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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Mo 18.02.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Von einem Turm aus sieht man die beiden Ufer eines Flusses unter den Tiefenwinkeln [mm] \alpha [/mm] = 18° und [mm] \beta [/mm] = 31°.
Der Fußpunkt des Turmes ist 84 m vom Fluss entfernt.
a) Wie hoch ist der Turm?
b) Wie breit ist der Fluss? |
Moin!
Der Begriff Tiefenwinkel bzw. Höhenwinkel ist mir nicht ganz klar.
Unter Tiefenwinkel habe ich im folgenden angenommen, dass dies der Winkel ist der von der Horizontalen (Höhe der Turmspitze) bis zu der Geraden gemessen wird, die zu dem zugehörigen Punkt am Boden führt.
Entsprechend würde der Höhenwinkel vom Boden aus gemessen, bis zu der Geraden, die zu dem zugehörigen Punkt am Himmel führt.
Dies ist für das Lösen der Aufgaben von fundamentaler Bedeutung.
zu a)
Hier messe ich also sowohl [mm] \alpha [/mm] als auch [mm] \beta [/mm] von der Horizontalen (Höhe = Turmspitze) aus nach unten...
Danach führt die zugehörige Gerade, die zu [mm] \alpha [/mm] gehört auf den Fußpunkt am rechten Flussufer und die zugehörige Gerade die zugehörige Gerade, die zu [mm] \beta [/mm] gehört auf den Fußpunkt am linken Flussufer; jeweils vom Fußpunkt des Turmes aus gesehen.
Das Dreieck, "Turmspitze, Turm-Fußpunkt, Fußpunkt-linkes-Flußufer", hat in der Turmspitze den Winkel 59°. Die Turmhöhe kann also berechnet werden als tan 59° = [mm] \bruch{Gegenkathete}{Ankathete} [/mm] bzw. [mm] \bruch{Entfernung-Turm-Fluss}{Turmhoehe}
[/mm]
=> h = 50,47 m
zu b)
Hier betrachte ich das Dreieck, "Turmspitze, Fußpunkt-linkes-Flussufer, Fußpunkt-rechtes-Flußufer" und bestimme die Breite des Flusses, d.i. die Seite Fußpunkt-linkes-FlussuferFußpunkt-rechtes-Flussufer = Flussbreite.
Die Seite [mm] \overline{Turmspitze Fusspunkt-linkes-Flussufer} [/mm] kann z.b. mit dem Pythagoras errechnen:
[mm] {\overline{Turmspitze Fusspunkt-linkes-Flussufer}}^2 [/mm] = [mm] 50,47^2 [/mm] + [mm] 84^2
[/mm]
[mm] \overline{Turmspitze Fusspunkt-linkes-Flussufer} [/mm] = 98 m.
Der Winkel [mm] \delta [/mm] in der Turmspitze ist [mm] \delta [/mm] = 31° - 18° = 13°.
Ferner ist der Winkel im Fußpunkt-linkes-Flussufer [mm] \gamma [/mm] = 180° - 31° = 149°; und mithin der Winkel im Fußpunkt-rechtes-Flussufer [mm] \epsilon [/mm] = 180° -13° - 149° = 18°.
Hieraus kann ich den Sinussatz formulieren:
[mm] \bruch{Flussbreite}{\overline{Turmspitze Fusspunkt-linkes-Flussufer}} [/mm] = [mm] \bruch{sin 13°}{sin 18°} [/mm]
Flussbreite = 71, 33 m.
Ist das so richtig?
Danke für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:31 Di 19.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Der Fehler tritt hier auf :
180° -11° - 149° = 20°
Wieso 11° ? Es gibt keinen 11° Winkel.
Den Winkel im Fußpunkt-rechtes-Flussufer kann man übrigens mit kleiner Überlegung aus der Aufgabe direkt ablesen.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Di 19.02.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
> Der Fehler tritt hier auf :
> 180° -11° - 149° = 20°
> Wieso 11° ? Es gibt keinen 11° Winkel.
> Den Winkel im Fußpunkt-rechtes-Flussufer kann man übrigens
> mit kleiner Überlegung aus der Aufgabe direkt ablesen.
Da frage ich mich nur, warum nicht... oh, ich sehe gerade: ich meinte natürlich 13°!
habe das oben korrigiert!!
aber zuerst meine zweite idee zu b):
Ich betrachte das Dreieck Turmspitze Turmfußpunkt Fußpunkt-rechtes-Flussufer.
[mm] \bruch{sin 72°}{84+Breite} [/mm] = [mm] \bruch{sin 18°}{Turmhöhe}
[/mm]
84 + Breite = 155,33
Breite = 71,33 m.
Ich denke, jetzt ist alles klar!
Vielen Dank!
Gruß
Wolfgang
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Hallo, Glückwusch, jetzt sind Turmhöhe und Flußbreite korrekt, Steffi
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