Hilfe bei Lösung von Ungleichung mit Betrag < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Sa 11.10.2014 | | Autor: | mcx |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{x+1}{| x-1|}\le [/mm] 2 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei der Lösung dieser Ungleichung mit Betrag. Begonnen habe ich damit das ich den "kritischen Punkt" (-1) bestimmt habe an dem der Betrag das Vorzeichen wechselt. Da |x|=x für [mm] x\ge [/mm] 0 und |x|=-x für x< 0 ist habe ich eine Fallunterscheidung gemacht:
Fall 1: x>-1
Dann bekomme ich [mm] \bruch{x+1}{x-1}\le [/mm] 2, also [mm] x\ge-3
[/mm]
Fall 2: x<-1
Dann bekomme ich [mm] \bruch{x+1}{-x+1}\le [/mm] 2, also [mm] x\le -\bruch{1}{3}
[/mm]
Ich verstehe die Antworten die ich bekommen habe nicht ganz. Angenommen ich "glaube" meiner Lösung nicht und setze jede Zahl ausser x=-1 ein dann bekomme ich eine wahre Ungleichung. Warum bekomme ich dann so komische Lösungen und nicht nur [mm] x\in\IR x\not=0? [/mm]
Vielen Dank schonmal im Voraus
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> [mm]\bruch{x+1}{| x-1|}\le[/mm] 2
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich bräuchte Hilfe bei der Lösung dieser Ungleichung mit
> Betrag. Begonnen habe ich damit das ich den "kritischen
> Punkt" (-1) bestimmt habe an dem der Betrag das Vorzeichen
> wechselt.
Da hast du dich schon vertan, denn das passiert bei x=1.
> Da |x|=x für [mm]x\ge[/mm] 0 und |x|=-x für x< 0 ist
> habe ich eine Fallunterscheidung gemacht:
>
> Fall 1: x>-1
>
> Dann bekomme ich [mm]\bruch{x+1}{x-1}\le[/mm] 2, also [mm]x\ge-3[/mm]
>
> Fall 2: x<-1
>
> Dann bekomme ich [mm]\bruch{x+1}{-x+1}\le[/mm] 2, also [mm]x\le -\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Ich verstehe die Antworten die ich bekommen habe nicht
> ganz.
Welche Antworten?
> Angenommen ich "glaube" meiner Lösung nicht und
> setze jede Zahl ausser x=-1 ein dann bekomme ich eine wahre
> Ungleichung. Warum bekomme ich dann so komische Lösungen
> und nicht nur [mm]x\in\IR x\not=0?[/mm]
>
Die Frage verstehe ich nicht. Es kommt tatsächlich eine Lösungsmenge heraus, die man in der Form [mm] \IR\setminus{(a;b)} [/mm] schreiben kann. Ganz falsch können deine Rechnungen (die leider nicht dastehen) nicht gewesen sein: denn die Lösungsmengen enthalten jeweils nur einen Vorzeichenfehler (unabhängig von der völlig falschen Fallunterscheidung). Gehe das ganze am besten nochmals an für die Fälle x>1 bzw. x<1, gib bei Rückfragen nicht nur deine Resultate sondern auch deine Rechnunge mit an und achte inbesondere auf die Vorzeichen!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Sa 11.10.2014 | | Autor: | mcx |
Erstmal vielen Dank für die Antwort!
Mir ist ein dummer Fehler passiert. Ich habe Zähler und Nenner beim abschreiben vertauscht....
Die Aufgabe sollte lauten [mm] \bruch{x-1}{|x+1|}\le [/mm] 2
So wie ich es in Erinnerung habe muss man bei diesen Problem eine Fallunterscheidung machen für den fall das der Betrag Vorzeichen wechselt.
Wenn ich das richtig gerechnet habe ändert der Betrag bei x=-1 sein Vorzeichen. Das bedeutet ich muss de Fälle x>-1 und x<-1 betrachten.
Fall 1: x>1
In diesem Fall fallen die Betragsstriche einfach weg da |x|=x für [mm] x\ge [/mm] 0:
[mm] \bruch{x-1}{x+1}\le [/mm] 2;
[mm] x-1\le [/mm] 2(x+1),
[mm] x-1\le [/mm] 2x+2,
[mm] x+3\ge [/mm] 0,
[mm] x\ge [/mm] -3
D.h Im Falle von x>1 bekomme ich die Lösung x [mm] \ge [/mm] -3
Fall 2: x<1
In diesem Fall wird der Betrag negativ d.h es gilt |x|=-x für x<0:
[mm] \bruch{x-1}{-x-1}\le [/mm] 2;
[mm] x-1\le2(-x-1),
[/mm]
[mm] x-1\le-2x-2,
[/mm]
[mm] 3x\le-1,
[/mm]
[mm] x\le -\bruch{1}{3}
[/mm]
Im Falle von x<1 bekomme ich die Lösung [mm] x\le -\bruch{1}{3}
[/mm]
Und hier stecke ich jetzt fest. Wie gebe ich die Lösungsmenge an? Ich bin mir auch nicht so sicher was es bedeutet wenn ich im Falle x<1 die Lösung [mm] x\le -\bruch{1}{3} [/mm] bekomme. Irgendwie steh ich da auf der Leitung.
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Hiho,
> Wenn ich das richtig gerechnet habe ändert der Betrag bei
> x=-1 sein Vorzeichen. Das bedeutet ich muss de Fälle x>-1
> und x<-1 betrachten.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Fall 1: x>1
Aufmerksamer arbeiten!
Das ist doch gar nicht der Fall, den du betrachten willst, sondern x>-1!
> D.h Im Falle von x>1 bekomme ich die Lösung x [mm]\ge[/mm] -3
Im Falle von x>-1 bekommst du also die Lösung $x [mm] \ge [/mm] -3$.
Es muss also sowohl x>-1 als auch [mm] x\ge [/mm] -3 gelten.
Wenn beides gelten soll, dann man das also wie zusammenfassen?
Analog beim anderen Fall.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Sa 11.10.2014 | | Autor: | mcx |
Ja sorry! Ich will die Fälle x<-1 und x>-1 betrachten. Solche Vorzeichen Fehler muss ich echt mal abstellen.
Im ersten Fall x>-1 bekomme ich die Lösung [mm] x\ge-3. [/mm] D.h x muss größer als -1 und größer als -3 sein. Also ist die Lösungsmenge 1: [mm] L_{1}=\{x | x \mbox{>-1}\}
[/mm]
Im zweiten Fall x<-1 bekomme ich die Lösung [mm] x\le-\bruch{1}{3}. [/mm] D.h x muss kleiner als -1 und kleiner als [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] sein. Also ist die Lösungsmenge 2: [mm] L_{2}=\{x | x \mbox{ <-1}\}
[/mm]
Vereinigt würde ich das so schreiben [mm] L_{1}UL_{2}={x\in\IR|x\not=-1}
[/mm]
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Hallo,
> Ja sorry! Ich will die Fälle x<-1 und x>-1 betrachten.
> Solche Vorzeichen Fehler muss ich echt mal abstellen.
>
> Im ersten Fall x>-1 bekomme ich die Lösung [mm]x\ge-3.[/mm] D.h x
> muss größer als -1 und größer als -3 sein. Also ist die
> Lösungsmenge 1: [mm]L_{1}=\{x | x \mbox{>-1}\}[/mm]
>
> Im zweiten Fall x<-1 bekomme ich die Lösung
> [mm]x\le-\bruch{1}{3}.[/mm] D.h x muss kleiner als -1 und kleiner
> als [mm]-\bruch{1}{3}[/mm] sein. Also ist die Lösungsmenge 2:
> [mm]L_{2}=\{x | x \mbox{ <-1}\}[/mm]
>
> Vereinigt würde ich das so schreiben
> [mm]L_{1}UL_{2}={x\in\IR|x\not=-1}[/mm]
Es ist alles richtig, aber das schreibt man so:
[mm] L={L_1}\cup{L_2}=\IR\setminus\{-1\}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 14:12 Sa 11.10.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Es ist alles richtig, aber das schreibt man so:
>
> [mm]L={L_1}\cup{L_2}=\IR\setminus\{-1\}[/mm]
da das wie eine Korrektur klingt: Ich sehe nichts, was gegen [mm] $\{x\in\IR | x\not= -1\}$ [/mm] sprechen würde, außer die eigene Faulheit.
Beide Schreibweisen sagen das gleiche aus.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 14:14 Sa 11.10.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Hiho,
>
> > Es ist alles richtig, aber das schreibt man so:
> >
> > [mm]L={L_1}\cup{L_2}=\IR\setminus\{-1\}[/mm]
>
> da das wie eine Korrektur klingt: Ich sehe nichts, was
> gegen [mm]\{x\in\IR | x\not= -1\}[/mm] sprechen würde, außer die
> eigene Faulheit.
Schon, aber du hast Mengenklammern drumherum, das ist IMO ein kleiner, aber feiner Unterschied...
> Beide Schreibweisen sagen das gleiche aus.
Ich habe ja auch die Richtigkeit bestätigt.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 16:52 Sa 11.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Diophant,
> > da das wie eine Korrektur klingt: Ich sehe nichts, was
> > gegen [mm]\{x\in\IR | x\not= -1\}[/mm] sprechen würde, außer
> die
> > eigene Faulheit.
>
> Schon, aber du hast Mengenklammern drumherum, das ist IMO
> ein kleiner, aber feiner Unterschied...
Im Quelltext hat er Mengenklammern gesetzt. Das Problem ist das
Übliche: Viele schreiben {a} statt \{a\}. Komischerweise hatte er
es davor richtig gemacht.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Sa 11.10.2014 | | Autor: | mcx |
Erstmal vielen vielen Dank euch beiden Für die Antworten. Ich habe noch eine Allgemeine Frage im Bezug auf Ungleichungen mit Betrag. Angenommen ich betrachte bei einer Ungleichung den Bereich x<0 und bekomme als Antwort eine Zahl >0 z.B 5. Wie gehe ich dann vor? Oder allgemeiner ausgedrückt, was mache ich mit Lösungen die nicht in den Bereich fallen den ich gerade betrachte? Wie gehe ich dann vor?
LG
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Hallo,
> Erstmal vielen vielen Dank euch beiden Für die Antworten.
> Ich habe noch eine Allgemeine Frage im Bezug auf
> Ungleichungen mit Betrag. Angenommen ich betrachte bei
> einer Ungleichung den Bereich x<0 und bekomme als Antwort
> eine Zahl >0 z.B 5. Wie gehe ich dann vor? Oder allgemeiner
> ausgedrückt, was mache ich mit Lösungen die nicht in den
> Bereich fallen den ich gerade betrachte? Wie gehe ich dann
> vor?
na das ist ganz einfach: für jeden Fall erhält man ja die betreffende Lösungsmenge als Schnitt des betrachteten Falls, also etwa x<0 und der erhaltenen Lösung, also etwas x>5. In einem solchen Fall ist die Schnittmenge leer, d.h., der betrachtete Fall trägt zur Lösungsmenge im wahrten Sinne des Wortes nichts bei. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Sa 11.10.2014 | | Autor: | mcx |
Ah. Jetzt mach das Sinn. Vielen Dank.
Ich wünsche noch einen schönen Samstag nachmittag.
LG
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