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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 So 11.02.2007 | | Autor: | Savanne |
| Aufgabe | 2a +2b +2c = 0
-2a +5b + 2c = 1
8a +b + 4c = -1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bitte um Hilfe mir bei der Lösung folgenden Gleichungssystems zu helfe. Und zwar mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren bitte keine anderen Verfahren.
Wenn es geht mit Erklärungen wieso und weshalb etc.
2a +2b +2c = 0
-2a +5b + 2c = 1
8a +b + 4c = -1
Vielen Dank für jede Hilfe!!
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Hallo,
zuerst erweiterte Koeffizientenmatrix:
[mm] \pmat{ 2 & 2 & 2 & 0 \\ -2 & 5 & 2 & 1 \\ 8 & 1 & 4 & -1 }
[/mm]
jetzt neue Zeilen bilden:
neue 2. Zeile: Zeile 1 plus Zeile 2
neue 3. Zeile: 4 mal Zeile 1 minus Zeile 3
[mm] \pmat{ 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 7 & 4 & 1 \\ 0 & 7 & 4 & 1 }
[/mm]
du erkennst an Zeile 2 und 3, dass für eine Variable ein Parameter eingesetzt werden muß, nehmen wir c=p,
aus Zeile 2 folgt:
7b+4p=1, die Gleichung nach b umstellen, dann in die 1. Gleichung b und c einsetzen und a berechen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 11.02.2007 | | Autor: | Savanne |
Hallo erst mal danke für die schnelle Hilfe.
Leider verstehe ich die letzten Schritte nicht mit dem PArameter und so normalerweise müsste da doch eine unendliche Lösung entstehen. Tut mir Leid aber ich bin miserabel in Mathe und brauche genauere Erläuterungen. Ich brauche nämlich ein Gleichungssystem wo eine unendliche Lösung rauskommt. Denn anhand des Gleichungssystems soll ich dann den Weg beschreiben mit dem ich dann zu der unendlichen lösung komme!
2 2 2 =0
-2 5 2 =1
8 1 4 = -1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 So 11.02.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich verstehe nicht, warum du auf eine unendliche Lösung kommen solltest.
Du hast ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten und drei Gleichungen, so ein System hat immer eine eindeutige Lösung. Eine unendliche Lösung wie du es nennst, bekommst du nur wenn dein Gleichungssystem überbestimmt ist, das bedeutet, wenn du mehr Unbekannte hast als Gleichungen.
Wenn du allerdings mehr Gleichungen hast, als Unbekannte ist dein Gleichungssystem im Allgemeinen nicht lösbar.
Bastle also ein GLS mit z.B. vier Unbekannten und drei Gleichungen. Dann entsteht ein sog. Freiheitsgrad. Um die vollständige Lösung des GLS zu bekommen musst du zuerst die partikuläre Lösung des GLS bestimmen, indem du den Freiheitsgrad auf 0 setzt und die Lösung des GLS berechnest. Im zweiten Schritt setzt du dann den Freiheitsgrad auf 1 und berechnest die Lösung des zugehörigen homogenen GLS. Die gesamte Lösung des GLS ist dann die Linearkombination aus partikulärer Lösung und der Lösung des homogenen GLS.
Ich hoffe es ist dir nun klar.
Gruß,
clwoe
Sorry, ich hatte vergessen noch zu erwähnen, das es auch bei einem GLS welches genauso viele Unbekannte hat wie Gleichungen natürlich auch eine Nullzeile auftreten kann, so wie in deinem Beispiel eben. Dann gibt es natürlich unendlich viele Lösungen, die Lösung läuft dann so ab, wie ich es dir beschrieben habe.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 So 11.02.2007 | | Autor: | Savanne |
HAllo! Ich habe eine Aufgabe wo das Ergebnis eigentlich unendlich sein müsste.
Könnte mir jemand anhand des Gleichungssystems alles schritt für schritt nochmal erklären"
Vielen vielen DAnk
5a -2b + 6c = 0
-2a +b +3c = 1
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Hallo,
bevor du eine neue Aufgabe beginnst, machen wir erst einmal die 1. Aufgabe fertig,
c=p
b= ...
a= ...
hast du denn schon b und a berechnet? p ist eine frei wählbarer Parameter, eine Zahl, so kannst du für p 0, 1, 2, 3, .... aber auch -1, -2, -3, ebnso Brüche einsetzen, also erhälst du unendlich viele Lösungen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 11.02.2007 | | Autor: | Savanne |
Hallo!
Ich bin sehr froh über die Hilfe hier.
Nur blick ich gar nicht mehr durch. Wie sieht denn dann die Lösung für a und b aus? Ich weiß jetzt gar nichts mehr!
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Hallo,
hast du die Zeilenumformungen verstanden, wenn ja, kannst du neue Gleichungen bilden, aus der zweiten Zeile folgt:
7b+4c=1, die Variable c=p kennst du schon,
7b+4p=1
7b=1-4p
[mm] b=\bruch{1}{7}-\bruch{4}{7}p
[/mm]
aus der 1. zeile folgt:
2a+2b+2c=0, c=p und [mm] b=\bruch{1}{7}-\bruch{4}{7}p [/mm] kennst du
[mm] 2a+2(\bruch{1}{7}-\bruch{4}{7}p)+2p=0
[/mm]
[mm] 2a+\bruch{2}{7}-\bruch{8}{7}p+\bruch{14}{7}p=0
[/mm]
[mm] 2a+\bruch{2}{7}+\bruch{6}{7}p=0
[/mm]
[mm] 2a=-\bruch{2}{7}-\bruch{6}{7}p
[/mm]
[mm] a=\bruch{1}{7}-\bruch{3}{7}p
[/mm]
somit hast du die Lösung für a, b und c in Abhängigkeit von p (ist ja frei wählbar)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 11.02.2007 | | Autor: | Savanne |
Also ist das Ergebnis dieser Gleichung doch unendlich?
Es wurde ja mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren berechnet richtig?
Aber ichhabs jetzt wohl verstanden danke"!!
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ja es gibt unendlich viele Lösungen, aber bitte nicht den Schluß ziehen, wenn ein Gleichungssystem mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren gelöst wir, so hat es unendlich viele Lösungen, deine gestellte Aufgabe hat unendlich viele Lösungen!
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 11.02.2007 | | Autor: | Savanne |
SO jetzt aber die hoffenltich letzte Frage!
ICh habe ja mitbekommen, dass eine Gleichung die mehr unbekannte als Gleichungen hat unendlich viele Lösungen hat. Wie kann ich das erklären, dass bei der ersten Aufgabe trotz gleicher ANzahl an unbekannten und Gleichungen dennoch unendlich viele Lösungen hat?
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hallo,
das ist deshalb so, weil dein Gleichungssystem zwei identische gleichungen besitzt (die beiden unteren) , deshalb hat dein gleichungssystem nur zwei verschiedene Gleichungen, d.h. du kannst keine endliche Lösung erhalten (weil es ja äquivalent zu einem Gleichungsystem mit zwei Gleichungen und drei variablen ist)
grüße shu4xue2
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