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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Do 22.05.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | (i) Die komplexwertigen meßbaren Funktionen f(x) mit [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{|f(x)|^2 exp(- x^2) dx} [/mm] < [mm] \infty [/mm] bilden mit dem Skalarprodukt (f,g) = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) \overline{g}(x) exp(- x^2)dx} [/mm] einen komplexen Hilbertraum, wenn man Funktionen, deren Werte sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, identifiziert.
Beweis?
(ii)Zeige: Durch [mm] h_{n}(x):=exp(- x^2) \bruch{d^n}{dx^n}exp(- x^2) [/mm] wird ein Polynom n-ten Grades definiert. Für jedes Polynom p(x) gilt [mm] (h_{n},p)=(-1)^n \integral_{- \infty}^{\infty}{exp(- x^2) p^(n)(x) dx}.
[/mm]
(iii)Berechne [mm] (h_{m},h_{n})! [/mm] |
Hallo liebe Mathefreunde,
ich habe schon wieder eine Aufgabe, die sehr theoretisch ist und an der ich mal wieder voll verzweifel :-(
(i)
Hab mal einige Definitionen nachgeschlagen:
Die Funktion f: I [mm] \to [/mm] IR (mit I = p-dimensionales Intervall) heißt meßbar, wenn es eine Folge von Treppenfunktionen gibt, die fast überall auf I gegen f konvergiert.
Ein Hilbertraum ist ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt.
Aber, diese Definitionen helfen mir irgendwie nicht weiter. Ich weiß nicht wie ich mich an diese Beweise heranwagen kann ... *help*
(ii)
Dass [mm] h_{n}(x):=exp(- x^2) \bruch{d^n}{dx^n}exp(- x^2) [/mm] ein Poly n-ten Grades ist, kann ich doch so zeigen, oder???
z.z.: [mm] (\bruch{d}{dx})^n [/mm] exp(- [mm] x^2) [/mm] ist von der Form p(x) exp(- [mm] x^2), [/mm] wobei p(x) ein Polynomausdruck ist.
D= [mm] \bruch{d}{dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow d^n e^{-x^2} [/mm] = D^(n-1) (D [mm] e^{-x^2})
[/mm]
= D^(n-1) [mm] (p_1(x) e^{-x^2})
[/mm]
= D^(n-2) (D [mm] p_1(x) e^{-x^2})
[/mm]
= D^(n-2) [mm] (p_2(x) e^{-x^2})
[/mm]
...
= [mm] D^0 (p(x)e^{-x^2})
[/mm]
= p(x) [mm] e^{-x^2}
[/mm]
Dies kann man ja dann mit der vollständigen Induktion noch genauer beweisen ne?
Aber ich muss ja dann noch zeigen, dass für jedes Polynom [mm] (h_{n},p) [/mm] gilt ...
Wie soll ich aber von einer Ableitung zu einem Integral kommen????
(iii) Muss ich hier einfach für das p ein [mm] h_{n} [/mm] einsetzen und für das [mm] h_{n} [/mm] ein [mm] h_{m}???
[/mm]
[mm] (h_{m},h_{n}) [/mm] = [mm] (-1)^m \integral_{-\infty}^{\infty}{e^(-x^2) (h_{n}^m dx} [/mm] = [mm] (h_{n} [/mm] von oben einsetzen) = .... und dann?
Wäre für jeden Tip und jede Hilfe sehr dankbar!!!!
Liebe Grüße
Kittycat
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Hallo,
> (i) Die komplexwertigen meßbaren Funktionen f(x) mit
> [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{|f(x)|^2 exp(- x^2) dx}[/mm] <
> [mm]\infty[/mm] bilden mit dem Skalarprodukt (f,g) = [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) \overline{g}(x) exp(- x^2)dx}[/mm]
> einen komplexen Hilbertraum, wenn man Funktionen, deren
> Werte sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden,
> identifiziert.
> Beweis?
>
> (ii)Zeige: Durch [mm]h_{n}(x):=exp(- x^2) \bruch{d^n}{dx^n}exp(- x^2)[/mm]
> wird ein Polynom n-ten Grades definiert. Für jedes Polynom
> p(x) gilt [mm](h_{n},p)=(-1)^n \integral_{- \infty}^{\infty}{exp(- x^2) p^(n)(x) dx}.[/mm]
>
> (iii)Berechne [mm](h_{m},h_{n})![/mm]
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> ich habe schon wieder eine Aufgabe, die sehr theoretisch
> ist und an der ich mal wieder voll verzweifel :-(
>
> (i)
> Hab mal einige Definitionen nachgeschlagen:
>
> Die Funktion f: I [mm]\to[/mm] IR (mit I = p-dimensionales
> Intervall) heißt meßbar, wenn es eine Folge von
> Treppenfunktionen gibt, die fast überall auf I gegen f
> konvergiert.
>
> Ein Hilbertraum ist ein vollständiger Vektorraum mit
> Skalarprodukt.
>
> Aber, diese Definitionen helfen mir irgendwie nicht weiter.
> Ich weiß nicht wie ich mich an diese Beweise heranwagen
> kann ... *help*
>
ich denke, du brauchst nicht bei adam + eva anzufangen (->messbarkeit). zeige, dass das SP wohldefiniert ist (hoelder-ungl. und aehnliches) sowie die SP eigenschaften erfuellt (pos.,symm. etc.-> trivial). etwas trickier ist die vollstaendigkeit. Fuer den [mm] L^2 [/mm] mit nicht-gewichtetem SP ist das standard, vielleicht schaust du mal in diesen beweis rein und kannst das verallgemeinern.
> (ii)
> Dass [mm]h_{n}(x):=exp(- x^2) \bruch{d^n}{dx^n}exp(- x^2)[/mm] ein
> Poly n-ten Grades ist, kann ich doch so zeigen, oder???
meinst du nicht
[mm]h_{n}(x):=exp(+ x^2) \bruch{d^n}{dx^n}exp(- x^2)[/mm]??
Sonst stimmt die aussage doch gar nicht...
>
> z.z.: [mm](\bruch{d}{dx})^n[/mm] exp(- [mm]x^2)[/mm] ist von der Form p(x)
> exp(- [mm]x^2),[/mm] wobei p(x) ein Polynomausdruck ist.
>
> D= [mm]\bruch{d}{dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow d^n e^{-x^2}[/mm] = D^(n-1) (D [mm]e^{-x^2})[/mm]
> = D^(n-1) [mm](p_1(x) e^{-x^2})[/mm]
> = D^(n-2) (D [mm]p_1(x) e^{-x^2})[/mm]
>
> = D^(n-2) [mm](p_2(x) e^{-x^2})[/mm]
> ...
> = [mm]D^0 (p(x)e^{-x^2})[/mm]
> = p(x) [mm]e^{-x^2}[/mm]
>
> Dies kann man ja dann mit der vollständigen Induktion noch
> genauer beweisen ne?
ich denke schon, ja.
> Aber ich muss ja dann noch zeigen, dass für jedes Polynom
> [mm](h_{n},p)[/mm] gilt ...
> Wie soll ich aber von einer Ableitung zu einem Integral
> kommen????
>
steht da wirklich im integral $p(n)$?? Checke das bitte nochmal... Aah, ich verstehe glaube ich: das soll [mm] $p^{(n)}(x)$, [/mm] also die n-te ableitung von p heissen, oder? dann ist das eigentlich nichts anderes als n-fache partielle integration... [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] mal einem polynom geht ja im unendlichen gegen 0, die randterme sind also immer 0.
> (iii) Muss ich hier einfach für das p ein [mm]h_{n}[/mm] einsetzen
> und für das [mm]h_{n}[/mm] ein [mm]h_{m}???[/mm]
>
> [mm](h_{m},h_{n})[/mm] = [mm](-1)^m \integral_{-\infty}^{\infty}{e^(-x^2) (h_{n}^m dx}[/mm]
> = [mm](h_{n}[/mm] von oben einsetzen) = .... und dann?
sehe ich im moment auch noch nicht...
gruss
matthias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Fr 23.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> (i) Die komplexwertigen meßbaren Funktionen f(x) mit
> [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{|f(x)|^2 exp(- x^2) dx}[/mm] <
> [mm]\infty[/mm] bilden mit dem Skalarprodukt (f,g) = [mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) \overline{g}(x) exp(- x^2)dx}[/mm]
> einen komplexen Hilbertraum, wenn man Funktionen, deren
> Werte sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden,
> identifiziert.
> Beweis?
>
> (ii)Zeige: Durch [mm]h_{n}(x):=exp(\red{+} x^2) \bruch{d^n}{dx^n}exp(- x^2)[/mm]
> wird ein Polynom n-ten Grades definiert. Für jedes Polynom
> p(x) gilt [mm](h_{n},p)=(-1)^n \integral_{- \infty}^{\infty}{exp(- x^2) p^{(n)}(x) dx}.[/mm]
>
> (iii)Berechne [mm](h_{m},h_{n})![/mm]
Tipp: die [mm] $h_n$ [/mm] sind bis auf einen Faktor [mm] $(-1)^n$ [/mm] die Hermite-Polynome. Unter diesem Stichwort solltest du nachschlagen, zum Beispiel in ![[]](/images/popup.gif) Abramowitz/Stegun, Kapitel 22.
Zu Teil (iii):
> (iii) Muss ich hier einfach für das p ein [mm]h_{n}[/mm] einsetzen
> und für das [mm]h_{n}[/mm] ein [mm]h_{m}???[/mm]
>
> [mm](h_{m},h_{n})[/mm] = [mm](-1)^m \integral_{-\infty}^{\infty}{e^(-x^2) (h_{n}^m dx}[/mm]
> = [mm](h_{n}[/mm] von oben einsetzen) = .... und dann?
Das Skalarprodukt ist doch symmetrisch, also ist [mm] $(h_m,h_n)=(h_m,h_n)$. [/mm] Deswegen setzt du [mm] $p=h_m$. [/mm] Außerdem kannst du wegen der Symmetrie annehmen, dass [mm] $n\ge [/mm] m$ ist (sonst vertauschst du einfach die beiden Seiten).
Jetzt benutzt du das Ergebnis aus Teil (ii) und die Tatsache, dass [mm] $h_m$ [/mm] ein Polynom vom Grad m ist. Wie sieht denn die n-te Ableitung von [mm] $h_m$ [/mm] aus, wenn $n>m$ ist?
Bleibt noch der Fall n=m. Wie sieht die n-te Ableitung von [mm] $h_m=h_n$ [/mm] aus?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Sa 24.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Rainer, hallo Mathias,
vielen vielen Dank für eure Tips ... hab das jetzt so halb gecheckt und mal was hingeschrieben
Dankeschön
Lg Kittycat
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