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Hilfe!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 So 14.12.2003
Autor: Brot

Hi ich hoffe ihr könnt mich nochma retten. Schreib am Dienstag Klausur und hab keinen Plan von nix. Net weil ich faul bin, sondern weil ich irgendwie den Durchblick net so richitg finden kann. Zwar kann ich die Grundlagen (Ziehen mit und ohne Zurücklegen, mit und ohne Reihenfolge) aber bei weiterführenden Aufgaben..... :(

Wäre nett, wenn ihr mir helfen könnten und ich hab auch ne Beispiel-Aufgabe (aus der letzten Klausur):

Bei einer Lieferung kommen 80 Taschenrechner an, von denen erfahrungsgem. durschn. 4 kaputt sind. Es wird eine Stichprobe von 6 Stück entnommen und geprüft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man

   a) keine Kaputtenen
   b) genau 2 Kaputtene
   c) höchstens 5 kaputte Taschenrechner

Wär echt supernett wenn ihr mir das verklickern könntet :)

        
Bezug
Hilfe!: Hypergeometrische Verteilung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 So 14.12.2003
Autor: Marc

Hallo Brot,

willkommen im MatheRaum :-)!

> Hi ich hoffe ihr könnt mich nochma retten. Schreib am Dienstag

Wieso nochmal? Warst du bereits angemeldet hier?

> Bei einer Lieferung kommen 80 Taschenrechner an, von denen
> erfahrungsgem. durschn. 4 kaputt sind. Es wird eine Stichprobe
> von 6 Stück entnommen und geprüft. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit erhält man
>
>    a) keine Kaputtenen
>    b) genau 2 Kaputtene
>    c) höchstens 5 kaputte Taschenrechner

Allgemein handelt es sich hier um folgenden Zufallsversuch:
In einer Urne liegen S schwarzen und W weiße Kugeln, also insgesamt S+W=:N Stück.

Nun werden n Kugeln (ohne zurücklegen) gezogen.

Gefragt ist nun nach der Wahrscheinlichkeit, dass unter den n gezogenen Kugeln genau s schwarzen (und damit w:=n-s weiße) Kugeln sind.

Ich kenne diese Verteilung unter dem Namen Hypergeometrische Verteilung, aber ich habe schon andere dafür gehört (an die ich mich jetzt aber nicht erinnern kann :-))

Die gesucht W'keit berechnet sich so:

[mm] h(s; n, N, S) := \frac{{S \choose s}{W\choose w}}{{S+W \choose s+w}} [/mm]
(klicke auf die Formel für eine Vergrößerung)

Jetzt mußt du nur noch die richtigen Parameter für deine spezielle Aufgabe wählen, und du bist fertig:

Ich wende das Modell so an: Die schwarzen Kugeln sind kaputte Taschenrechner, die weißen die funktionierenden.
Damit ist S=4, W=76 und N = S+W = 80.

Gezogen werden in allen drei Unteraufgaben n=6 Kugeln/Taschenrechner.

ad a)
Hier sollen keine kaputten TR=schwarze Kugel gezogen werden, also ist s=0 (und damit w=6):
h(0; 6, 80, 4) = ?

ad b)
Genau zwei kaputte TR = genau zwei schwarze Kugeln
Also s = 2 und w = 4:
h(2; 6, 80, 4) = ?

ad c)
Hier muß man ein wenig mehr überlegen.
Höchstens 5 kaputte TR bedeutet mit anderen mathematischen Worten:
0 kaputte TR oder 1 kaputten TR oder 2 kaputte TR oder ... oder 5 kaputte TR.

Also ist hier die Summe folgender Einzelwahrscheinlichkeiten zu berechnen:
h(0; 6, 80, 4)+h(1; 6, 80, 4)+h(2; 6, 80, 4)
+h(3; 6, 80, 4)+h(4; 6, 80, 4)+h(5; 6, 80, 4) = ?

Geschickter ist es aber, diese Summe über die W'keit des Gegenereignisses zu berechnen: Das Gegenereignis ist ja, genau 6 TR zu ziehen; subtrahieren wir diese W'keit von 1, erhalten wir ebenfalls obige Summe. Anders aufgeschrieben:

h(0; 6, 80, 4)+h(1; 6, 80, 4)+h(2; 6, 80, 4)
+h(3; 6, 80, 4)+h(4; 6, 80, 4)+h(5; 6, 80, 4)+h(6; 6, 80, 4) = 1
<=>
h(0; 6, 80, 4)+h(1; 6, 80, 4)+h(2; 6, 80, 4)
+h(3; 6, 80, 4)+h(4; 6, 80, 4)+h(5; 6, 80, 4) = 1-h(6; 6, 80, 4)

Falls noch etwas unklar geblieben sein sollte, melde dich bitte wieder.
Ein gute Übung wäre doch jetzt, mal die genauen W'keiten auszurechnen, oder? Wir kontrollieren dann auch gerne deine Ergebnisse (bitte mit Zwischenschritten posten).

Viel Erfolg schon mal für deine Klausur,
Marc


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Hilfe!: mkay
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Mo 15.12.2003
Autor: Brot

MMMMMKAY also nehm ich ma an das geht so:

a)
[mm] h(0; 6, 76, 4) := \frac{{4 \choose 0}{76\choose 6}}{{80 \choose 6}} [/mm]

[mm] = \frac{{1} * {218518940}}{300500200}}[/mm] = 0,7275167......

--> also ca. 73%

stimmts oder hab ichs immer noch net?



P.S.:kanns sein, das du n Pascaler bist?

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Hilfe!: mkay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Mo 15.12.2003
Autor: Marc

Hallo Brot,

ich rechne es mal nach, übrigens auf eine Art und Weise, so dass nicht so große Zahlen entstehen:

[mm]h(0;6,76,4):=\frac{{4 \choose 0}{76 \choose 6}}{{80 \choose 6}}[/mm]
[mm]=[/mm][mm]\frac{\frac{4!}{0!*4!}{\frac{76!}{6!*70!}}}{\frac{80!}{6!*74!}}[/mm]
[mm]=[/mm][mm]\frac{4!}{0!*4!}{\frac{76!}{6!*70!}}\frac{6!*74!}{80!}[/mm]
[mm]=[/mm][mm]1*{\frac{76!}{6!*70!}}\frac{6!*74!}{80!}[/mm]
[mm]=[/mm][mm]{\frac{70!*71*72*73*74*75*76}{6!*70!}}\frac{6!*74!}{74!*75*76*77*78*79*80}[/mm]
[mm]=[/mm][mm]{\frac{71*72*73*74*75*76}{6!}}\frac{6!}{75*76*77*78*79*80}[/mm]
[mm]=[/mm][mm]{\frac{71*72*73*74*75*76}{1}}\frac{1}{75*76*77*78*79*80}[/mm]
[mm]=[/mm][mm]\frac{71*72*73*74}{77*78*79*80}[/mm]
[mm]=[/mm][mm]\frac{71*36*73*37}{77*39*79*40}[/mm]
[mm]=[/mm][mm]\frac{71*9*73*37}{77*39*79*10}[/mm]
[mm]=[/mm][mm]\frac{1725939}{2372370}[/mm]
[mm]\approx[/mm][mm]0{,}7275[/mm]

Mit anderen Worten: Dein Ergebnis stimmt!

Wie sieht es mit den anderen W'keiten aus?

Alles Gute,
Marc.

P.S.: Falls du mit "Pascaler" die Programmiersprache meinst: Ja, ich war mal einer, jetzt bin ich aber begeisterter und überzeugter Pythoniker :-).
Wie kommst du denn darauf?


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Hilfe!: mkay
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Mo 15.12.2003
Autor: Brot

Die anderen Wertigkeiten :

b) 2,55%
c) gibt mein Taschenrechner auf :)


Das mit Pascal sieht ma am := , das is so typisch

Bin eher so C++, aber auch nur weil ich das als LK in der Schule hab.

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Hilfe!: mkay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:45 Mo 15.12.2003
Autor: Marc

Hallo Brot,

> b) 2,55%

Überprüfe ich (oder jemand anderes) später, habe jetzt keine Zeit mehr.

> c) gibt mein Taschenrechner auf :)

Dann versuche es doch mal auf die Art und Weise, wie ich dein vorheriges Ergebnis überprüft habe, indem du die Definition der Binomialkoeffizienten ausnutzt und kräftig kürzt. Dann klappt's auch mit dem Taschenrechner.

> Das mit Pascal sieht ma am := , das is so typisch

OK, stimmt, aber dieses Zeichen ist auch in der Mathematik üblich und bedeutet "definiert als".

> Bin eher so C++, aber auch nur weil ich das als LK in der
> Schule hab.

C++ ist auch nett, jedenfalls gefällt es mir tausend Mal besser als Pascal (und alle kranken Abkömmlinge, wie z.B. Delphi).
Da Python sehr an C++ angelehnt ist (im Unterschied zu C++ aber eine interpretierte Sprache ist) wird es dir sicher auch gefallen ;-)

Alles Gute,
Marc


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Hilfe!: mkay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Mo 15.12.2003
Autor: Marc

Hallo Brot,

> > b) 2,55%

[mm] h(2; 6, 80, 4) = \frac{{4\choose 2}{76\choose 4}}{{80\choose 6}}[/mm]
[mm]=\frac{\frac{4!}{2!*2!}\frac{76!}{4!*72!}}{\frac{80!}{6!*74!}}[/mm]
[mm]=\frac{4!}{2!*2!}\frac{76!}{4!*72!}\frac{6!*74!}{80!}[/mm]
[mm]=\frac{4!*76!*6!*74!}{2!*2!*4!*72!*80!}[/mm]
[mm]=\frac{76!*6!*72!*73*74}{2!*2!*72!*80!}[/mm]
[mm]=\frac{76!*6!*73*74}{2!*2!*76!*77*78*79*80}[/mm]
[mm]=\frac{2!*3*4*5*6*73*74}{2!*2!*77*78*79*80}[/mm]
[mm]=\frac{3*4*5*6*73*74}{2*77*78*79*80}[/mm]
[mm]=\frac{3*73*37}{77*26*79*2}[/mm]
[mm]=\frac{8103}{316316}[/mm]
[mm]\approx 0{,}02562=2{,}562\%[/mm]

Es gibt noch eine kleine Diskrepanz zwischen unseren Ergebnissen, aber sie sind ungefähr gleich.

> > c) gibt mein Taschenrechner auf :)
>
> Dann versuche es doch mal auf die Art und Weise, wie ich dein
> vorheriges Ergebnis überprüft habe, indem du die Definition der
> Binomialkoeffizienten ausnutzt und kräftig kürzt. Dann klappt's
> auch mit dem Taschenrechner.

Hast du das jetzt mal versucht?

>
> > Das mit Pascal sieht ma am := , das is so typisch
>
> OK, stimmt, aber dieses Zeichen ist auch in der Mathematik
> üblich und bedeutet "definiert als".
>
> > Bin eher so C++, aber auch nur weil ich das als LK in der
> > Schule hab.

Du hast C++ als Leistungskurs? Wie kann das sein?

Viel Erfolg,
Marc


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Hilfe!: Anderer Lösungsweg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Mo 15.12.2003
Autor: Marc

Hallo Brot,

da fällt mir ein, dass man die Lösungen auch viel direkter berechnen kann, mit elementaren Überlegungen.

ad a)
Ich betrachte wieder ein Urnenmodell mit 80 Kugeln, 4 schwarzen und 76 weißen Kugeln.
Wenn nun keine kaputten TR gezogen werden sollen, entspricht dass doch dem Ziehen ohne Zurücklegen von 6 weißen Kugeln. Die W'keit dafür ist einfach mit der Formel "Anzahl günstige Ergebnisse / Gesamtzahl" zu berechnen:

[mm] p = \frac{76}{80}*\frac{75}{79}*\frac{74}{78}*\frac{73}{77}* \frac{72}{76}*\frac{71}{75} [/mm]

Wie du leicht siehst, ist das genau der Bruch, den ich in meiner Antwort auf deinen ersten Lösungsversuch berechnet habe.

ad b)
Das kann man auch elementar berechnen, ist aber ein bißchen komplizierter. Wenn ihr die hypergeometische Verteilung schon besprochen habt, würde ich es lieber damit machen

ad c)
Das ist ein bißchen einfacher als b), ich würde es aber auch mit der hypergeometischen Verteilung machen.

Alles Gute,
Marc.


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