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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion:
z=f(x,y)= [mm] \bruch{1}{ \left| x^2-y^2 \right|} [/mm] , f: D [mm] \to \IR
[/mm]
a) Charakterisieren Sie den maximalen Definitionsbereich D [mm] \le \IR [/mm] (skizze)
b) Skizzieren Sie zu den Funktionswerten 1 und [mm] \bruch{1}{4} [/mm] die Höhenlinien |
a) Unser Definitionsbereich hier lautet:
D = {(x,y) / x [mm] \not= [/mm] y}
Nach umstellen der Funktion wissen wir auch das es einfach die Winkelhalbierende y = x ist. Die Funktion kann aufgrund der Betragsstriche nicht Negativ werden, so das die Funktion nur im 2. Quadranten gezeichnet werden muss, stimmt das?
b) Wir haben den Funktionswert 1 eingesetzt und die Gleichung nach y umgestellt und erhalten y = [mm] \wurzel{x^2 -1}
[/mm]
Die Frage ist ob das stimmt und wie man daraus Höhenlinien einzeichen kann??
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Hallo Nadine,
> Gegeben sei die Funktion:
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> z=f(x,y)= [mm]\bruch{1}{ \left| x^2-y^2 \right|}[/mm] , f: D [mm]\to \IR[/mm]
>
> a) Charakterisieren Sie den maximalen Definitionsbereich D
> [mm]\le \IR[/mm] (skizze)
>
> b) Skizzieren Sie zu den Funktionswerten 1 und [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> die Höhenlinien
> a) Unser Definitionsbereich hier lautet:
>
> [mm] $D=\{(x,y) \mid x \not= y\}$
[/mm]
Das reicht noch nicht!
[mm] $|x^2-y^2|\neq 0\gdw x^2\neq y^2\gdw |x|\neq|y|\gdw x\neq\pm [/mm] y$
>
> Nach umstellen der Funktion wissen wir auch das es einfach
> die Winkelhalbierende y = x ist. Die Funktion kann aufgrund
> der Betragsstriche nicht Negativ werden, so das die
> Funktion nur im 2. Quadranten gezeichnet werden muss,
> stimmt das?
>
> b) Wir haben den Funktionswert 1 eingesetzt und die
> Gleichung nach y umgestellt und erhalten y = [mm]\wurzel{x^2 -1}[/mm]
Das ist noch nicht vollständig, beachte die Fallunterscheidungen für den Betrag, also für [mm] $x^2>y^2$ [/mm] und im anderen Fall für [mm] $x^2
Außerdem hast du eine Lösung unterschlagen (wie oben auch beim Definitionsbereich angedeutet) ...
>
> Die Frage ist ob das stimmt
es ist nicht komplett
> und wie man daraus Höhenlinien
> einzeichen kann??
Berechne mal die kompletten Lösungen, die Funktionen $y=...$ dann einzeichnen und auf den Defbereich, den dir die Fallunterscheidung diktiert, achten ...
LG
schachuzipus
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Ist es nich völlig wurscht ob es x [mm] \not= \pm [/mm] y ist im Def. da es ja durch den Betrag und vor allem auch das quadrat eh aufgehoben wird?
Ansonsten versteh ich net was du mir damit sagen willst ich hab ne Lösung unterschlagen. Die Höhenlinien kann ich dann einfach einzeichnen wenn ich Werte in meine neue gleichung einsetze
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Erstmal zum Definitionsbereich:
Der Nenner darf nicht 0 sein. [mm] \gdw [/mm] Der Betrag ist nicht 0. [mm] \gdw [/mm] Das, was im Betrag drin steht ist nicht 0.
Das wird jedoch immer 0, wenn x und y den gleichen Betrag haben - eben weil durch das Quadrat das Vorzeichen wegfällt.
Beispiel: x=-2, y=2
Jetzt zur Funktion selbst:
Du willst die Funktionsgleichung nach y auflösen, nachdem du für z den entsprechenden Wert eingesetzt hast. Dazu musst du aber den Betrag loswerden. Nun macht es aber einen Unterschied, ob [mm] x^2 [/mm] größer ist oder ob [mm] y^2 [/mm] größer ist, denn:
Beispiel: x=5 und y=7 [mm] \Rightarrow |x^2-y^2| [/mm] = |25-49|=49 - 25 = 24
aber für x=5 und y=3 [mm] \Rightarrow |x^2-y^2| [/mm] = |25-9| = 25 - 9 = 16
Also musst du (wie dir schon verraten wurde) hier eine Fallunterscheidung für die beiden Fälle [mm] x^2 [/mm] > [mm] y^2 [/mm] und [mm] x^2 [/mm] < [mm] y^2 [/mm] machen. Dafür bekommst du dann das raus, was du in den anderen Antworten gesehen hast.
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Sorry aber ich bin Matheblöd, wie zur Hölle mach ich das mit der Fallunterscheidung??? Ich versteh einfach net was ihr da von mir wollt geschweigedenn was das mit den Höhenlinien zu tun hat
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Kein Problem.
Ich versuch es mal unabhängig von deinem Beispiel:
Du willst die Gleichung |a - b| = 3 nach a auflösen.
Jetzt hast du aber ein Problem, denn wenn [mm] a\ge [/mm] b ist, kannst du den Betrag einfach weglassen, weil a-b dann eh schon nichtnegativ ist. Wenn aber a [mm] \le [/mm] b ist, dann ist a-b ja negativ und wenn du dann die Gleichung oben ohne Betrag schreiben willst, musst du b - a = 3 schreiben.
Das liegt begründet in der Definition des Betrags:
|x| = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
So, wenn du also jetzt loslegst und für z=1 einsetzt, dann musst du das jetzt zweimal nachrechnen, einmal für [mm] x^2 [/mm] > [mm] y^2 [/mm] und einmal für den anderen Fall.
Also:
1. Fall: [mm] x^2 [/mm] > [mm] y^2, [/mm] also |x| > y, also x > y oder x < -y (das sind dann zwei der vier Gebiete, in die dein Definitionsbereich unterteilt ist):
[mm]1 = \bruch{1}{x^2-y^2}[/mm]
[mm]\gdw x^2-y^2 = 1[/mm]
[mm]\gdw y^2 = x^2-1 [/mm]
[mm]\gdw y = \pm \wurzel{x^2-1}[/mm]
2. Fall: [mm] x^2 [/mm] < [mm] y^2, [/mm] also |x| < y, also -y < x < y (das sind die beiden anderen Gebiete):
[mm]1 = \bruch{1}{y^2-x^2}[/mm]
[mm]\gdw y^2-x^2 = 1[/mm]
[mm]\gdw y^2 = x^2+1 [/mm]
[mm]\gdw y = \pm \wurzel{x^2+1}[/mm]
Wenn du jetzt diese 4 Lösungen zeichnest, bekommst du die bereits gezeichneten Höhenlinien.
Kurzer Kommentar nochmal zu den Zeichnungen: In der Zeichnung mit der Definitionsmenge fehlt die zweite Winkelhalbierende, die ja auch nicht dazu gehört.
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Ok danke das war sehr ausführlich und auch endlich einleuchtend, vielen Dank dafür 
Das einzige was ich jetzt immer noch net kapier is wieder wurde nur y=-x gezeichnet und nich y = x was wir uns gedacht hatten weil es ja net negativ werden kann dachten wir...
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Die fehlt in der Zeichnung, aber das ist auch wirklich das einzige, was nicht passt. In den Höhenlinien-Bildern sind die beiden Geraden, die nicht zum Definitionsbereich gehören, natürlich nicht eingezeichnet, die haben da ja nichts verloren, sondern dienen nur der Anschauung.
Also nochmal klar gesagt: beide Winkelhalbierende gehören nicht zu D dazu.
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Ok alles klar leuchtet ein, also müsste ich für a doch dann auch nix zeichnen wenns eh ausgeschlossen is oder?
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Naja, die geforderte Skizze würde ich schon als "Zeichnung" bezeichnen. Das passt auch gut zu den Höhenlinien, weil dir die beiden Geraden, die nicht zu D gehören, die xy-Ebene so schön in Bereiche einteilen und die Höhenlinien genau darin liegen, wie du an den Zeichnungen schön siehst.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Di 16.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Das einzige was ich jetzt immer noch net kapier is wieder
> wurde nur y=-x gezeichnet und nich y = x was wir uns
> gedacht hatten weil es ja net negativ werden kann dachten
> wir...
Oh sorry, aus irgendeinem Grunde wurde diese Linie nicht dargestellt. Die gehört natürlich auch mit zu dem Bereich, in dem die Funktion nicht definiert ist.
Gruß Denny
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Di 16.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Mein Zitat: "Das beste sind immer Bilder!!"
> Gegeben sei die Funktion:
>
> z=f(x,y)= [mm]\bruch{1}{ \left| x^2-y^2 \right|}[/mm] , f: D [mm]\to \IR[/mm]
>
> a) Charakterisieren Sie den maximalen Definitionsbereich D
> [mm]\le \IR[/mm] (skizze)
Dein Definitionsbereich enthaelt alle Werte im [mm] $\IR^2$ [/mm] bis auf die Nullstellen des Nenners. Welche dies genau sind veranschaulicht uns die folgende Abbildung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> b) Skizzieren Sie zu den Funktionswerten 1 und [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> die Höhenlinien
Die Hoehenlinie zu dem Wert $1$ erkennst Du in der folgenden Abbildung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Hoehenlinie zu dem Wert [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] erkennst Du in der folgenden Abbildung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir koennen auch mehrere Hoehenlinien betrachten. So etwas nennt man auch eine Kontur
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hoffe, dass gibt Dir eine Vorstellung darueber, was Du gerade tust und tun musst.
Gruss Denny
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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Danke es is toll zu sehen das wir eine vollkommen andere vorstellung von der Funktion hatten. Bei uns is diese Positiv da sie aufgrund des Betrages nich negativ werden kann und unsere Höhenlinien ähneln eher einer ellipse. Ich verzweifel hier nochma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Di 16.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Danke es is toll zu sehen das wir eine vollkommen andere
> vorstellung von der Funktion hatten. Bei uns is diese
> Positiv da sie aufgrund des Betrages nich negativ werden
> kann und unsere Höhenlinien ähneln eher einer ellipse. Ich
> verzweifel hier nochma
Ne eine Ellipse darf und kann das nicht sein.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Di 16.06.2009 | | Autor: | Bengel777 |
Hmm Blöd würde ich sagen aber wir kommen beim besten willen nicht auf das was deine wirklich schönen Bilder uns da zeigen :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Di 16.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hmm Blöd würde ich sagen aber wir kommen beim besten willen
> nicht auf das was deine wirklich schönen Bilder uns da
> zeigen :-(
Es fängt mit "Hü" an und hört mit "Bärbel" auf
FRED
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