichheitszeichen habe ich die allgemeine Eigenschaft [mm] $\langle \lambda x|\mu y\rangle =\lambda \overline{\mu}\langle x|y\rangle$ [/mm] des komplexen Skarproduktes verwendet (siehe dazu auch: weiter unten).
> Vor
> allem bin ich mir ziemlich unsicher, wo jetzt was genau
> konjugiert werden muss...
Eines ist sicher: Vektoren musst Du nie konjugieren - nur Skalare (nämlich dann, wenn Du sie aus dem zweiten Argument eines komplexen Skalarproduktes herausziehst - nicht so, wenn Du sie aus dem ersten Argument des Skalarproduktes herausziehst). Es gilt also etwa [mm] $\langle \lambda x+\mu y|z\rangle [/mm] = [mm] \lambda \langle x|z\rangle+\mu \langle y|z\rangle$, [/mm] aber [mm] $\langle z|\lambda [/mm] x [mm] +\mu y\rangle [/mm] = [mm] \overline{\lambda}\langle z|x\rangle+\overline{\mu}\langle z|y\rangle$.
[/mm]
Vielleicht schaust Du nochmals in Ruhe nach, welche Eigenschaften das Skalarprodukt bei Hilberträumen (per Definition) haben muss.
> Was kann ich da dann weiter vereinfachen? Und warum gilt
> [mm]$\langle e_i|x\rangle=\langle\overline{x|e_i}\rangle?[/mm]
Gilt praktisch definitionsgemäss, d.h. es ist eine Eigenschaft des Skalarproduktes von komplexen Vektorräumen. Das komplexe Skalarprodukt hat, anstelle der Symmetrie des reellen Skalarproduktes [mm] $\langle x|y\rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] y| [mm] x\rangle$ [/mm] die Eigenschaft der sogenannten "hermiteschen Symmetrie": [mm] $\langle x|y\rangle [/mm] = [mm] \overline{\langle y|x\rangle}$.
[/mm]
> Am
> Ende soll da stehen: [mm]=||x||^2-\sum\limits_{i}|\langle x|e_i\rangle|^2=0[/mm].
> Der erste Summand ist klar, auf den Rest komme ich leider
> nicht. Siehe oben.
> Dass das =0 ist folgt ja dann aus (2), aber wieso
> ist damit (3) bewiesen?
Weil wir ja insgesamt gezeigt haben, dass gilt
[mm]\big\parallel x-\sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i\big\parallel^2=0[/mm]
also ist [mm] $x-\sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i=0$, [/mm] d.h. [mm] $x=\sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i$, [/mm] was zu zeigen war.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Somebody!
> > Ist das so richtig? Wenn nein, was genau ist falsch?
> Also zum Beispiel das Skalarprodukt [mm]\langle e_i|\overline{e_j}\rangle[/mm]
> in der letzten Summe nach dem zweiten Gleichheitszeichen
> ist garantiert der reinste Müll: denn [mm]e_j[/mm] ist ein Vektor,
> kein Skalar (d.h. keine komplexe Zahl).
Ja, ich hatte mich auch schon gefragt, ob das denn Sinn macht. Aber kann man nicht theoretisch auch einen Vektor konjugieren? Oder gibt es keine Vektoren, die komplexe Einträge haben?
Aber ok, ich merke mir: konjugiert werden keine Vektoren!
> [mm]\blue{\big\langle} x-\sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i\mid x-\sum_{i\in J}\langle x|e_i\rangle e_j \blue{\big\rangle}=\blue{\langle} x| x\blue{\rangle}-\sum_{i\in I}\sum_{j\in I}\blue{\big\langle}\langle x|e_i\rangle e_i\mid \langle x| e_j\rangle e_j\blue{\big\rangle}=\blue{\langle} x| x\blue{\rangle} - \sum_{i\in I}\sum_{j\in I}\langle x|e_i\rangle \overline{\langle x|e_j \rangle}\blue{\langle}e_i|e_j\blue{\rangle}=\blue{||}x\blue{||}^2-\sum_{i\in I}|\langle x| e_i\rangle|^2[/mm]
Wieso gilt denn das erste Gleichheitszeichen? Ich hatte da etwas im Kopf von wegen "jedes mit jedem", und du nimmst hier ja nur das x mit sich selbst und die beiden Summen zusammen, aber muss nicht jedes x noch mit der "anderen Summe" auch betrachtet werden? Das ist wahrscheinlich der Teil, der sich dann wegkürzt, aber genau dieser Teil war mein Problem!
> Vielleicht schaust Du nochmals in Ruhe nach, welche
> Eigenschaften das Skalarprodukt bei Hilberträumen (per
> Definition) haben muss.
Ist das denn bei Hilberträumen anders als "normal"? Hatte verzweifelt nach den "Auflösungsregeln" für das Skalarprodukt gesucht, wenn ich in beiden Komponenten eine Summe stehen habe. Eigentlich kann ich das ja schrittweise erst die erste Komponente und dann die zweite machen, aber dann kam da das Obige bei mir raus.
> > Was kann ich da dann weiter vereinfachen? Und warum gilt
> > [mm]$\langle e_i|x\rangle=\langle\overline{x|e_i}\rangle?[/mm]
>
> Gilt praktisch definitionsgemäss, d.h. es ist eine
> Eigenschaft des Skalarproduktes von komplexen Vektorräumen.
> Das komplexe Skalarprodukt hat, anstelle der Symmetrie des
> reellen Skalarproduktes [mm]\langle x|y\rangle = \langle y| x\rangle[/mm]
> die Eigenschaft der sogenannten "hermiteschen Symmetrie":
> [mm]\langle x|y\rangle = \overline{\langle y|x\rangle}[/mm].
Stimmt, das muss ich auch noch irgendwo stehen haben. Aber kann man es sich nicht auch so denken (fiel mir erst später ein): wenn ich das [mm] e_i [/mm] aus der ersten Komponente in die zweite packe, muss es konjugiert werden, ebenso, wenn ich das $x$ aus der zweiten in die erste tue. Und somit steht dann da auch [mm] $\langle\overline{x|e_i}\rangle$, [/mm] oder?
> > Am
> > Ende soll da stehen: [mm]=||x||^2-\sum\limits_{i}|\langle x|e_i\rangle|^2=0[/mm].
> > Der erste Summand ist klar, auf den Rest komme ich leider
> > nicht. Siehe oben.
>
> > Dass das =0 ist folgt ja dann aus (2), aber wieso
> > ist damit (3) bewiesen?
>
> Weil wir ja insgesamt gezeigt haben, dass gilt
>
> [mm]\big\parallel x-\sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i\big\parallel^2=0[/mm]
Oh - das war der Schritt, der mir fehlte. Danke schön.
Viele Grüße
Bastiane
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> Hallo Somebody!
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> > > Ist das so richtig? Wenn nein, was genau ist falsch?
> > Also zum Beispiel das Skalarprodukt [mm]\langle e_i|\overline{e_j}\rangle[/mm]
> > in der letzten Summe nach dem zweiten Gleichheitszeichen
> > ist garantiert der reinste Müll: denn [mm]e_j[/mm] ist ein Vektor,
> > kein Skalar (d.h. keine komplexe Zahl).
>
> Ja, ich hatte mich auch schon gefragt, ob das denn Sinn
> macht. Aber kann man nicht theoretisch auch einen Vektor
> konjugieren? Oder gibt es keine Vektoren, die komplexe
> Einträge haben?
> Aber ok, ich merke mir: konjugiert werden keine Vektoren!
>
Jedenfalls nicht, wenn Du Skalarprodukte von Vektoren eines beliebigen Hilbertraumes umformst.
"Konjugieren" ganzer Vektoren eines Hilberraumes $X$ wäre eine Operation, die nicht zur Hilbertraumstruktur von $X$ gehört.
> > [mm]\blue{\big\langle} x-\sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i\mid x-\sum_{i\in J}\langle x|e_i\rangle e_j \blue{\big\rangle}=\blue{\langle} x| x\blue{\rangle}-\sum_{i\in I}\sum_{j\in I}\blue{\big\langle}\langle x|e_i\rangle e_i\mid \langle x| e_j\rangle e_j\blue{\big\rangle}=\blue{\langle} x| x\blue{\rangle} - \sum_{i\in I}\sum_{j\in I}\langle x|e_i\rangle \overline{\langle x|e_j \rangle}\blue{\langle}e_i|e_j\blue{\rangle}=\blue{||}x\blue{||}^2-\sum_{i\in I}|\langle x| e_i\rangle|^2[/mm]
>
> Wieso gilt denn das erste Gleichheitszeichen? Ich hatte da
> etwas im Kopf von wegen "jedes mit jedem", und du nimmst
> hier ja nur das x mit sich selbst und die beiden Summen
> zusammen, aber muss nicht jedes x noch mit der "anderen
> Summe" auch betrachtet werden? Das ist wahrscheinlich der
> Teil, der sich dann wegkürzt, aber genau dieser Teil war
> mein Problem!
Es ist einfacher, als Du denkst. Ich schreibe diese erste Umformung nochmals, aber mit einer Zwischenstufe: wie ich geschrieben hatte, ziehe ich zuerst die Summe [mm] $\sum_{i\in I}$ [/mm] des ersten Arguments des Skalarproduktes heraus, dann die Summe [mm] $\sum_{j\in I}$ [/mm] des zweite Arguments des Skalarproduktes:
[mm]\blue{\big\langle} x-\sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i\mid x-\sum_{i\in J}\langle x|e_i\rangle e_j \blue{\big\rangle}
=\blue{\langle} x| x\blue{\rangle}-\sum_{i\in I}\blue{\big\langle}\langle x|e_i\rangle e_i\mid \sum_{j\in I}\langle x| e_j\rangle e_j\blue{\big\rangle}
=\blue{\langle} x| x\blue{\rangle}-\sum_{i\in I}\sum_{j\in I}\blue{\big\langle}\langle x|e_i\rangle e_i\mid \langle x| e_j\rangle e_j\blue{\big\rangle}
[/mm]
Der Summand dieser Doppelsumme [mm] $\sum_{i\in I}\sum_{j\in I}$ [/mm] reduziert sich dann, wegen der Eigenschaften des Skalarproduktes und der Orthonormiertheit der Hilbertbasis [mm] $e_i$, [/mm] zu [mm] $|\langle x|e_i\rangle|^2$
[/mm]
Nachtrag (Revision 1): Du hast Recht, ich habe diese Umformung zu einfach gemacht. Nun bin ich einen Moment selbst verwirrt, ich werde nochmals in Ruhe darüber nachdenken müssen - sorry.
Nachtrag (Revision 2): Uff, nun habe ich es (glaube ich) auf die Reihe gekriegt. Nur muss ich den Müll nun noch eintippen (keine Kleinigkeit). Hier ist die detailierte Umformung:
[mm]\begin{array}{lcll}
\blue{\big\langle} x-\sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i\mid x-\sum_{j\in J}\langle x|e_j\rangle e_j \blue{\big\rangle}
&=& \blue{\big\langle} x\mid x-\sum_{j\in J}\langle x|e_j\rangle e_j \blue{\big\rangle} - \blue{\big\langle} \sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i\mid x-\sum_{j\in J}\langle x|e_j\rangle e_j \blue{\big\rangle}\\[.3cm]
&=& \blue{\langle}x|x\blue{\rangle} - \blue{\big\langle}x\mid \sum_{j\in J}\langle x|e_j\rangle e_j \blue{\big\rangle} - \blue{\big\langle} \sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i\mid x\blue{\big\rangle}+\blue{\big\langle} \sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle e_i\mid \sum_{j\in J}\langle x|e_j\rangle e_j \blue{\big\rangle}\\[.3cm]
&=& \blue{\langle}x|x\blue{\rangle} - \sum_{j\in J}\blue{\big\langle}x\mid \langle x|e_j\rangle e_j \blue{\big\rangle} - \sum_{i\in I}\blue{\big\langle} \langle x|e_i\rangle e_i\mid x\blue{\big\rangle}+\sum_{i\in I}\sum_{j\in I}\blue{\big\langle} \langle x|e_i\rangle e_i\mid \langle x|e_j\rangle e_j \blue{\big\rangle}\\[.3cm]
&=& \blue{\langle}x|x\blue{\rangle} - \sum_{j\in J}\overline{\langle x|e_j\rangle}\blue{\langle}x\mid e_j \blue{\big\rangle} - \sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle\blue{\langle} e_i\mid x\blue{\rangle}+\sum_{i\in I}\sum_{j\in I}\blue{\big\langle} \langle x|e_i\rangle e_i\mid \langle x|e_j\rangle e_j \blue{\big\rangle}\\[.3cm]
&=& \blue{\langle}x|x\blue{\rangle} - \sum_{j\in J}|\langle x|e_j\rangle|^2 - \sum_{i\in I}\langle x|e_i\rangle\overline{\blue{\langle} x\mid e_i \blue{\rangle}}+\sum_{i\in I}\sum_{j\in I}\langle x|e_i\rangle \overline{\langle x|e_j\rangle}\blue{\langle} e_i\mid e_j \blue{\rangle}\\[.3cm]
&=& \blue{\langle}x|x\blue{\rangle} - \sum_{j\in J}|\langle x|e_j\rangle|^2 - \sum_{i\in I}|\langle x|e_i\rangle|^2+\sum_{i\in I} |\langle x|e_i\rangle|^2\\[.3cm]
&=& \blue{\langle}x|x\blue{\rangle} - \sum_{j\in J}|\langle x|e_j\rangle|^2
\end{array}[/mm]
(Ich hoffe nur, das LaTeX-System kann dies in nützlicher Frist in ein Rasterbild umwandeln...
>
> > Vielleicht schaust Du nochmals in Ruhe nach, welche
> > Eigenschaften das Skalarprodukt bei Hilberträumen (per
> > Definition) haben muss.
>
> Ist das denn bei Hilberträumen anders als "normal"? Hatte
> verzweifelt nach den "Auflösungsregeln" für das
> Skalarprodukt gesucht, wenn ich in beiden Komponenten eine
> Summe stehen habe. Eigentlich kann ich das ja schrittweise
> erst die erste Komponente und dann die zweite machen, aber
> dann kam da das Obige bei mir raus.
>
> > > Was kann ich da dann weiter vereinfachen? Und warum gilt
> > > [mm]$\langle e_i|x\rangle=\langle\overline{x|e_i}\rangle?[/mm]
>
> >
> > Gilt praktisch definitionsgemäss, d.h. es ist eine
> > Eigenschaft des Skalarproduktes von komplexen Vektorräumen.
> > Das komplexe Skalarprodukt hat, anstelle der Symmetrie des
> > reellen Skalarproduktes [mm]\langle x|y\rangle = \langle y| x\rangle[/mm]
> > die Eigenschaft der sogenannten "hermiteschen Symmetrie":
> > [mm]\langle x|y\rangle = \overline{\langle y|x\rangle}[/mm].
>
> Stimmt, das muss ich auch noch irgendwo stehen haben. Aber
> kann man es sich nicht auch so denken (fiel mir erst später
> ein): wenn ich das [mm]e_i[/mm] aus der ersten Komponente in die
> zweite packe, muss es konjugiert werden,
Nein, [mm] $e_i$ [/mm] muss eben nicht konjugiert werden (ist wie gesagt ein Vektor, nicht ein Skalar). Was beim Vertauschen der Argumente des Skalarproduktes gemacht werden muss ist, den Wert des Skalarproduktes (im Unterschied zu $x$ ein Skalar!) zu konjugieren.
> ebenso, wenn ich
> das [mm]x[/mm] aus der zweiten in die erste tue. Und somit steht
> dann da auch [mm]\langle\overline{x|e_i}\rangle[/mm], oder?
Beinahe, man kann leider nicht direkt sehen, wie Dein LaTeX Code hier aussah. Effektiv hast Du overline (also die Konjugation) innerhalb von langle und rangle (also innerhalb des Skalarproduktes) geschrieben: dies scheint zu bedeuten, dass Du noch immer nicht genügend klar siehst, dass, was konjugiert werden muss, der Wert des Skalarproduktes ist. Also [mm] $\langle e_i|x\rangle=\overline{\langle x|e_i\rangle}$, [/mm] aber nicht [mm] $=\langle\overline{x}|e_i\rangle$, [/mm] oder [mm] $=\langle [/mm] x [mm] |\overline{e}_i\rangle$ [/mm] und auch nicht [mm] $\langle\overline{x}|\overline{e}_i \rangle$.
[/mm]
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
