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| Aufgabe | | Zeigen Sie dass das Polynom P(x):= [mm] 12x^4+173x^3+208x^2-167x+26 [/mm] vier Nullstellen (in reellen Zahlen) hat, und zerlegen Sie p(x) in Linearfaktoren. |
Hallo meine Lieben,
ich wende mich an euch weil ich einfach ein Brett vorm Kopf habe.
Die Aufgabe seht ihr ja oben, wir haben in der Übung die gleiche Aufgabenstellung mit einem Polynom dritten Grades gehabt ( mit deutlich einfacherer Zahlen).
Also verstehe ich die grundlegende Vorgehensweise, jedoch steh ich einfach vollkommen auf dem Schlauch wie ich am "einfachsten" die Nullstellen herausfinde, um den Beweis zu liefern.
Kennt ihr da eine generelle Vorgehensweise um bei so (zumindest für mich) komplexen Funktionen eine Nullstelle zu finden?
Ich bin über jegliche Hilfe, Denkanstoß oder Tipp dankbar.
Viele Grüße,
Henning.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Fr 29.05.2015 | | Autor: | henning021 |
Danke für die Hilfe und das herzliche Willkommen!
Ich hatte echt ein Brett vorm Kopf, dabei war es eigentlich so banal.
Ganz lieben Dank für die schnelle Hilfe!
Grüße,
Henning.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 Mi 27.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
neben Loddars Anmerkung eine allgemeine:
> Zeigen Sie dass das Polynom P(x):=
> [mm]12x^4+173x^3+208x^2-167x+26[/mm] vier Nullstellen (in reellen
> Zahlen) hat, und zerlegen Sie p(x) in Linearfaktoren.
bei Polynomfunktionen (diese Dinger sind unendlich oft stetig differenzierbar)
kann man oft "mit dem Zwischenwertsatz" und ggf. auch mit Argumenten bzgl.
*lokalen Monotonieverhaltens* Aussagen darüber treffen, wo Nullstellen
zu finden sein könnten.
Es gibt aber noch eine schöne Erkenntnis, die in Heuser, Analysis I festgehalten
wird:
Setze hier
[mm] $\rho:=2*\frac{|a_0|+...+|a_4|}{|a_4|}$,
[/mm]
also
[mm] $\rho=2*\frac{26+167+208+173+12}{12}=97,\overline{6}$
[/mm]
Jede Nullstelle [mm] $x_N$ [/mm] erfüllt dann
[mm] $|x_N| [/mm] < [mm] \rho$.
[/mm]
Etwas gröber in unserem Fall: $P$ hat nur Nullstellen im (offenen) Intervall
[mm] $]-98,\;98[\,.$
[/mm]
P.S. Auch da gibt es noch eine Alternative: Schau' vielleicht mal in Heuser,
Lehrbuch der Analysis I, Auflage 14, Seite 127 Aufgabe 6
Bei uns: Es ist
[mm] $P(x)=12x^4*\underbrace{\left(1+\frac{173}{12}*\frac{1}{x}+\frac{208}{12}*\frac{1}{x^2}-\frac{167}{12}*\frac{1}{x^3}+\frac{26}{12}\right)}_{\equiv: g(x)}$
[/mm]
Dann ist
[mm] $\beta:=1+\frac{173}{12}+\frac{208}{12}+\frac{167}{12}+\frac{26}{12}=\frac{586}{12}$
[/mm]
Also [mm] $\beta=\rho/2$, [/mm] und tatsächlich gilt, dass die Nullstellen von P in
[mm] $]-\beta,\;\beta[\;=\;]-48,8\overline{3},\;48,8\overline{3}[$
[/mm]
zu finden sein müssen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Fr 29.05.2015 | | Autor: | henning021 |
Vielen Vielen Dank,
du hast mit zusätzlichen zur Lösungshilfe noch weitere Hilfe zum Thema gegeben. Werde ich sicherlich gut gebrauchen können.
Danke für die schnelle und sehr kompetente Hilfe.
Grüße,
Henning.
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In der Anlage findest du ein durchgerechnetes Beispiel, in dem du alle Schritte finden kannst, mit denen man Nullstellen eines Polynoms durch ELEMENTARES Vorgehen finden kann (also keine komplexen Lösungen, kein Newton-Verfahren zur Näherungslösung usw., aber alles, was man im Schulunterricht schaffen kann).
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Fr 29.05.2015 | | Autor: | henning021 |
Großes Dankeschön auch an dich!
Die Datei die du angefügt hast bietet eine sehr schöne Zusammenfassung der Schritte. Werde ich zum Üben sicherlich öfters mal anschauen.
Grüße,
Henning.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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Polynomdivision