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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit dem Lemma von Zorn, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis hat. |
Hallo und schönen Abend,
Wäre jemand so nett und würde mal über nachstehenden Beweis kurz drüberschauen... Ist prinzipiell nicht so schwer, aber ich bin mir nicht sicher , ob die Argumentation absolut ausreichend ist.
Behauptung: Jeder Hilbertraum hat eine Orthonormalbasis.
Bew.:
Sei X die Menge aller Orthonormalen Teilmengen von H , wobei H .. Hilbertraum.
$ \Rightarrow X \neq \emptyset$ - klar , weil $ { \frac{x}{||x||} \in X \forall x \in X \backslash \{0\} $.
Nehmen wir eine Kette ( also eine totalgeordnete Menge) $ \{ A_{\xi}\}_{\xi \in B}$ in X . Somit gilt ja \forall \xi , \zeta \in B : A_{\xi} \subset A_{\zeta}. Wählen wir A_{0} := \bigcup_{\xi \in B} A_{\xi} folgt , dass A_{0} \supset S_{\xi} \forall \xi \in B. Nun müssen wir uns noch überlegen, dass A_{0} orthonormal ist aber dies folgt rasch als Vereinigung der A_{\xi}. Somit ist nun A_{0} obere Schranke von \{A_{\xi}\}_{\xi \in B}.
Nun hilft uns die Existenz maximaler Elemente nach dem Lemma von Zorn in H . Somit wäre die Existenz einer Orthonormalbasis gezeigt.
Habt ihr irgendwelche Einwäde / Vorschläge ?
Mit Dank und besten Grüßen
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mi 06.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Zeigen Sie mit dem Lemma von Zorn, dass jeder Hilbertraum
> eine Orthonormalbasis hat.
> Hallo und schönen Abend,
>
> Wäre jemand so nett und würde mal über nachstehenden
> Beweis kurz drüberschauen... Ist prinzipiell nicht so
> schwer, aber ich bin mir nicht sicher , ob die
> Argumentation absolut ausreichend ist.
>
> Behauptung: Jeder Hilbertraum hat eine Orthonormalbasis.
> Bew.:
>
> Sei X die Menge aller Orthonormalen Teilmengen von H ,
> wobei H .. Hilbertraum.
> [mm]\Rightarrow X \neq \emptyset[/mm] - klar , weil [mm]{ \frac{x}{||x||} \in X \forall x \in X \backslash \{0\} [/mm].
Du meinst vermutlich $H [mm] \backslash \{0\}$; [/mm] und strenggenommen [mm] $\{\frac{x}{||x||}\}\in [/mm] X$. Kann der Fall $H= 0$ nicht eintreten? Sonst muss der auch noch behandelt werden.
>
> Nehmen wir eine Kette ( also eine totalgeordnete Menge) [mm]\{ A_{\xi}\}_{\xi \in B}[/mm]
Wo kommt denn ploetzlich das $B$ und die Indizierung her?
> in X . Somit gilt ja [mm]\forall \xi[/mm] , [mm]\zeta \in[/mm] B : [mm]A_{\xi} \subset A_{\zeta}.[/mm]
Wohl kaum; eher [mm] $A_{\xi} \subseteq A_{\zeta}$ [/mm] oder [mm] $A_{\zeta} \subseteq A_{\xi}$.
[/mm]
> Wählen wir [mm]A_{0}[/mm] := [mm]\bigcup_{\xi \in B} A_{\xi}[/mm] folgt ,
> dass [mm]A_{0} \supset S_{\xi} \forall \xi \in[/mm] B. Nun
[mm] $S_{\xi}$? [/mm] Uebrigens: Was ist eigentlich los, wenn die Kette leer ist? Leere Ketten haben jedes Element aus $X$ als obere Schranke; deshalb muss [mm] $X\neq \emptyset$ [/mm] sein.
> müssen
> wir uns noch überlegen, dass [mm]A_{0}[/mm] orthonormal ist aber
> dies folgt rasch als Vereinigung der [mm]A_{\xi}.[/mm] Somit ist
> nun [mm]A_{0}[/mm] obere Schranke von [mm]\{A_{\xi}\}_{\xi \in B}.[/mm]
> Nun hilft uns die Existenz maximaler Elemente nach dem
> Lemma von Zorn in H . Somit wäre die Existenz einer
> Orthonormalbasis gezeigt.
Hier jetzt einmal ein wichtiger Einwand: Du hast nur gezeigt, dass $X$ ein maximales Element enthaelt, aber ist es auch eine Basis von $H$? Ist es natuerlich, ist aber nicht ganz offensichtlich.
>
>
> Habt ihr irgendwelche Einwäde / Vorschläge ?
>
> Mit Dank und besten Grüßen
>
> Thomas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mi 06.11.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> > Zeigen Sie mit dem Lemma von Zorn, dass jeder Hilbertraum
> > eine Orthonormalbasis hat.
> > Hallo und schönen Abend,
> >
> > Wäre jemand so nett und würde mal über nachstehenden
> > Beweis kurz drüberschauen... Ist prinzipiell nicht so
> > schwer, aber ich bin mir nicht sicher , ob die
> > Argumentation absolut ausreichend ist.
> >
> > Behauptung: Jeder Hilbertraum hat eine Orthonormalbasis.
> > Bew.:
> >
> > Sei X die Menge aller Orthonormalen Teilmengen von H ,
> > wobei H .. Hilbertraum.
> > [mm]\Rightarrow X \neq \emptyset[/mm] - klar , weil [mm]{ \frac{x}{||x||} \in X \forall x \in X \backslash \{0\} [/mm].
>
> Du meinst vermutlich [mm]H \backslash \{0\}[/mm]; und strenggenommen
> [mm]\{\frac{x}{||x||}\}\in X[/mm]. Kann der Fall [mm]H= 0[/mm] nicht
> eintreten? Sonst muss der auch noch behandelt werden.
Ja davon ausgegangen ,dass der Raum nicht trivial ist. Ja hier sollte H [mm] \backslash [/mm] {0} stehen.
>
> >
> > Nehmen wir eine Kette ( also eine totalgeordnete Menge) [mm]\{ A_{\xi}\}_{\xi \in B}[/mm]
> Wo kommt denn ploetzlich das [mm]B[/mm] und die Indizierung her?
>
> > in X . Somit gilt ja [mm]\forall \xi[/mm] , [mm]\zeta \in[/mm] B : [mm]A_{\xi} \subset A_{\zeta}.[/mm]
> Wohl kaum; eher [mm]A_{\xi} \subseteq A_{\zeta}[/mm] oder [mm]A_{\zeta} \subseteq A_{\xi}[/mm].
ja , klar [mm]A_{\zeta} \subseteq A_{\xi}[/mm] kann auch zutreffen.
>
> > Wählen wir [mm]A_{0}[/mm] := [mm]\bigcup_{\xi \in B} A_{\xi}[/mm] folgt ,
> > dass [mm]A_{0} \supset S_{\xi} \forall \xi \in[/mm] B. Nun
> [mm]S_{\xi}[/mm]?
[mm]A_{\xi}[/mm] natürlich - ein Tippfehler.
>Uebrigens: Was ist eigentlich los, wenn die Kette
> leer ist? Leere Ketten haben jedes Element aus [mm]X[/mm] als obere
> Schranke; deshalb muss [mm]X\neq \emptyset[/mm] sein.
Da hast du recht - diese Forderung an die Kette sollte erwähnt werden.
> > müssen
> > wir uns noch überlegen, dass [mm]A_{0}[/mm] orthonormal ist aber
> > dies folgt rasch als Vereinigung der [mm]A_{\xi}.[/mm] Somit ist
> > nun [mm]A_{0}[/mm] obere Schranke von [mm]\{A_{\xi}\}_{\xi \in B}.[/mm]
> > Nun hilft uns die Existenz maximaler Elemente nach dem
> > Lemma von Zorn in H . Somit wäre die Existenz einer
> > Orthonormalbasis gezeigt.
> Hier jetzt einmal ein wichtiger Einwand: Du hast nur
> gezeigt, dass [mm]X[/mm] ein maximales Element enthaelt, aber ist es
> auch eine Basis von [mm]H[/mm]? Ist es natuerlich, ist aber nicht
> ganz offensichtlich.
> >
> >
> > Habt ihr irgendwelche Einwäde / Vorschläge ?
> >
> > Mit Dank und besten Grüßen
> >
> > Thomas
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Na gut zum letzten Punkt : Ich habe bis jetzt gezeigt , dass X ein max Element hat - es ist fraglich ob dies Orthnonormalbasis von H ist.
Wir wissen dass für jede Teilmenge X von H gilt : [mm] X^{\perp}= span(X)^{\perp} [/mm] , aufgrund der Wahl von X folgt damit folgt doch schon die Behauptung oder ?
Beste Grüße
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Do 07.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Na gut zum letzten Punkt : Ich habe bis jetzt gezeigt ,
> dass X ein max Element hat - es ist fraglich ob dies
> Orthnonormalbasis von H ist.
>
> Wir wissen dass für jede Teilmenge X von H gilt :
> [mm]X^{\perp}= span(X)^{\perp}[/mm] , aufgrund der Wahl von X folgt
> damit folgt doch schon die Behauptung oder ?
Hallo Thomas,
was Du bisher gezeigt hast, ist:
jeder Innenproduktraum $H [mm] \ne \{0\}$ [/mm] besitzt maximale Orthonormalsysteme.
Die Vollständigkeit von H hast Du noch nicht verwendet !
Es gilt der
Satz: Sei H ein Hilbertraum und X ein Orthonormalsystem in H. Dann:
X ist eine Othonormalbasis in H [mm] \gdw [/mm] X ist maximal.
Wenn Ihr diesen Satz hattet, bist Du fertig. Wenn nicht, so solltest Du diesen Satz beweisen.
Gruß FRED
>
> Beste Grüße
> Thomas
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Hallo FRED,
Danke für deine Antwort.
Wir hatten diesen Satz schon ,somit ist das Beispiel erledigt ( aber der Beweis dazu wäre interessant.)
Müsste ich hier folgendes zeigen:
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] H gilt [mm] \langle a,b \rangle = 0 \forall b \in X \Rightarrow a=0[/mm] ?
Beste Grüße
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Do 07.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> Danke für deine Antwort.
>
> Wir hatten diesen Satz schon ,somit ist das Beispiel
> erledigt
Welches Beispiel ?
> ( aber der Beweis dazu wäre interessant.)
Ich denke , Ihr hattet den obigen Satz ? Wurde der Satz nicht bewiesen ?
Wenn Ihr keinen Beweis hattet, so findest Du den Bewei in jedem Buch zur Funktionalanalysis.
>
> Müsste ich hier folgendes zeigen:
>
> [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] H gilt [mm]\langle a,b \rangle = 0 \forall b \in X \Rightarrow a=0[/mm]
Ja
FRED
> ?
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> Beste Grüße
> Thomas
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Do 07.11.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
> > Hallo FRED,
> >
> > Danke für deine Antwort.
> >
> > Wir hatten diesen Satz schon ,somit ist das Beispiel
> > erledigt
>
> Welches Beispiel ?
>
>
> > ( aber der Beweis dazu wäre interessant.)
>
> Ich denke , Ihr hattet den obigen Satz ? Wurde der Satz
> nicht bewiesen ?
Er findet sich als Hinweis zur Lösung dieser Aufgabe ( Zeigen Sie , dass jeder Hilbertraum eine ONB hat ) im Anhang der Aufgabensammlung - deswegen habe ich den vorerst gar nicht bemerkt.
>
> Wenn Ihr keinen Beweis hattet, so findest Du den Bewei in
> jedem Buch zur Funktionalanalysis.
>
>
> >
> > Müsste ich hier folgendes zeigen:
> >
> > [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] H gilt [mm]\langle a,b \rangle = 0 \forall b \in X \Rightarrow a=0[/mm]
>
> Ja
Ok danke , ich versuche das einfach mal selber zu machen.
>
> FRED
Lg Thomas
> > ?
> >
> > Beste Grüße
> > Thomas
> >
> >
> >
> >
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> > Na gut zum letzten Punkt : Ich habe bis jetzt gezeigt ,
> > dass X ein max Element hat - es ist fraglich ob dies
> > Orthnonormalbasis von H ist.
> >
> > Wir wissen dass für jede Teilmenge X von H gilt :
> > [mm]X^{\perp}= span(X)^{\perp}[/mm] , aufgrund der Wahl von X folgt
> > damit folgt doch schon die Behauptung oder ?
>
> Hallo Thomas,
>
> was Du bisher gezeigt hast, ist:
>
> jeder Innenproduktraum [mm]H \ne \{0\}[/mm] besitzt maximale
> Orthonormalsysteme.
>
> Die Vollständigkeit von H hast Du noch nicht verwendet !
Hallo FRED,
Ich habe jetzt ein wenig über das Argument mit der Vollständigkeit nachgedacht..
Was bisher gezeigt wurde: X ist maximales Orthonormalsystem in H. Wir müssen noch verifizieren ob X damit ONB ist.
Setzen wir [mm] X = (z_{i})_{i \in \IN} [/mm] und behaupten dass X vollständig ist.
Sei also X vollständig und [mm] x \in H \neq 0[/mm] , wobei [mm] \forall i \in \IN : \langle z_{i} , x \rangle = 0[/mm].
So folgt doch sofort aus der Parsevalschen Gleichung dass x = 0.
insofern : [mm] \forall x \in H : \forall i \in \IN : \langle z_{i} , x \rangle = 0 \Rightarrow x = 0.[/mm]
Nun wäre noch zu überlegen was passiert wenn X nicht vollständig ist.
Ang X ist nicht vollständig [mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] H ,welches die Parsevalsche Gleichung nicht erfüllt. Das ist per Widerspruch relativ leicht zu zeigen. Nun ist aber noch fraglich , ob aus der Vollständigkeit des Hilbertraums auch die Vollständigkeit eines maximalen Orthonormalsystems folgt - wenn das gilt ist das Problem mit der ONB gelöst?
Anmerkung: Ich denke schon, dass ein maximales Orthonormalsystem vollständig ist.
Beste Grüße
Thomas
>
> Es gilt der
>
> Satz: Sei H ein Hilbertraum und X ein Orthonormalsystem in
> H. Dann:
>
> X ist eine Othonormalbasis in H [mm]\gdw[/mm] X ist maximal.
>
> Wenn Ihr diesen Satz hattet, bist Du fertig. Wenn nicht, so
> solltest Du diesen Satz beweisen.
>
> Gruß FRED
> >
> > Beste Grüße
> > Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Mo 11.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Na gut zum letzten Punkt : Ich habe bis jetzt gezeigt ,
> > > dass X ein max Element hat - es ist fraglich ob dies
> > > Orthnonormalbasis von H ist.
> > >
> > > Wir wissen dass für jede Teilmenge X von H gilt :
> > > [mm]X^{\perp}= span(X)^{\perp}[/mm] , aufgrund der Wahl von X folgt
> > > damit folgt doch schon die Behauptung oder ?
> >
> > Hallo Thomas,
> >
> > was Du bisher gezeigt hast, ist:
> >
> > jeder Innenproduktraum [mm]H \ne \{0\}[/mm] besitzt maximale
> > Orthonormalsysteme.
> >
> > Die Vollständigkeit von H hast Du noch nicht verwendet !
> Hallo FRED,
>
> Ich habe jetzt ein wenig über das Argument mit der
> Vollständigkeit nachgedacht..
>
> Was bisher gezeigt wurde: X ist maximales Orthonormalsystem
> in H. Wir müssen noch verifizieren ob X damit ONB ist.
>
> Setzen wir [mm]X = (z_{i})_{i \in \IN}[/mm]
Du kannst doch nicht annehmen, dass X abzählbar ist !
> und behaupten dass X
> vollständig ist.
>
> Sei also X vollständig
Hä ? Das willst Du doch zeigen !
> und [mm]x \in H \neq 0[/mm] , wobei [mm]\forall i \in \IN : \langle z_{i} , x \rangle = 0[/mm].
> So folgt doch sofort aus der Parsevalschen Gleichung dass x
> = 0.
> insofern : [mm]\forall x \in H : \forall i \in \IN : \langle z_{i} , x \rangle = 0 \Rightarrow x = 0.[/mm]
>
> Nun wäre noch zu überlegen was passiert wenn X nicht
> vollständig ist.
>
> Ang X ist nicht vollständig [mm]\Rightarrow \exists[/mm] x [mm]\in[/mm] H
> ,welches die Parsevalsche Gleichung nicht erfüllt. Das ist
> per Widerspruch relativ leicht zu zeigen. Nun ist aber noch
> fraglich , ob aus der Vollständigkeit des Hilbertraums
> auch die Vollständigkeit eines maximalen
> Orthonormalsystems folgt - wenn das gilt ist das Problem
> mit der ONB gelöst?
>
> Anmerkung: Ich denke schon, dass ein maximales
> Orthonormalsystem vollständig ist.
Ja, das ist richtig, wenn ein Hilbertraum zugrunde liegt.
Sei alsu H ein Hilbertraum und X ein maximales ONS in H.
Wir zeigen: X ist eine ONB in H.
nehmen wir uns ein u [mm] \in [/mm] H her, so ist zu zeigen:
[mm] u=\summe_{x \in X}^{}x
[/mm]
Die Vollständigkeit liefert die Konvergenz von [mm] \summe_{x \in X}^{}x.
[/mm]
Setzen wir [mm] z:=\summe_{x \in X}^{}x, [/mm] so müssen wir noch zeigen: z=u
Das folgt aber aus der Tatsache, dass u-z [mm] \perp [/mm] x für alle x [mm] \in [/mm] X und der Maximalität von X
FRED
>
> Beste Grüße
> Thomas
>
> >
> > Es gilt der
> >
> > Satz: Sei H ein Hilbertraum und X ein Orthonormalsystem in
> > H. Dann:
> >
> > X ist eine Othonormalbasis in H [mm]\gdw[/mm] X ist maximal.
> >
> > Wenn Ihr diesen Satz hattet, bist Du fertig. Wenn nicht, so
> > solltest Du diesen Satz beweisen.
> >
> > Gruß FRED
> > >
> > > Beste Grüße
> > > Thomas
> >
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