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| Aufgabe | Hallo kleine Aufgabe:
Seien [mm] \bruch{\partial h}{\partial x}(x,y)=\bruch{y}{x^2+y^2} [/mm] und [mm] \bruch{\partial h}{\partial y}(x,y)=\bruch{-x}{x^2+y^2}.
[/mm]
Finde alle partiell diff.baren Funktionen h: [mm] \IR^2 [/mm] ohne 0 [mm] \to \IR [/mm] mit den gegebenen partiellen Ableitungen. |
Mir gehts hier in dieser Aufgabe eigentlich nur um einen schritt, und zwar wo die folgendes bezeichnen:
[mm] \bruch{\partial h}{\partial x \partial y}=\bruch{-2xy}{(x^2+y^2)^2} [/mm]
und [mm] \bruch{\partial h}{\partial y \partial x}=\bruch{-2xy}{(x^2+y^2)^2} [/mm]
So, aber das hier [mm] \bruch{\partial h}{\partial x \partial y} [/mm] bedeutet doch, dass man [mm] \bruch{\partial h}{\partial x}(x,y)=\bruch{y}{x^2+y^2} [/mm] nach y ableiten muss und nicht nach x, sehe ich das falsch? müsste des dann richtig nicht [mm] \bruch{\partial h}{\partial x \partial x} [/mm] heißen???
das gleich auch für den zweiten fall:
[mm] \bruch{\partial h}{\partial y \partial y} [/mm] statt [mm] \bruch{\partial h}{\partial y \partial x}, [/mm] da ja hier [mm] \bruch{\partial h}{\partial y}(x,y)=\bruch{-x}{x^2+y^2} [/mm] nach y abgeleitet wird und nicht nach x?
und die zweite sache. wie leitet ihr solche ausdrücke am schnellsten und elegantesten ab, ohne vorher ausklammern und so zu müssen:
[mm] f(x,y)=\bruch{2x(1-e^y)}{(1+x^2)^2} [/mm]
Weil die kommen da, wenn man nach x ableitet auf: [mm] Df(x,y)=\bruch{-2xe^y(1+x^2)^2}{(1+x^2)^4} =\bruch{-2xe^y}{(1+x^2)^2}
[/mm]
gibts da irgendwie tricks, das schnell abzuleiten? weil ich würde das jetzt immer mit erst zähler [mm] 2x(1-e^y) [/mm] ausmultiplizieren und dann mit der quot. regel. aber das muss doch bestimmt schneller gehen.
danke und
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:47 Do 19.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo jaruleking,
Mir scheint hier auch, dass [mm]\bruch{\partial h}{\partial x}[/mm] nochmal nach x und [mm] $\bruch{\partial h}{\partial y}$ [/mm] nochmal nach y abgeleitet wurde.
> und die zweite sache. wie leitet ihr solche ausdrücke am
> schnellsten und elegantesten ab, ohne vorher ausklammern
> und so zu müssen:
>
> [mm]f(x,y)=\bruch{2x(1-e^y)}{(1+x^2)^2}[/mm]
>
> Weil die kommen da, wenn man nach x ableitet auf:
> [mm]Df(x,y)=\bruch{-2xe^y(1+x^2)^2}{(1+x^2)^4} =\bruch{-2xe^y}{(1+x^2)^2}[/mm]
Beim Ableiten nach x ist die Klammer ja als konstanter Faktor anzusehen. Du kannst also vorm Ableiten bequem auf's Ausmultiplizieren verzichten. Ob's so viel bringt, überschaue ich gerade nicht, schließlich wirst Du hinterher beim "Aufräumen" des Zählers ja dann doch ausmultiplizieren müssen.
> gibts da irgendwie tricks, das schnell abzuleiten? weil ich
> würde das jetzt immer mit erst zähler [mm]2x(1-e^y)[/mm]
> ausmultiplizieren und dann mit der quot. regel. aber das
> muss doch bestimmt schneller gehen.
Schöne Grüße
ardik
PS:
Auch wenn das hier das Matheforum ist  ...
Mir tut
> Weil die kommen da, ...
> weil ich würde das ...
geschrieben noch mehr weh als es ohnehin gesprochen schon tut...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Do 19.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo jaruleking!
Wie oben schon geschrieben wurde: bei [mm] $\bruch{\partial h}{\partial x \partial y}$ [/mm] wurde erst nach $x_$ abgeleitet und anschließend nach $y_$ .
Bei (mehrfacher) Anwendung der  Quotientenregel ist es immer ratsam zu kontrollieren, ob man nicht im Zähler etwas ausklammern kann und anschließend kürzen.
Von daher ist das Ausmultiplizieren oft nicht nötig.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 Do 19.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Loddar,
> Wie oben schon geschrieben wurde: bei [mm]\bruch{\partial h}{\partial x \partial y}[/mm]
> wurde erst nach [mm]x_[/mm] abgeleitet und anschließend nach [mm]y_[/mm] .
Wurde es denn wirklich?
Wenn ich $ [mm] \bruch{\partial h}{\partial x}=\bruch{y}{x^2+y^2} [/mm] $ nach y ableite, erhalte ich
$ [mm] \bruch{\partial h}{\partial x \partial y}=\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $
Oder binich noch nich richtich wach?
Schöne Grüße
ardik
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> Wenn ich [mm]\bruch{\partial h}{\partial x}=\bruch{y}{x^2+y^2}[/mm]
> nach y ableite, erhalte ich
> [mm]\bruch{\partial h}{\partial x \partial y}=\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
Hallo,
ich bekomme das auch.
Gruß v. Angela
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Also heißt es doch, dass die Lösung so nicht korrekt aufgeschrieben wurde, oder?
gruß
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> Also heißt es doch, dass die Lösung so nicht korrekt
> aufgeschrieben wurde, oder?
Hallo,
diesen Schluß müßte man wohl ziehen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Do 19.06.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok, danke. dann weiß ich jetzt bescheid. war mir nämlich nicht ganz so sicher.
gruß
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hi, ich muss nochmal was zu der einen ableitung fragen, denn ich kriege die gerade voll nicht hin. und zwar:
[mm] f(x,y)=\bruch{2x(1-e^y)}{(1+x^2)^2} [/mm] (will nach x ableiten)
so ich leitet ja nach der qoutientenregel ab, also:
[mm] \bruch{2(1-e^y)(1+x^2)-(2x)(1-e^y)(4x)(1+x^2)}{(1+x^2)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{2(1-e^y)(1+x^2)-(8x^2)(1-e^y)(1+x^2)}{(1+x^2)^4}
[/mm]
So weiter komm ich jetzt nicht, aber wie kommen die auf
[mm] Df(x,y)=\bruch{-2xe^y(1+x^2)^2}{(1+x^2)^4} [/mm]
[mm] =\bruch{-2xe^y}{(1+x^2)^2} [/mm]
danke für hilfe
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Fr 20.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
> hi, ich muss nochmal was zu der einen ableitung fragen,
> denn ich kriege die gerade voll nicht hin. und zwar:
>
> [mm]f(x,y)=\bruch{2x(1-e^y)}{(1+x^2)^2}[/mm] (will nach x
> ableiten)
>
>
> so ich leitet ja nach der qoutientenregel ab, also:
>
> [mm]\bruch{2(1-e^y)(1+x^2)-(2x)(1-e^y)(4x)(1+x^2)}{(1+x^2)^4}[/mm]
hmmmm, fast richtig. Hier muss im Zähler an die zweite Klammer noch ein Quadrat.
>
> [mm]=\bruch{2(1-e^y)(1+x^2)-(8x^2)(1-e^y)(1+x^2)}{(1+x^2)^4}[/mm]
>
hier dann natürlich auch.
Du kannst den Bruch noch vereinfachen zu
[mm] \bruch{2(1-e^{y})(1-4x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}
[/mm]
> So weiter komm ich jetzt nicht, aber wie kommen die auf
>
> [mm]Df(x,y)=\bruch{-2xe^y(1+x^2)^2}{(1+x^2)^4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-2xe^y}{(1+x^2)^2}[/mm]
>
Das ist die 1. Ableitung nach y.
>
> danke für hilfe
>
> gruß
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Fr 20.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
es wurde zweimal nach x bzw. zweimal nach y abgeleitet.
Leitet man zweimal nach y ab, muss allerdings im Zähler ein "+" stehen, kein Minus!
LG djmatey
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