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Forum "Algebraische Geometrie" - Hilbertschen Nullstellensatz
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Hilbertschen Nullstellensatz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:54 Mi 25.04.2018
Autor: noglue

Aufgabe
Sei K ein Körper und K[x] der zugehörige Polynomring in einer Variablen. Zeige

K ist algebraisch abgeschlossen [mm] \gdw \forall [/mm] I [mm] \vartriangleleft [/mm] K[x]: [mm] \wurzel{I}=I(V(I)) [/mm]


Hallo zusammen,

[mm] "\Rightarrow" [/mm] könnte man aus dem Hilbertschen Nustellensatz folgern, nur sollen wir den Beweis ohne diesen Satz führen.
Außerdem darf angenommen werden, dass K[x] ein Hauptidealring ist.
Sei K algebraisch abgeschlossen. Da K[x] HIR [mm] \Rightarrow [/mm] Jedes Ideal I ist Hauptideal (HI), also auch [mm] \wurzel{I} [/mm] d.h. erzeugt von einem Polynom f.

Ist es soweit richtig? Kann mir da jemand weiterhelfen?
Dankeschön im Voraus.

        
Bezug
Hilbertschen Nullstellensatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Fr 27.04.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Hilbertschen Nullstellensatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:28 Fr 04.05.2018
Autor: felixf

Moin

> Sei K ein Körper und K[x] der zugehörige Polynomring in
> einer Variablen. Zeige
>  
> K ist algebraisch abgeschlossen [mm]\gdw \forall[/mm] I
> [mm]\vartriangleleft[/mm] K[x]: [mm]\wurzel{I}=I(V(I))[/mm]
>  
> Hallo zusammen,
>  
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] könnte man aus dem Hilbertschen
> Nustellensatz folgern, nur sollen wir den Beweis ohne
> diesen Satz führen.
> Außerdem darf angenommen werden, dass K[x] ein
> Hauptidealring ist.
> Sei K algebraisch abgeschlossen. Da K[x] HIR [mm]\Rightarrow[/mm]
> Jedes Ideal I ist Hauptideal (HI), also auch [mm]\wurzel{I}[/mm]
> d.h. erzeugt von einem Polynom f.
>  
> Ist es soweit richtig? Kann mir da jemand weiterhelfen?

Das ist soweit richtig. Einfacher ist es aber vermutlich, von $I = [mm] \langle [/mm] f [mm] \rangle$ [/mm] auszugehen. Da $K$ alg. abg. ist, kann man $f = [mm] \alpha \prod_{i=1}^n [/mm] (x - [mm] a_i)^{e_i}$ [/mm] schreiben mit [mm] $a_i \neq a_j$ [/mm] für $i [mm] \neq [/mm] j$ und [mm] $e_i \ge [/mm] 1$.

Zeige: $V(I) = [mm] \{ a_1, \dots, a_n \}$, [/mm] $I(V(I)) = [mm] \langle \prod_{i=1}^n [/mm] (x - [mm] a_i) \rangle$ [/mm] und [mm] $\sqrt{I} [/mm] = [mm] \langle \prod_{i=1}^n [/mm] (x - [mm] a_i) \rangle$. [/mm] Und schon bist du mit dieser Richtung fertig.


Für die andere Richtung nimm ein irreduzibles Polynom $f [mm] \in [/mm] K[x]$ und betrachte $I = [mm] \langle [/mm] f [mm] \rangle$. [/mm] Was gibt es für Möglichkeiten für $V(I)$?

LG Felix


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