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Hilbertraum mit Skalarprodukt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hilbertraum mit Skalarprodukt: Frage zu Beweisidee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:03 Mi 11.12.2013
Autor: clemenum

Aufgabe
Beweisen Sie die folgende, in der Vorlesung behauptete Aussage: In
einem Hilbertraum [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] mit Skalarprodukt [mm] $\langle \cdot [/mm] , [mm] \cdot \rangle$ [/mm] sei ein Orthonormalsystem [mm] $(e_n)_{n\in \mathbb{N}}$ [/mm] gegeben. Dann konvergiert $y := [mm] \sum_{n=1}^{\infty} c_ne_n$ [/mm] für alle [mm] $l^2-$ [/mm] Folgen  [mm] (c_n)_{n\in \mathbb{N}} [/mm] und es gilt [mm] c_n [/mm] = [mm] \langle y,e_n \rangle [/mm]

Ich muss also zeigen: [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2 <\infty \Rightarrow \mathcal{H} \ni [/mm] y= [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \langle y,e_n \rangle e_n [/mm] < [mm] \infty [/mm] $

Hat jemand einen Tipp wie die Umformung gelingen könnte? Ein kleiner Tipp sollte wirklich reichen, mir fehlt nur die Idee. :-)

        
Bezug
Hilbertraum mit Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:08 Do 12.12.2013
Autor: fred97


> Beweisen Sie die folgende, in der Vorlesung behauptete
> Aussage: In
>  einem Hilbertraum [mm]\mathcal{H}[/mm] mit Skalarprodukt [mm]\langle \cdot , \cdot \rangle[/mm]
> sei ein Orthonormalsystem [mm](e_n)_{n\in \mathbb{N}}[/mm] gegeben.
> Dann konvergiert [mm]y := \sum_{n=1}^{\infty} c_ne_n[/mm] für alle
> [mm]l^2-[/mm] Folgen  [mm](c_n)_{n\in \mathbb{N}}[/mm] und es gilt [mm]c_n[/mm] =
> [mm]\langle y,e_n \rangle[/mm]
>  Ich muss also zeigen:
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2 <\infty \Rightarrow \mathcal{H} \ni y= \sum_{n=1}^{\infty} \langle y,e_n \rangle e_n < \infty[/mm]
>  
> Hat jemand einen Tipp wie die Umformung gelingen könnte?
> Ein kleiner Tipp sollte wirklich reichen, mir fehlt nur die
> Idee. :-)  


Ist [mm] (c_n) \in l^2, [/mm] so setze

  $ [mm] s_n [/mm] := [mm] \sum_{k=1}^{n} c_ke_k [/mm] $

und zeige, dass [mm] (s_n) [/mm] eine Cauchyfolge in  $ [mm] \mathcal{H} [/mm] $ ist. Dazu betrachte

    [mm] ||s_n-s_m||^2. [/mm]

FRED

Bezug
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