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Forum "Linear Algebra" - Hilfe: Stabile Verteilung
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Hilfe: Stabile Verteilung: Korrektur, Hilfe
Status: (Question) answered Status 
Date: 20:16 Mo 13/04/2015
Author: Tabs2000

Aufgabe
Bestimmen Sie die stabile Verteilung.

Ich komme bei dem Gleichungssystem einfach nicht weiter. In der Lösung steht, dass ein ein eindeutiges Ergebnis geben muss, aber bei mir geht das so nicht auf...
Vielleicht könnt ihr mir ja helfen und mir bitte sagen, wo mein Fehler beim Auflösen des Gleichungssystem liegt.

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0,05 & 0,3 \\ 0,25 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 90 & 40 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0,05 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0,5 & 0 } [/mm] * [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5} [/mm] = [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5} [/mm]

Also soweit der Ansatz. Nun löst man das Gleichungssystem mit 5 Variablen.

I 0,05 x4 + 0,3 x5 = x1
II 0,25x1 =x2
III 90x1 + 40x2 = x3
IV 0,05x3 = x4
V 0,5x4 = x5

II x2 = 0,25x1
III 90x1 + 40 * 0,25x1 =x3
   = 100x1 =x3
IV 0,05x4 = x3
= 0,05x4 = 100x1
= x4 = 2000 x1

V 0,5 * 2000 x1 - x5 = 0
= 1000x1 = x5

alles in I:

-x1 + 0,05 * 2000 x1 + 0,3 * 1000x1 =0
-x1+100x1+300x1 =0
399x1=0
x1=0 und die anderen Variablen dann auch.

Die Lösung wäre:

v= [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ 400 \\ 20 \\ 10} [/mm]

Ich bin jedem für hilfreiche Antworten dankbar.

Liebe Grüße.




        
Bezug
Hilfe: Stabile Verteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:29 Mo 13/04/2015
Author: chrisno


> Bestimmen Sie die stabile Verteilung.
>  Ich komme bei dem Gleichungssystem einfach nicht weiter.
> In der Lösung steht, dass ein ein eindeutiges Ergebnis
> geben muss, aber bei mir geht das so nicht auf...
>  Vielleicht könnt ihr mir ja helfen und mir bitte sagen,
> wo mein Fehler beim Auflösen des Gleichungssystem liegt.
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0,05 & 0,3 \\ 0,25 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 90 & 40 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0,05 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0,5 & 0 }[/mm]  * [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5}[/mm] = [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5}[/mm]
>  
> Also soweit der Ansatz. Nun löst man das Gleichungssystem
> mit 5 Variablen.
>  
> I 0,05 x4 + 0,3 x5 = x1
>  II 0,25x1 =x2
>  III 90x1 + 40x2 = x3
>  IV 0,05x3 = x4
>  V 0,5x4 = x5

soweit ok

>  
> II x2 = 0,25x1
>  III 90x1 + 40 * 0,25x1 =x3
>     = 100x1 =x3

$40 [mm] \cdot [/mm] 0,25 = 10 [mm] \ne [/mm] 100$

>  IV 0,05x4 = x3

Hier verstehe ich den Anfang schon nicht.


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Bezug
Hilfe: Stabile Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:51 Mo 13/04/2015
Author: Tabs2000

Aber:

90x1 + 40 * 0,25x1 = 100



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Bezug
Hilfe: Stabile Verteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:50 Di 14/04/2015
Author: angela.h.b.


> Aber:
>  
> 90x1 + 40 * 0,25x1 = [mm] 100\red{x_1} [/mm]

Hallo,

das ist richtig.

LG Angela

>
>  


Bezug
                        
Bezug
Hilfe: Stabile Verteilung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 09:00 Di 14/04/2015
Author: chrisno

Du hast recht.

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Bezug
Hilfe: Stabile Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:57 Mo 13/04/2015
Author: Tabs2000

Ich verstehe einfach nicht, wie ich ein Gleichungssystem dieser Art oben lösen kann, wenn nicht in jeder Zeile die gleichen Variablen auftauchen, also es gibt ja Lücken, weil so viele Nullen in der Matrix stehen. Damit komme ich gar nicht klar.  
Wenn in jeder Zeile x1,x2,x3,x4 und x5 vorkämen, könnte ich das auch ohne Probleme, aber wie geht man allgemein vor, wenn in einer Zeile mal nur x1, x3, x5 und in der nächsten jetzt ganz allgemein x2,x4,x5 vorkommen? Ich kann da ja nicht direkt das Additionsverfahren anwenden, weil ich mir dann ja zusätzliche Variablen in einer Zeile einhandeln würde und genau DA liegt mein Problem. Wo setze ich an?
Ich bin jedem so dankbar für Hilfe. Hab nächste Woche Abitur und das ist der größte Knackpunkt gerade...

Bezug
                
Bezug
Hilfe: Stabile Verteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:14 Di 14/04/2015
Author: chrisno


> Ich verstehe einfach nicht, wie ich ein Gleichungssystem
> dieser Art oben lösen kann, wenn nicht in jeder Zeile die
> gleichen Variablen auftauchen, also es gibt ja Lücken,
> weil so viele Nullen in der Matrix stehen. Damit komme ich
> gar nicht klar.  
> Wenn in jeder Zeile x1,x2,x3,x4 und x5 vorkämen, könnte
> ich das auch ohne Probleme, aber wie geht man allgemein
> vor, wenn in einer Zeile mal nur x1, x3, x5 und in der
> nächsten jetzt ganz allgemein x2,x4,x5 vorkommen? Ich kann
> da ja nicht direkt das Additionsverfahren anwenden, weil
> ich mir dann ja zusätzliche Variablen in einer Zeile
> einhandeln würde und genau DA liegt mein Problem. Wo setze
> ich an?
> Ich bin jedem so dankbar für Hilfe. Hab nächste Woche
> Abitur und das ist der größte Knackpunkt gerade...

Eigentlich stellen die vielen Nullen einen Vorteil dar. Du strebst die Dreiecksgestalt an. DU willst also viele Nullen in den ersten Spalten haben. Die hast Du hier geschenkt bekommen.
Die dritte Zeile enthält einen Eintrag bei [mm] $x_2$. [/mm] Die 90 bei [mm] $x_1$ [/mm] kannst Du mit Hilfe der zweiten Zeile entfernen. Nun schaffe die oberste Zeile nach unten. Dann musst Du nur noch diese unterste Zeile bearbeiten.
Du darfst auch Spalten austauschen.


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Bezug
Hilfe: Stabile Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:01 Di 14/04/2015
Author: Tabs2000

Ich verstehe den Weg nicht so ganz, also kann man das doch mit dem Additionsverfahren lösen?

Bezug
                                
Bezug
Hilfe: Stabile Verteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:24 Di 14/04/2015
Author: angela.h.b.


> Ich verstehe den Weg nicht so ganz, also kann man das doch
> mit dem Additionsverfahren lösen?

Hallo,

es gibt verschiedene Möglichkeiten, das LGS zu lösen.
Wichtig ist - gerade wenn man Schwierigkeiten hat -, daß man systematisch arbeitet,
und alle Gleichungen, die man noch benötigen wird, fein säuberlich aufschreibt und mitschleppt.
Macht etwas Mühe, verhindert aber Wirrwarr im Kopf.

Ja, man könnte das LGS mit dem Additionsverfahren lösen:

I 0,05 [mm] x_4 [/mm] + 0,3 [mm] x_5 [/mm] = [mm] x_1 [/mm]
II [mm] 0,25x_1 =x_2 [/mm]
III [mm] 90x_1 [/mm] + [mm] 40x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm]
IV [mm] 0,05x_3 [/mm] = [mm] x_4 [/mm]
V [mm] 0,5x_4 [/mm] = [mm] x_5 [/mm]

Erstmal umschreiben, so daß die  Variablen rechts stehen,
sortiert sind und fein säuberlich untereinanderstehen.


[mm] \vmat{ I&& -1*x_1& &&+0,05 x_4& +0,3 x_5& = 0\\ II&& 0,25x_1& -1*x_2&&&& = 0 \\ III&& 90x_1& + 40x_2& -1*x_3&&& = 0\\ IV &&&&+0,05x_3 &- 1*x_4 &&=0\\ V &&&&& +0,5x_4 &-x_5& =0 } [/mm]

Jetzt die erste Zeile zu anderen Zeilen so addieren,
daß man in II bis V nicht mehr [mm] x_1 [/mm] hat,
also II+0.25*I,
III+90*I:

[mm] \vmat{ I&& -1*x_1& &&+0,05 x_4& +0,3 x_5& = 0\\ II&& & -1*x_2&&0.0125x_4&0.075& = 0 \\ III&& & + 40x_2& -1*x_3&4.5x_4&27x_5& = 0\\ IV &&&&+0,05x_3 &- 1*x_4 &&=0\\ V &&&&& +0,5x_4 &-x_5& =0 } [/mm]

Jetzt die zweite Zeile zu anderen Zeilen so addieren,
daß man in III bis V nicht mehr [mm] x_2 [/mm] hat, also
III+40*II

[mm] \vmat{ I&& -1*x_1& &&+0,05 x_4& +0,3 x_5& = 0\\ II&& & -1*x_2&&0.0125x_4&0.075& = 0 \\ III&& & & -1*x_3&+5x_4&+30x_5& = 0\\ IV &&&&+0,05x_3 &- 1*x_4 &&=0\\ V &&&&& +0,5x_4 &-x_5& =0 } [/mm]

Jetzt die dritte Zeile zu anderen Zeilen so addieren,
daß man in IV bis V nicht mehr [mm] x_3 [/mm] hat, also
IV+0.05*III

[mm] \vmat{ I&& -1*x_1& &&+0,05 x_4& +0,3 x_5& = 0\\ II&& & -1*x_2&&0.0125x_4&0.075& = 0 \\ III&& & & -1*x_3&+5x_4&+30x_5& = 0\\ IV &&&& &- 0.75*x_4 &+1.5x_5&=0\\ V &&&&& +0,5x_4 &-x_5& =0 } [/mm]

Zeile IV durch 0.75 dividieren, damit man besser weiterrechnen kann:

[mm] \vmat{ I&& -1*x_1& &&+0,05 x_4& +0,3 x_5& = 0\\ II&& & -1*x_2&&0.0125x_4&0.075& = 0 \\ III&& & & -1*x_3&+5x_4&+30x_5& = 0\\ IV &&&& &-1*x_4 &+2*x_5&=0\\ V &&&&& +0,5x_4 &-x_5& =0 } [/mm]

Jetzt die vierte Zeile so zur fünften addieren, daß in V kein [mm] x_4 [/mm] mehr ist,
also
V+0.5*IV:

[mm] \vmat{ I&& -1*x_1& &&+0,05 x_4& +0,3 x_5& = 0\\ II&& & -1*x_2&&0.0125x_4&0.075& = 0 \\ III&& & & -1*x_3&+5x_4&+30x_5& = 0\\ IV &&&& &-1*x_4 &+2*x_5&=0\\ V &&&&& && =0 } [/mm]

Wir haben unten eine Nullzeile, können also eine Variable frei wählen.

Nehmen wir

[mm] x_5=1 [/mm]
   bekommen wir aus IV
[mm] x_4=2, [/mm]
   aus III
[mm] x_3=40 [/mm]
   aus II
[mm] x_2=0.1 [/mm]
   aus I
[mm] x_1=0.4 [/mm]

Alle Vielfachen des Vektors [mm] \vec{x}=\vektor{0.4\\0.1\\40\\2\\1} [/mm] sind Lösungen des LGS.

Welchen Vektor man angibt, hängt von der Fragestellung ab,
ich nehme ja an, daß das LGS aus einer Aufgabe mit Text entstanden ist.


Du kannst das LGS aber auch lösen, indem Du durch Einsetzen eine Variable nach der anderen herauswirfst:

I 0,05 [mm] x_4 [/mm] + 0,3 [mm] x_5 [/mm] = [mm] x_1 [/mm]
II [mm] 0,25x_1 =x_2 [/mm]
III [mm] 90x_1 [/mm] + [mm] 40x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm]
IV [mm] 0,05x_3 [/mm] = [mm] x_4 [/mm]
V [mm] 0,5x_4 [/mm] = [mm] x_5 [/mm]

[mm] x_1=0,05 x_4 [/mm] + 0,3 [mm] x_5 [/mm]  in II bis V einsetzen

II 0,25(0,05 [mm] x_4 [/mm] + 0,3 [mm] x_5) =x_2 [/mm] <==> [mm] 0.0125x_4+0.075x_5=x_2 [/mm]
III 90(0,05 [mm] x_4 [/mm] + 0,3 [mm] x_5) [/mm] + [mm] 40x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] <==> [mm] 4.5x_4+27x_5+40x_2=x_3 [/mm]
IV [mm] 0,05x_3 [/mm] = [mm] x_4 [/mm]
V [mm] 0,5x_4 [/mm] = [mm] x_5 [/mm]

[mm] x_2=0.0125x_4+0.075x_5 [/mm] in III bis V einsetzen:

III [mm] 4.5x_4+27x_5+40(0.0125x_4+0.075x_5 )=x_3 [/mm] <==> [mm] 5x_4+30x_5=x_3 [/mm]
IV [mm] 0,05x_3 [/mm] = [mm] x_4 [/mm]
V [mm] 0,5x_4 [/mm] = [mm] x_5 [/mm]

[mm] x_3=5x_4+30x_5 [/mm] in IV bis V einsetzen:

IV [mm] 0,05(5x_4+30x_5) [/mm] = [mm] x_4 [/mm] <==>  [mm] -0.75x_4+1.5x_5 [/mm] <==> [mm] 2x_5=x_4 [/mm]
V [mm] 0,5x_4 [/mm] = [mm] x_5 [/mm]

[mm] x_4=2x_5 [/mm] in V einsetzen:

V [mm] x_5=x_5 [/mm]  <==> 0=0

Man kann eine Variable frei wählen.
Nimmt man

[mm] x_5=100, [/mm]
bekommt man durch Einsetzen
[mm] x_4=200, [/mm]
[mm] x_3=4000 [/mm]
[mm] x_2=10 [/mm]
[mm] x_1=40. [/mm]

Alle Vielfachen des Vektors [mm] \vec{x}=\vektor{40\\10\\4000\\200\\100} [/mm] sind Lösungen des LGS.
Welchen Vektor man angibt, hängt von der Fragestellung ab.

LG Angela














Bezug
        
Bezug
Hilfe: Stabile Verteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 01:40 Di 14/04/2015
Author: meili

Hallo,

> Bestimmen Sie die stabile Verteilung.
>  Ich komme bei dem Gleichungssystem einfach nicht weiter.
> In der Lösung steht, dass ein ein eindeutiges Ergebnis
> geben muss, aber bei mir geht das so nicht auf...
>  Vielleicht könnt ihr mir ja helfen und mir bitte sagen,
> wo mein Fehler beim Auflösen des Gleichungssystem liegt.
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0,05 & 0,3 \\ 0,25 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 90 & 40 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0,05 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0,5 & 0 }[/mm]
> * [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5}[/mm] = [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ x4 \\ x5}[/mm]
>  
> Also soweit der Ansatz. Nun löst man das Gleichungssystem
> mit 5 Variablen.
>  
> I 0,05 x4 + 0,3 x5 = x1
>  II 0,25x1 =x2
>  III 90x1 + 40x2 = x3
>  IV 0,05x3 = x4
>  V 0,5x4 = x5

[ok]

>  
> II x2 = 0,25x1
>  III 90x1 + 40 * 0,25x1 =x3
>     = 100x1 =x3

[ok]

>  IV 0,05x4 = x3

Hier ist dir leider ein Fehler unterlaufen. Vergleiche oben, es muss
IV 0,05x3 = x4
heißen.

>  = 0,05x4 = 100x1
>  = x4 = 2000 x1
>  
> V 0,5 * 2000 x1 - x5 = 0
>  = 1000x1 = x5

Das zieht sich dann leider durch.

>  
> alles in I:
>  
> -x1 + 0,05 * 2000 x1 + 0,3 * 1000x1 =0
>  -x1+100x1+300x1 =0
>  399x1=0
>  x1=0 und die anderen Variablen dann auch.

Mit den richtigen Werten für x4 und x5 in Abhängigkeit von x1 muss sich
eingesetzt in I,
x1*0 = 0 ergeben.

Man kann also x1 frei wählen.
Für die angegebene Lösung wurde der kleinst mögliche, positive, ganzzahlige Wert
genommen, sodass alle Werte der Lösung natürliche Zahlen sind.

>  
> Die Lösung wäre:
>  
> v= [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ 400 \\ 20 \\ 10}[/mm]
>  
> Ich bin jedem für hilfreiche Antworten dankbar.
>  
> Liebe Grüße.
>  
>
>  

Gruß
meili


Bezug
                
Bezug
Hilfe: Stabile Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 09:10 Di 14/04/2015
Author: Tabs2000

Also: Wenn viele Nullen in der Matrx sind, sollte man dann am ehesten das Gleichsetzungsverfahren oder das Einsetzungsverfahren verwenden?

Bezug
                        
Bezug
Hilfe: Stabile Verteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:27 Di 14/04/2015
Author: angela.h.b.


> Also: Wenn viele Nullen in der Matrx sind, sollte man dann
> am ehesten das Gleichsetzungsverfahren oder das
> Einsetzungsverfahren verwenden?

Hallo,

die Regel lautet:

man macht das, bei dem man nicht den Überblick verliert, was man gut kann und oft geübt hat.
Mit dieser Methode kommt man am sichersten zum Ziel.

LG Angela




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