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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Höhe einer Pyramide
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Höhe einer Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Di 27.09.2022
Autor: Trikolon

Aufgabe
Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit den Eckpunkten A(4|4|3),B(1|5|2),C(1|1|4) und der Spitze S(1|4|6).
Berechne die Höhe h der Pyramide.

Ich habe zunächst den Inhalt der Fläche ABC ermittelt und 0,5* [mm] \wurzel{184} [/mm] erhalten. Danach habe ich das Volumen mit Hilfe der Formel 1/6* [mm] |(\overrightarrow{AB} [/mm] x [mm] \overrightarrow{AC}) [/mm] * [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] | ermittelt und 7 erhalten.

Nun zur Höhe: V=Grundfläche*Höhe. Damit h=V/G. Das wäre meine erste Variante.

oder aber V= 1/6 * G * h und damit h=(6V)/G.

Welche der beiden Varianten passen? Sprich: Brauche ich hier noch mal den Faktor 1/6 ?


        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Di 27.09.2022
Autor: chrisno


> Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit den Eckpunkten
> A(4|4|3),B(1|5|2),C(1|1|4) und der Spitze S(1|4|6).
>  Berechne die Höhe h der Pyramide.
>  Ich habe zunächst den Inhalt der Fläche ABC ermittelt
> und 0,5* [mm]\wurzel{184}[/mm] erhalten. Danach habe ich das Volumen
> mit Hilfe der Formel 1/6* [mm]|(\overrightarrow{AB}[/mm] x
> [mm]\overrightarrow{AC})[/mm] * [mm]\overrightarrow{AS}[/mm] | ermittelt und
> 7 erhalten.
>
> Nun zur Höhe: V=Grundfläche*Höhe. Damit h=V/G. Das wäre
> meine erste Variante.

falsche Formel

>  
> oder aber V= 1/6 * G * h und damit h=(6V)/G.

Noch eine falsche Formel

> Welche der beiden Varianten passen? Sprich: Brauche ich
> hier noch mal den Faktor 1/6 ?
>  

Für eine Pyramide gilt: $V = [mm] \br{1}{3} [/mm] G h$. Du hast G und V ...


Bezug
                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Di 27.09.2022
Autor: Trikolon

Vielen Dank für die Antwort!

Ich war hier nur irritiert, ob zur Berechnung der Höhe der Faktor 1/3 nochmals mit einfließt, weil man ihn bei der Berechnung des Volumens ja schon verwendet hat.

Bezug
                        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Di 27.09.2022
Autor: chrisno


> Vielen Dank für die Antwort!
>  
> Ich war hier nur irritiert, ob zur Berechnung der Höhe der
> Faktor 1/3 nochmals mit einfließt, weil man ihn bei der
> Berechnung des Volumens ja schon verwendet hat.

V = 1/6* $ [mm] |(\overrightarrow{AB} [/mm] $ x $ [mm] \overrightarrow{AC}) [/mm] $ * $ [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] $ |

Mit dem Kreuzprodukt berechnest Du die doppelte Grundfläche. Also muss durch 2 geteilt werden.
Danach berechnest Du mit dem Skalarprodukt die Höhe. Für das Pyramidenvolumen muss noch durch 3 geteilt werden. Daher kommt die Division durch 6 in der Formel.

Leicht anders erklärt: Ohne das 1/6 ist dies die Volumenformel für ein Parallelepiped (schiefer Quader).
Da die Grundfläche ein Dreieck ist: durch 2 Teilen. Da die Pyramide spitz ist: durch 3 teilen.

Bezug
                                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Di 27.09.2022
Autor: Trikolon

Das ist soweit klar.

Also habe ich V = 1/6* $ [mm] |(\overrightarrow{AB} [/mm] $ x $ [mm] \overrightarrow{AC}) [/mm] $ * $ [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] $ | = 7 und Grundfläche G= 0,5 * [mm] \wurzel{184}. [/mm]

Das heißt bei der Berechnung des Volumens ist der Faktor 1/6 (also insbesondere auch der Faktor 1/3) schon eingeflossen.

Wenn ich nun h berechne durch V=1/3 * G * h bzw. h=(3V)/G = 10,5 * [mm] \wurzel{184} [/mm] berücksichtige ich den Faktor 1/3 ja nun ein zweites Mal.
Passt das so?


Bezug
                                        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Di 27.09.2022
Autor: chrisno


> Das ist soweit klar.
>  
> Also habe ich V = 1/6* [mm]|(\overrightarrow{AB}[/mm] x
> [mm]\overrightarrow{AC})[/mm] * [mm]\overrightarrow{AS}[/mm] | = 7 und
> Grundfläche G= 0,5 * [mm]\wurzel{184}.[/mm]
>  
> Das heißt bei der Berechnung des Volumens ist der Faktor
> 1/6 (also insbesondere auch der Faktor 1/3) schon
> eingeflossen.

Nicht gut formuliert. 1/6 = 1/2 x 1/3 steht in der Formel.

>  
> Wenn ich nun h berechne durch V=1/3 * G * h bzw. h=(3V)/G =
> 10,5 * [mm]\wurzel{184}[/mm] berücksichtige ich den Faktor 1/3 ja
> nun ein zweites Mal.

Auch nicht gut formuliert. 1/3 x 3 = 1. Du multiplizierst mit 3 um die Division durch 3 rückgängig zu machen.

> Passt das so?
>  


Bezug
                                                
Bezug
Höhe einer Pyramide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Di 27.09.2022
Autor: Trikolon

Also wäre h=(3V)/G =
> 42: $ [mm] \wurzel{184} [/mm] $ das richtige Ergebnis?


Bezug
                                                        
Bezug
Höhe einer Pyramide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Di 27.09.2022
Autor: chrisno

ja

Bezug
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