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| Aufgabe | a) Sei [mm] f(x)=\summe_{v=0}^{n}a_vx^v [/mm] ein Polynom n-ten Grade. Berechnen Sie die Ableitung [mm] f^{(n)}(x).
[/mm]
b)Für x [mm] \IR [/mm] sei f(x):= [mm] \bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
Zeigen Sie : Für jedes k [mm] \IR \IN [/mm] gibt es ein Polynom [mm] p_k(x) [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] k, so dass gilt : [mm] f^{(k)}(x)= \bruch{p_k(x)}{(1+x^2)^{(k+1)}} [/mm] |
Hallo zusammen, leider weiß ich mit dieser Aufgabe gar nichts anzufangen, wir haben sie als Zusatzaufgabe und ich würde sie gerne lösen. Kann mir jemand einen Ansatz bzw. einen hilfreichen Tipp geben? Danke im voraus!
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Hallo wasistmathe,
> a) Sei [mm]f(x)=\summe_{v=0}^{n}a_vx^v[/mm] ein Polynom n-ten Grade.
> Berechnen Sie die Ableitung [mm]f^{(n)}(x).[/mm]
> b)Für x [mm]\IR[/mm] sei f(x):= [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm]
> Zeigen Sie : Für jedes k [mm]\IR \IN[/mm] gibt es ein Polynom
> [mm]p_k(x)[/mm] vom Grad [mm]\le[/mm] k, so dass gilt : [mm]f^{(k)}(x)= \bruch{p_k(x)}{(1+x^2)^{(k+1)}}[/mm]
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> Hallo zusammen, leider weiß ich mit dieser Aufgabe gar
> nichts anzufangen, wir haben sie als Zusatzaufgabe und ich
> würde sie gerne lösen. Kann mir jemand einen Ansatz bzw.
> einen hilfreichen Tipp geben? Danke im voraus!
Bei a) sollst Du das Polynom [mm]f\left(x\right)[/mm] n-mal ableiten.
Teil b) geht mit vollständiger Induktion.
Gruß
MathePower
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