Höhenschnittpunkt im Dreieck < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Do 09.04.2009 | | Autor: | Aucuba |
| Aufgabe | | Bestimme die Koordinaten des Höhenschnittpunktes H des Dreiecks ABC. A(0/0), B(12/6), C(4/12) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mir die ganze Sache aufgezeichnet und bin zum Schluss gekommen, dass ich einen Normalenvektor zu AB durch oder bis zum Punkt C und den Normalenvektor zu BC durch oder bis zum Punkt A berechnen muss. Danach die Parametergleichungen gleichstellen muss um den Schnittpunkt heraus zu finden.
a) Stimmen meine Überlegungen?
b) Ich hab keine Ahnung wie man das mathematisch umsezt. Gibt es da einen Tipp?
Vielen Dank!
|
|
| |
|
Hallo,
im Prinzip hast du schon eine sinnvolle Idee aufgeschrieben, nur die Formulierung ist etwas unsauber.
Der Einfachheit halber würde ich mir die beiden Strecken [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{AC} [/mm] aussuchen, weil A gerade der Ursprung ist.
Du brauchst jetzt erstmal einen Vektor, der senkrecht zu [mm] \overline{AB} [/mm] liegt. Davon gibt es ziemlich viele, du findest ihn mit Hilfe des Skalarprodukt-Kriteriums, d.h. mit dem Ansatz [mm] \overrightarrow{AB} * \overrightarrow{n} = 0 [/mm].
Damit erhält man eine Bedingung für die beiden Einträge von [mm] \overrightarrow{n}. [/mm] Du kannst also einen der beiden Einträge frei wählen und erhältst so einen Vektor, der senkrecht auf der Dreiecksseite steht.
Daraus machst du jetzt die Gerade, die durch den gegenüberliegenden Punkt verläuft (ist Geradengleichung aufstellen ein Problem?).
Das gleiche dann nochmal mit einer der beiden anderen Dreiecksseiten und so erhältst du zwei Geradengleichungen, die du dann gleichsetzt, um den Schnittpunkt zu berechnen.
Das sind dann eigentlich Standardschritte, aber wenn du dazu noch Fragen hast, kannst du die ja noch ergänzen  .
Gruß,
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Do 09.04.2009 | | Autor: | glie |
> Hallo,
> im Prinzip hast du schon eine sinnvolle Idee
> aufgeschrieben, nur die Formulierung ist etwas unsauber.
> Der Einfachheit halber würde ich mir die beiden Strecken
> [mm]\overline{AB}[/mm] und [mm]\overline{AC}[/mm] aussuchen, weil A gerade
> der Ursprung ist.
> Du brauchst jetzt erstmal einen Vektor, der senkrecht zu
> [mm]\overline{AB}[/mm] liegt. Davon gibt es ziemlich viele, du
> findest ihn mit Hilfe des Skalarprodukt-Kriteriums, d.h.
> mit dem Ansatz [mm]\overrightarrow{AB} * \overrightarrow{n} = 0 [/mm].
>
> Damit erhält man eine Bedingung für die beiden Einträge von
> [mm]\overrightarrow{n}.[/mm] Du kannst also einen der beiden
> Einträge frei wählen und erhältst so einen Vektor, der
> senkrecht auf der Dreiecksseite steht.
> Daraus machst du jetzt die Gerade, die durch den
> gegenüberliegenden Punkt verläuft (ist Geradengleichung
> aufstellen ein Problem?).
> Das gleiche dann nochmal mit einer der beiden anderen
> Dreiecksseiten und so erhältst du zwei Geradengleichungen,
> die du dann gleichsetzt, um den Schnittpunkt zu berechnen.
>
> Das sind dann eigentlich Standardschritte, aber wenn du
> dazu noch Fragen hast, kannst du die ja noch ergänzen .
>
> Gruß,
> Martin
>
Hallo Martin,
bitte nicht böse sein, aber ich muss mal kurz den Klugscheisser geben 
Aber wenn du andere kritisierst, dass sie etwas unsauber aufgeschrieben haben, kannst du mit leichter Kritik bestimmt auch gut leben.
[mm] \overline{AB} [/mm] ist die LÄNGE der Strecke [AB]
Gruß Glie
|
|
|
| |
|
Danke, leider passieren mir solche Sachen immer wieder - und bin dann immer froh, dass andere aufpassen.
In diesem Fall gibt es so viele Varianten (finde ich), dass es schwierig ist, zwischen |AB| oder [mm] |\overline{AB}| [/mm] oder einfach nur AB in ordentlich definierter Weise zu unterscheiden. Es gibt für Strecken auch noch eine Schreibweise, die ich jetzt mit den Zeichen meiner Tastatur nicht hinbekomme, wo der "Überstrich" noch mit zwei kleinen senkrechten Abschlüssen verziert wird.
Naja, Geometrie ist nicht wirklich meine Lieblingswelt .
Gruß,
Martin
|
|
|
| |
|
> Hallo Martin,
>
> bitte nicht böse sein, aber ich muss mal kurz den
> Klugscheisser geben
>
> Aber wenn du andere kritisierst, dass sie etwas unsauber
> aufgeschrieben haben, kannst du mit leichter Kritik
> bestimmt auch gut leben.
>
> [mm]\overline{AB}[/mm] ist die LÄNGE der Strecke [AB]
>
> Gruß Glie
Hallo Glie,
auf diesem Gebiet gibt es meines Wissens keine allgemein
verbindlichen Schreibweisen. Neben der neueren Schreibweise
[AB] für eine Strecke - dazu würde eigentlich |[AB]| als Notation
für deren Länge gut passen, gibt es die etwas ältere Schreibweise,
wo eben eine Strecke als [mm] \overline{AB} [/mm] und ihre Länge als [mm] |\overline{AB}|
[/mm]
notiert wird. Die Schreibweise [mm] \overline{AB} [/mm] für die Länge der
Strecke ist so etwas wie ein Zwitter zwischen den beiden Varianten.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Do 09.04.2009 | | Autor: | glie |
> > Hallo Martin,
> >
> > bitte nicht böse sein, aber ich muss mal kurz den
> > Klugscheisser geben
> >
> > Aber wenn du andere kritisierst, dass sie etwas unsauber
> > aufgeschrieben haben, kannst du mit leichter Kritik
> > bestimmt auch gut leben.
> >
> > [mm]\overline{AB}[/mm] ist die LÄNGE der Strecke [AB]
> >
> > Gruß Glie
>
>
> Hallo Glie,
>
> auf diesem Gebiet gibt es meines Wissens keine allgemein
> verbindlichen Schreibweisen. Neben der neueren
> Schreibweise
> [AB] für eine Strecke - dazu würde eigentlich |[AB]| als
> Notation
> für deren Länge gut passen, gibt es die etwas ältere
> Schreibweise,
> wo eben eine Strecke als [mm]\overline{AB}[/mm] und ihre Länge als
> [mm]|\overline{AB}|[/mm]
> notiert wird. Die Schreibweise [mm]\overline{AB}[/mm] für die Länge
> der
> Strecke ist so etwas wie ein Zwitter zwischen den beiden
> Varianten.
>
> LG
>
Hallo Al,
danke für deinen Hinweis, das ist mir jetzt neu. Aber man lernt ja nie aus.
Ich habe in meinem kurzen Mathematikerleben bis jetzt immer [mm] \overline{AB} [/mm] als Länge der Strecke und [AB] als Schreibweise für die Strecke kennengelernt.
Ich finde deinen Vorschlag |[AB]| schön, das passt irgendwie gut zu [mm] |\overrightarrow{AB}|
[/mm]
Gruß Glie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Do 09.04.2009 | | Autor: | Aucuba |
Vielen Dank für deine Antwort!
Den Teil mit dem Skalarprodukt-Kriterium verstehe ich noch nicht so ganz. Was verstehst du unter "Einträge von [mm] \vec{n}?
[/mm]
Gruss Ramona
|
|
|
| |
|
Naja, es ist ja [mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{n_1 \\ n_2}, [/mm] und z.B. für die Dreiecksseite AB ergibt sich die Gleichung:
[mm] 12*n_1 + 6*n_2 = 0 [/mm]
Mit "Einträgen" meine ich jetzt [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2.
[/mm]
In diesem konkreten Fall muss also [mm] n_2 = -2*n_1 [/mm] gelten, also kannst du jetzt [mm] n_1 [/mm] frei wählen (möglichst einfach) und dann ist [mm] n_2 [/mm] festgelegt.
Das bedeutet anschaulich: jeder Vektor, dessen Komponenten (Einträge) diese Bedingung erfüllen, liegt senkrecht zu der Dreiecksseite.
Das ist dann der Richtungsvektor der Geraden, die dann der Höhenlinie entspricht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Do 09.04.2009 | | Autor: | Aucuba |
Oke :) Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Do 09.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimme die Koordinaten des Höhenschnittpunktes H des
> Dreiecks ABC. A(0/0), B(12/6), C(4/12)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe mir die ganze Sache aufgezeichnet und bin zum
> Schluss gekommen, dass ich einen Normalenvektor zu AB durch
> oder bis zum Punkt C und den Normalenvektor zu BC durch
> oder bis zum Punkt A berechnen muss. Danach die
> Parametergleichungen gleichstellen muss um den Schnittpunkt
> heraus zu finden.
Hallo,
MÜSST ihr das vektoriell machen? Das ist hier etwas übertieben.
Die Gerade AB hat den Anstieg 0,5. Jede dazu senkrechte Gerade hat dann den Anstieg -2.
Die Höhe auf AB liegt also auf der Gerden, die durch C geht und den Anstieg 2 hat.
Gruß Abakus
>
> a) Stimmen meine Überlegungen?
> b) Ich hab keine Ahnung wie man das mathematisch umsezt.
> Gibt es da einen Tipp?
>
> Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
Das würde ich im zweidimensionalen auch eher machen. Die Zahlen sind auch gerade so gewählt, dass dabei "schöne" Geradengleichungen und schöne Werte rauskommen.
Aber die Idee ist die gleiche - man stellt Geradengleichungen auf und setzt die gleich, um den Punkt zu erhalten. Einmal in Parameterschreibweise und einmal als Koordinatengleichung.
Gruß,
Martin
|
|
|
|
