Hilfe bei Abschätzung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 06.01.2011 | | Autor: | Druss |
| Aufgabe | [mm] (\Omega, [/mm] P) W'Raum und darauf X eine N(0,1)-verteilte Zufallsvariable. Zeigen Sie für [mm] c\ge [/mm] 0 folgende Abschätzung:
[mm] P(X\ge c)\le e^{-c} [/mm] |
Hallo,
Inhaltlich kann ich mir schon vorstellen was gemacht werden muss. Leider habe ich keinen Ansatz wie ich anfangen könnte...
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Do 06.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
Behauptung [mm] $P(X\ge c)\le\exp(-c)\iff f(c)=\Phi(c)+\exp(-c)\ge1$ [/mm] fuer alle [mm] $c\ge0$
[/mm]
Eine Zeichung der Funktion $f$ zeigt:
1) $f(0)=1.5_$
2) $f_$ ist monoton fallend.
3) [mm] $\lim_{c\to\infty}f(c)=1$
[/mm]
Das muss man nun noch analytisch sattelfest machen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Do 06.01.2011 | | Autor: | Druss |
hey,
danke für deine Antwort.
wie kommst du auf das f(c) bei [mm] f(c)\Phi(c)+\exp(-c)\ge1
[/mm]
komme selbst auf [mm] \Phi(c)+\exp(-c)\ge1
[/mm]
aber schonmal danke für den Ansatz!
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Do 06.01.2011 | | Autor: | luis52 |
> hey,
>
> danke für deine Antwort.
>
> wie kommst du auf das f(c) bei [mm]f(c)\Phi(c)+\exp(-c)\ge1[/mm]
>
Habe ein Gleichheitszeichen vergessen, was ich aber schon korrigiert habe.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Druss |
Hey,
Es ist ja eigentlich in (2) nur zu zeigen, dass f monoton fallend ist der Rest ist ja dann ausreichend dafür, dass die Abschätzung gilt.
[mm] \frac{\partial f(c)}{\partial c} [/mm] = [mm] \Phi [/mm] '(c) - [mm] e^{-c} \le [/mm] 0
[mm] \Leftrightarrow \Phi [/mm] '(c) [mm] \le e^{-c}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{\frac{c^2}{2}} \le e^{-c}
[/mm]
Für [mm] c\ge [/mm] 2 ist die linke Seite ja immer kleiner als die rechte weil noch durch etwas teile, das größer ist als 1
Wie zeige ich jedoch für 0 < c < 2 das die linke seite kleiner ist?
mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Druss |
hey,
ja danke für die Korrektur :)
Nur damit ich dich richtig verstehe. Ich will ja zeigen, dass für jedes c auf dem Intervall (0,2) gilt, dass die Steigung der Funktion f(c) kleiner/gleich 0 ist.
Es reicht also aus zu zeigen, dass die Funktion maximal eine Steigung von 1 annehmen kann und somit weiß, dass wenn die Steigung maximal 1 beträgt die Funktion monoton fällt richtig?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Fr 07.01.2011 | | Autor: | luis52 |
Ich darf mal zusammenfassen. Es ist zu zeigen, dass $f_$ monoton faellt.
Hinreichend hierfur ist zu zeigen $f'(c)<0$ fuer alle $c>0_$. Es ist [mm] $f'(c)=\varphi(c)-\exp(-c)$. [/mm] Mithin ist zu zeigen
[mm] $\varphi(c)-\exp(-c)<0\iff \varphi(c)<\exp(-c)$.
[/mm]
Du hast argumentiert, dass die Ungleichung gilt fuer alle $c>2_$. Bleibt
der Fall $0<c<2_$. Obige Ungleichung ist aequivalent mit
$g(c)= [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^{c-\frac{c^2}{2}} \le [/mm] 1$
fuer alle $0<c<2_$. Auf die Funktion $g_$ bezog sich meine Antwort oben.
vg Luis
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Clever!
