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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Fr 17.09.2010 | | Autor: | low_head |
| Aufgabe | Die nördliche Straße wird durch den Graphen
f(x) = [mm] x^2-2x+2 [/mm] angegeben
und die südliche Straße, die als Tangente fungiert als
g(x) = [mm] a(x-4)^2+b
[/mm]
Der Berührungspunkt ist P(2|2)
a) Wie müssen die Parameter a und b von g(x) sein?
b) Wie lautet die Gleichung der Tangente von g(x) und f(x) in P(2|2)? |
Hallo.
Also zur ersten Frage hab ich mir vollgendes überlegt:
Die Punkt-Steigungsform von g(x) in P:
y = m(x-2)+2
setze ich gleich mit f(x):
[mm] x^2-2x+2 [/mm] = m(x-2)+2 <=> [mm] x^2-2x+2-m(x-2)+2 [/mm] = 0
Nun möchte ich die Schnittpunktsgleichung lösen, weiß aber nicht wie und eine weitere Frage: Gibt es vielleicht eine einfachere Methode, als die von mir gewählte?
Zu Frage b) habe ich noch nicht mal eine Vorstellung...
Ich baue auf eure Hilfe, liebe Grüße, low
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Die nördliche Straße wird durch den Graphen
nördliche und südliche Straße? Wow, das ist mal ein gequälter Versuch Praxisbezug vorzuheucheln. oO
> f(x) = [mm]x^2-2x+2[/mm] angegeben
> und die südliche Straße, die als Tangente fungiert als
> g(x) = [mm]a(x-4)^2+b[/mm]
>
> Der Berührungspunkt ist P(2|2)
>
> a) Wie müssen die Parameter a und b von g(x) sein?
> b) Wie lautet die Gleichung der Tangente von g(x) und f(x)
> in P(2|2)?
> Also zur ersten Frage hab ich mir vollgendes überlegt:
>
> Die Punkt-Steigungsform von g(x) in P:
> y = m(x-2)+2
Was ist denn m?
> setze ich gleich mit f(x):
> [mm]x^2-2x+2[/mm] = m(x-2)+2 <=>
Also, m(x-2)+2 ist eine Gerade, die durch (2;2) geht und Steigung m hat. Und die Gleichung hier ist dort erfüllt, wo die Gerade f schneidet. x=2 ist immer eine Lösung, egal was m ist, und je nachdem wie m aussieht könnte es noch eine andere geben. Mehr tust Du hier nicht.
1. Die Gerade muß keine Tangente an g sein (sie ist nur eine, wenn (a) g durch (2;2) geht und (b) m=g'(2), beides stellst Du nicht sicher)
2. Sagen wir Du hast (a) und (b) jetzt gemacht. Wie willst Du mit der Gleichung sicherstellen, daß (2;2) ein Berührpunkt ist? (es gibt einen Weg, ich würde von Dir nur gerne in Worten hören, wie Du vorgehen willst, bevor Du mit Formeln um Dich schmeißt =)
> [mm]x^2-2x+2-m(x-2)+2[/mm] = 0
Hier ist ein Vorzeichenfehler.
> Nun möchte ich die Schnittpunktsgleichung lösen, weiß
> aber nicht wie und eine weitere Frage: Gibt es vielleicht
was ist denn g'(2)?
> eine einfachere Methode, als die von mir gewählte?
Es wäre wahrscheinlich einfacher sicherzustellen, daß g durch (2;2) geht und g und f in (2;2) die gleiche Steigung haben. =)
Und zu b), was ist denn die Tangente an f in (2;2)? Und was sagt uns das über die Tangente an g?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:49 Fr 17.09.2010 | | Autor: | low_head |
m ist die Steigung, die ich durch die Ableitung von f(x) bekomme.
f(x) = [mm] x^2-2x+2
[/mm]
f'(x) = 2x-2
m = 2x-2 richtig?
dann sieht die Gleichung der Tangente so aus:
y=(2x-2)*(x-2)+2
Wenn ich nun als Probe für x=2 einsetze, was ich jah durch den Berührungspunkt P (2|2) weiß erhalte ich als y=2
Also liegt der Punkt P auf der Grade.
Der Parameter a = 0
Parameter b = 2
Um die Steigung im Punkt P von f(x) zu bekommen muss ich f'(x) ableiten und den Punkt einsetzen.
f'(2)=2*2-2
f'(2)=2
Somit ist doch nun bewiesen, dass sie beide die Selbe Steigung haben.
Also wäre Frage a) geklärt richtig?
Und b)
Die Tangentengleichung ist ja g(x) = [mm] (x-4)^2+2
[/mm]
oder? Ich verstehe nicht, was meine Aufgabe bei dieser Frage ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:41 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
Ich seh gerade, daß in der Aufgabenstellung steht "und die südliche Straße, die als Tangente fungiert als".
Die Wortwahl ist sehr....unglücklich, um nicht zu sagen total beschissen.
Streich den ganzen Scheiß mit Straßen. Gesucht sind a und b, so daß g f in P berührt. In der Geometrie ist eine Tangente immer eine Gerade. Jetzt seh ich auch Dein Problem mit der (b), weil sie da mit "Tangente" plötzlich wieder -korrekt- eine Gerade meinen. Völliger Schrott, die Welt wäre eine besserer Ort, wenn alle Schulbuchautoren ab morgen Radieschen züchten würden.
Also, die Aufgabenstellung ist ab sofort kurz und knackig:
$f(x) = [mm] x^2-2x+2 [/mm] $
$g(x) = [mm] a(x-4)^2+b,\quad a,b\in\IR [/mm] $
a) g soll f in P=(2;2) berühren. Wie müssen dazu die Parameter a und b lauten?
b) Was ist in diesem Fall die Tangente an g(x) und f(x) in P?
Der Sauberkeit halber sei erläutert:
1. Man sagt f berührt g in [mm] P=(x_p; y_p), [/mm] wenn [mm] f(x_p)=g(x_p)=y_p [/mm] und [mm] f'(x_p)=g'(x_p), [/mm] d.h. f und g haben in [mm] x_p [/mm] den gleichen Funktionswert [mm] y_p [/mm] und gleiche Steigung.
2. Eine Tangente an eine Funktion f in einem Punkt P ist eine *Gerade*, die f in P berührt.
)
> m ist die Steigung, die ich durch die Ableitung von f(x)
> bekomme.
k
> f(x) = [mm]x^2-2x+2[/mm]
> f'(x) = 2x-2
das ist die Steigung von f an der Stelle x, richtig.
Die Tangente an f in (2;2) ist jetzt
h(x)=f'(2)*(x-2)+2
Wieso ist es eine Tangente? Gehen wir nach den Definitionen oben:
1. es ist eine Gerade, denn f'(2) ist eine Konstante
2. h(2)=f(2) = 2
3. h'(2)=f'(2)
> dann sieht die Gleichung der Tangente so aus:
> y=(2x-2)*(x-2)+2
Das ist eine quadratische Gleichung, kann also keine Tangente sein.
Du brauchst f'(2), nicht f'(x).
Jetzt haben wir also die Tangente an f in P. Nur hilft uns das für die (a) nicht direkt weiter, wir haben aber damit die (b).
Nochmal:
g soll f in P berühren. Ich will eine Beschreibung mit Worten, was exakt Du eigentlich tun willst. Deine geplante Vorgehensweise, die damit endet, daß wir a und b kennen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:16 Fr 17.09.2010 | | Autor: | low_head |
Um zu beweisen, dass eine Tangente einen Graphen berührt muss folgendes erfüllt werden:
f(x) = g(x) und
f'(x) = g'(x)
Ich bilde also zuerst die 1. Ableitung von f(x) und g(x) und löse die Gleichung nach x auf. Meine Berührstelle x0 setze ich dann f(x) ein und bekomme die kompletten Koordinaten.
f'(x) = 2x-2
g'(x) = 2
2x-2 = 2 |+2; /2
x=2
Einsetzen von x in f(x):
f(2) = [mm] x^2-2*2+2
[/mm]
f(2) = 2
Der Berührpunkt ist also 2|2 wie man erkennen kann.
Somit wäre die Tangente bewiesen.. aber auf die Parameter.. komme ich dennoch nicht...
Wie beweise ich die? ><
Edit: Ich hab ne Idee
Der Parameter a ist jah nichts weiter als die Steigung der Gerade.
Und die liegt bei 1, das weiß ich, druch den Punkt P, oder?
Wenn die Steigung eins beträgt, setze ich die Koordinaten von P in x und y ein und erhalte:
2 = [mm] 1(2-4)^2 [/mm] + b
2 = 4 +b | -4
-2 = b
somit hätte ich beide Parameter.. oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Fr 17.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du machst da ein ziemliches Durcheinander
[mm] f(x)=x^2-2x+2; [/mm] f'(x)=2x-2
[mm] g(x)=a(x-4)^2+b
[/mm]
jetzt setz
f(x)=g(x) und f'(x)=g'(x)
Da du P=(2,2) schon hast, x=2 in beide ein und bestimme dadurch a und b.
als naechstes bestimme die Gerade die durch (2,2) geht und dort die Steigung
f'(2)=g'(2) hat, das ist die gesuchte Tangente.
Gruss leduart
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