Höhenlinien < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Man bestimme sämtliche Höhenlinien der durch f(0,0)=0 sowie
f(x,y) = [mm] \bruch{xy}{x²+y²} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] 0 definierten Funktion.
Anleitung: Man führe zweidimensionale Polarkoordinaten ein. |
Hi liebe Mathe-leute!
bin grad am aufgaben üben zu denen ich leider keine lösungen hab, hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
das mit den polarkoordinaten hab ich so versucht:
x= r [mm] cos(\psi)
[/mm]
y= r [mm] sin(\psi)
[/mm]
d.h. f(r [mm] cos(\psi), [/mm] r [mm] sin(\psi)) [/mm] = [mm] \bruch{r²cos(\psi)sin(\psi)}{r²cos²(\psi)+r²sin(\psi)} [/mm] = [mm] cos(\psi) sin(\psi) [/mm] , da sin²+cos²=1.
stimmt das so?
für die höhenlinien muss ich dann
[mm] cos(\psi) sin(\psi) [/mm] = konst. setzen, oder?
bedeutet das, die höhenlinien sind einfach die sin und cos kurve?
viele grüße
riely 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Mo 05.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
> Man bestimme sämtliche Höhenlinien der durch f(0,0)=0 sowie
> f(x,y) = [mm]\bruch{xy}{x²+y²}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm] 0 definierten
> Funktion.
> Anleitung: Man führe zweidimensionale Polarkoordinaten
> ein.
> Hi liebe Mathe-leute!
> bin grad am aufgaben üben zu denen ich leider keine
> lösungen hab, hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
> das mit den polarkoordinaten hab ich so versucht:
> x= r [mm]cos(\psi)[/mm]
> y= r [mm]sin(\psi)[/mm]
> d.h. f(r [mm]cos(\psi),[/mm] r [mm]sin(\psi))[/mm] =
> [mm]\bruch{r²cos(\psi)sin(\psi)}{r²cos²(\psi)+r²sin(\psi)}[/mm] =
> [mm]cos(\psi) sin(\psi)[/mm] , da sin²+cos²=1.
> stimmt das so?
Richtig, noch einfacher: [mm][mm] cos(\psi) sin(\psi)=1/2*[/mm] [mm]sin(2*\psi)[/mm]
> für die höhenlinien muss ich dann
> [mm]cos(\psi) sin(\psi)[/mm] = konst. setzen, oder?
ja!
> bedeutet das, die höhenlinien sind einfach die sin und cos
> kurve?
Nein! du hast doch z, Bsp [mm] 0,5*sin2\psi= [/mm] 0,1, was bedeutet denn das für [mm] \psi? [/mm] und was für r? Du musst dir jetzt doch die Ebene mit Polarkoordinaten vorstellen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
danke für deine antwort!
... ich versteh aber noch nicht ganz, warum gilt [mm] cos(\psi) sin(\psi) [/mm] = 0,5 [mm] sin(2\psi) [/mm] ??
hm, mein r ist doch irgendwie gar nicht mehr da ? und das mit der ebene kann ich mir auch noch nicht vorstellen... brauch ich dann nicht 3 koordinaten?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Mo 05.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo riley
> ... ich versteh aber noch nicht ganz, warum gilt [mm]cos(\psi) sin(\psi)[/mm]
> = 0,5 [mm]sin(2\psi)[/mm] ??
Additionstheorem für sin, sin (a+a) Die einfachen Sätze über sin und cos sollte man kennen!
> hm, mein r ist doch irgendwie gar nicht mehr da ?
D.h. es gilt für alle r!
und das
> mit der ebene kann ich mir auch noch nicht vorstellen...
> brauch ich dann nicht 3 koordinaten?
Wie willst du die denn unterbringen? Auf der Erde hast du doch auch nur Längen und Breitengrade!
So wie im Kartesischen Koordinatensystem die linen x=const parallelen zur y-Achse, y=cons Parallelen zur x- Achse sind, und du "kariertes" Papier benutzt um si darzustellen ist jetzt die Ebene nicht kariert, sondern mit Kreisen um den Nullpunkt versehen, das sind die Linien r=const und mit Geraden durch den Nullpunkt, das sind die Linien [mm] \phi=const.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
cool, danke für deine erklärung mit den kreisen und geraden!
d.h. wenn r beliebig ist, sind das irgendwelche kreise um den nullpunkt?
und [mm] sin(2\psi)= [/mm] 2c.
gibt der sin dann den winkel zwischen x-achse und gerade durch den ursprung an?
muss ich das zum einzeichnen dann noch genauer berechnen, welche geraden es sind?
gruß riley
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Der SIN gibt dir nicht den Winkel. [mm] \phi [/mm] ist der Winkel zur x-Achse!
Und das mit r hast du falsch rum verstanden.
Du hast jetzt [mm] $\sin(2\phi)=c$, [/mm] das gibt dir also alle Punkte, die alle den gleichen Funktionswert liefern.
Du siehst, das ist NUR von [mm] \phi [/mm] abhängig. Das heißt doch, diese Punkte bilden alle mit dem Ursprung und der x-Achse den gleichen Winkel.
Oder anders ausgedrückt: Die Punkte liegen alle auf einer Halbgraden, die im Ursprung beginnt, und dann unter dem Winkel verläuft.
Beachte: Es gibt fast immer ZWEI Winkel, die die Gleichung erfüllen, also gibt es für jedes c auch ZWEI Graden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Di 06.06.2006 | | Autor: | Riley |
HI!
Danke für deine Antwort.
wie kann ich dass denn richtig rum mit r verstehen'??
ops, stimmt [mm] \psi [/mm] ist mein winkel.
woher weiß ich dann welche zwei winkel ich einzeichnen muss?
und warum nur fast immer?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Di 06.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Riley
Zeichne die mal die sinfkt y=sinx zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] auf. Und dann schneid sie mit Geraden, y=const! was fällt dir auf?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 06.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Leduart!
Stimmt, ich bekomme immer 2 schnittpunkte
muss ich dann nur 2 halbgeraden vom nullpunkt aus zeichnen?
und wie war das mit den kreisen, sind das keine höhenlinien der funktion oder was hab ich mit r falsch verstanden'??
viele grüße
riley
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Was ich meinte ist, daß die Höhenlinie auf den Graden liegen, nicht auf Kreisen. Das hast du wohl falsch verstanden.
Und ja, du mußt für jede "Höhe", also jeden konstanten Funktionswert zwei Halbgraden zeichnen.
Idealerweise nimmst du meinetwegen 8-10 Funktionswerte (die liegen ja alle in [-1;1]), berechnest dafür die Winkel, und zeichnest das dann, vielleicht sogar bunt. Dann bekommst du eine Vorstellung davon, wie sich die Höhenlinien verhalten, wenn du höhere oder tiefere Funktionswerte nimmst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Di 06.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo riley
Du musst meine Antwort mit der Beschreibung der Polarkoordinaten falsch verstanden haben. Ich hatte erklärt, dass die Kreise in Polarkoordinaten die Linien r=const sind, genau wie die Achsenparallelen Geraden im x-ySystem die Linien x=cons bzw y=const sind. Deine Höhenlinien sind aber die Linien [mm] sin2\phi=const [/mm] also Halbgeraden durch den Ursprung, und alle r dürfen vorkommen, deshalb werden alle Kreise geschnitten.
(die Funktion [mm] f(x)=x^2+y^2$ [/mm] hat Kreise als Höhenlinien! (wegen [mm] f(r,\phi)=r))
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Di 06.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi!
okay, vielen dank für die erklärungen nochmal! :)
also meine höhenlinien sind die halbgeraden durch den ursprung.
jetzt bin ich aber bissle durcheinander, wenn die kreise nicht dazu gehören, warum werden sie dann geschnitten?
und zum Einzeichnen, diese aufgabe ist ja aus ner alten klausur. da ja keine hilfsmittel wie taschenrechner erlaubt sind, kann ich die winkel ja gar nicht genau ausrechnen??
viele grüße
riley
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Ohne Taschenrechner wirst du kaum den Winkel für einen bestimten Funktionswert berechnen können.
Aber denk dran, daß die Sinus-Funktion symmetrisch verläuft, soll heißen, für 45° wird der Sinus oben ja 1, das ist sein höchster Punkt. Wenn du jetzt eine Grade mit 30° zeichnest, muß die zweite Grade einen Winkel von 60° haben.
Oder anders ausgedrückt: Die zweite Halbgrade ist eine Spiegelung der ersten an der 45°-Grade!
Es gibt aber noch einen Trick: Setze in deine Funktion ein beliebiges xy-Paar ein, und du bekommst einen Wert. zeichne dann eine Ursprungshalbgrade durch dieses xy-Paar, und alle Punkte auf dieser Linie haben den gleichen Funktionswert. (2. Grade nicht vergessen!)
Du kannst alternativ auch einen Funktionswert vorgeben und versuchen, ein xy-Paar zu finden, so kannst du auchgezielt Höhenlinien zeichnen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 07.06.2006 | | Autor: | Riley |
danke für die tipps und tricks zum zeichnen!
also ich nehm z.B. f(1,1) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und zeichne die halbgerade durch den ursprung und (1,1), richtig?
aber wie komm ich dann auf die 2.gerade, auch durch spiegelung??
viele grüße
riley
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Das Vorgehen ist richtig, allerdings liegt der Punkt (1|1) ja auf der Halbachse, an der gespiegelt werden soll. Demnach gibt es dann keine weitere grade. Das ist der Fall, wo du die Sinuskurve und y=1 gezeichnet hast - hier gibt es jeweils nur eine Lösung, nicht zwei.
Aber wenn du den Punkt (1|2) nimmst, kannst du ebenso (2|1) benutzen, das gibt den gleichen Funktionswert. Und der eine Punkt ist die Spiegelung vom zweiten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:38 Do 08.06.2006 | | Autor: | Riley |
ah okay, vielen dank für deine hilfe!!
ich denk, dann hab ich die aufgabe
viele grüße
riley
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