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Hallo ihr Lieben,
ich lerne gerade für meine matheklausur am Montag und komme mit dieser Aufgabe hier überhaupt nicht zurecht.
gegeben sind zwei punkte a und b und eine ebene e. bestimmen sie eine gleichung einer ebene f, für die gilt: F geht durch die punkte a und b und ist zur ebene e orthogonal.
Mein Ansatz ist der folgende:
der normalenvektor der ebene f muss orthogonal zu dem der ebene e sein, d.h. ich ermittle einen normalenvektor von f indem ich den normalenvektor von e mal den noch unbekannten normalenvektor b von der ebene f rechne und dies =0 setze.
Dann habe ich schonmal den normalenvektor gegeben.
Nun verstehe ich allerdings nicht, wie ich es anstellen muss, damit ich sicher bin, dass meine ebene f auch durch die punkte von a und b geht. (ich will das ganze in der normalenform darstellen)
liegt die ebene auf den punkten, wenn ich den vektor a minus den vektor b rechne und das ergebnis dann in die normalenform einsetze?
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> Hallo ihr Lieben,
> ich lerne gerade für meine matheklausur am Montag und
> komme mit dieser Aufgabe hier überhaupt nicht zurecht.
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> gegeben sind zwei punkte a und b und eine ebene e.
> bestimmen sie eine gleichung einer ebene f, für die gilt:
> F geht durch die punkte a und b und ist zur ebene e
> orthogonal.
Es ist grundsätzlich von Vorteil den Aufgabentext komplett anzugeben. 
> Mein Ansatz ist der folgende:
>
> der normalenvektor der ebene f muss orthogonal zu dem der
> ebene e sein, d.h. ich ermittle einen normalenvektor von f
> indem ich den normalenvektor von e mal den noch unbekannten
> normalenvektor b von der ebene f rechne und dies =0 setze.
> Dann habe ich schonmal den normalenvektor gegeben.
Das kann man so machen.
> Nun verstehe ich allerdings nicht, wie ich es anstellen
> muss, damit ich sicher bin, dass meine ebene f auch durch
> die punkte von a und b geht. (ich will das ganze in der
> normalenform darstellen)
> liegt die ebene auf den punkten, wenn ich den vektor a
> minus den vektor b rechne und das ergebnis dann in die
> normalenform einsetze?
Eine Ebene ist durch den Normalenvektor und einen weiteren Punkt eindeutig bestimmt. Du musst also a oder b einsetzen um den letzten Parameter zu bestimmen. Zur Kontrolle kannst du dann überprüfen, ob der zweite Punkt auch auf der Ebene liegt.
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leider liegen bei diesem verfahren nie beide punkte auf der ebene. kann das seien, dass man das doch irgendwie anders machen muss?
ich gebe zum besseren verständnis mal die genauere aufgabenstellung an:
a(1/3/4)
b(2/3/2)
E: 3x1-x2+2x3=16
als normalenvektor bekomme ich n=(0/4/2) heraus
und demnach ergäbe sich die ebenengleichung
E: (x-(1/3/4))*(0/4/2)=0
Hab ich mich evtl. irgendwo verrechnet?
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> leider liegen bei diesem verfahren nie beide punkte auf der
> ebene. kann das seien, dass man das doch irgendwie anders
> machen muss?
>
> ich gebe zum besseren verständnis mal die genauere
> aufgabenstellung an:
>
> a(1/3/4)
> b(2/3/2)
>
> E: 3x1-x2+2x3=16
>
> als normalenvektor bekomme ich n=(0/4/2) heraus
Hallo,
das soll der Normalenvektor der zu bestimmenden Ebene sein?
Kann ja nicht sein, denn wenn die Punkte A und B in der Ebene liegen, dann ist [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] parallel zur Ebene. Also müßte [mm] \vec{n} [/mm] senkrecht zu diesem Vektor sein, was aber nicht der Fall ist.
Gruß v. Angela
>
> und demnach ergäbe sich die ebenengleichung
>
> E: (x-(1/3/4))*(0/4/2)=0
>
> Hab ich mich evtl. irgendwo verrechnet?
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dann müsste doch das verfahren zur berechnung des normalenvektors falsch sein, oder?
kann mir vielleicht einmal jemand die aufgabe in kleinen schritten vorrechnen, weil ich da echt total auf dem schlauch stehe.
das wäre echt super lieb,
ganz viele liebe Grüße und schon einmal ein herzliches dankeschön
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Fr 24.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Angela hat's doch schon gesagt. Du brauchst einen Vektor, der sowohl auf den Normalenvektor von e, als auch auf [mm] $\overrightarrow{AB}$ [/mm] senkrecht steht.
Wie bist Du überhaupt auf Deinen Normalenvektor gekommen? Wenn Du's uns schreibst, können wir Dir sagen, wo es schiefgelaufen ist.
EDIT: Und die erste Antwort stimmt nur zum Teil. Natürlich ist eine Ebene durch Normalenvektor und einen Punkt eindeutig bestimmt, aber Du brauchst beide Punkte, um den Normalenvektor zu bestimmen. Daß sie senkrecht auf e steht, gibt Dir noch nicht den Normalenvektor.
Deine Tischplatte ist e, stell Dein Geodreieck auf einer der spitzen Ecken senkrecht hin, das ist Deine Ebene f. Jetzt tu Deinen Finger auf die obere Ecke vom Geodreieck, exakt da ist A. Jetzt laß es rotieren. Es steht immer senkrecht auf e und geht durch A, aber trotzdem ist es noch nicht fest, erst wenn Du mit einem zweiten Finger die letzte Ecke hältst (sagen wir da ist B), ist das Teil eindeutig hingestellt. =)
ciao
Stefan
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also ich habe jetzt schonmal verstanden, dass der normalenvektor der ebene f offensichtlich orthogonal zu der ebene e und einem punkt sein muss.
deshalb habe ich nun den normalenvektor (4/16/2) ermittelt.
wenn ich den nun in die normalenform einsetze und den punkt a auch, dann bekomme ich folgende ebenengleichung heraus
E:(x-(1/3/4))*(4/16/2)=0
allerdings liegen die punkte dann irgendwie doch nicht drauf.
ich bin wirklich ratlos...
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> also ich habe jetzt schonmal verstanden, dass der
> normalenvektor der ebene f offensichtlich orthogonal zu der
> ebene e und einem punkt sein muss.
Hallo,
was soll denn "orthogonal zu einem Punkt" bedeuten?
Der Vektor mußt orthogonal sein zum Normalenvektor von E und orthogonal zum Vektor [mm] \overrightarrow{AB}, [/mm] welcher sicher parallel zur gesuchten Ebene ist.
Gruß v. Angela
> deshalb habe ich nun den normalenvektor (4/16/2)
> ermittelt.
> wenn ich den nun in die normalenform einsetze und den
> punkt a auch, dann bekomme ich folgende ebenengleichung
> heraus
>
> E:(x-(1/3/4))*(4/16/2)=0
>
> allerdings liegen die punkte dann irgendwie doch nicht
> drauf.
>
> ich bin wirklich ratlos...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Fr 24.09.2010 | | Autor: | abakus |
> leider liegen bei diesem verfahren nie beide punkte auf der
> ebene. kann das seien, dass man das doch irgendwie anders
> machen muss?
>
> ich gebe zum besseren verständnis mal die genauere
> aufgabenstellung an:
>
> a(1/3/4)
> b(2/3/2)
>
> E: 3x1-x2+2x3=16
Hallo,
diese Ebene E hat den Normalenvektor [mm] \vektor{3\\-1\\2}.
[/mm]
Wenn du diesen Vektor am Punkt A ansetzt, erhältst du den Punkt
(1+3|3+(-1)|4+2), also den Punkt (4/2/6)
Eine Ebene durch die drei Punkte A(1/3/4), B(2/3/2) und (4/2/6) enthält die Punkte A und B und steht auf E senkrecht, denn der Normalenvektor von E liegt in der durch diese drei Punkte gebildeten Ebene.
Und drei Punkte sollten doch wohl ausreichen, um eine Ebene aufzustellen.
Gruß Abakus
>
> als normalenvektor bekomme ich n=(0/4/2) heraus
>
> und demnach ergäbe sich die ebenengleichung
>
> E: (x-(1/3/4))*(0/4/2)=0
>
> Hab ich mich evtl. irgendwo verrechnet?
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> > gegeben sind zwei punkte a und b und eine ebene e.
> > bestimmen sie eine gleichung einer ebene f, für die gilt:
> > F geht durch die punkte a und b und ist zur ebene e
> > orthogonal.
>
> Es ist grundsätzlich von Vorteil den Aufgabentext komplett
> anzugeben.
>
> > Mein Ansatz ist der folgende:
> >
> > der normalenvektor der ebene f muss orthogonal zu dem der
> > ebene e sein, d.h. ich ermittle einen normalenvektor von f
> > indem ich den normalenvektor von e mal den noch unbekannten
> > normalenvektor b von der ebene f rechne und dies =0 setze.
> > Dann habe ich schonmal den normalenvektor gegeben.
>
> Das kann man so machen.
Hallo,
ja, das kann man tun - aber den gesuchten Normalenvektor bekommt man so noch nicht.
Bedenke: es gibt sehr viele Vektoren, die auf dem Normalenvektor von E senkrecht stehen.
Man muß unbedingt noch verwenden, daß die neue Ebene durch die Punkte A und B geht, der gesuchte Normalenvektor also auch auf deren Verbindungsvektor senkrecht steht.
Wenn Du solch einen Vektor gefunden hast, kannst Du weitermachen wie vorgeschlagen - also die Normalenform der Ebene aufstellen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
Irgendwie habe ich den Eindruck, dass Du Dir nicht ganz im Klaren bist, wie die Punkte A, B und die Ebene E im Raum angeordnet sind.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Deshalb hier eine (ganz grobe) Skizze, aus der mE sofort der Lösungsweg deutlich wird.
Salve
Pappus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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